人行桥调谐质量阻尼器设计

鲁 月

(中建铁路投资建设集团有限公司，北京 100000)

0 引言

随着桥梁跨度、桥下净空和美观等要求的提高，人行桥越来越多地采用高强轻质材料，桥型也向轻巧和纤细方向发展[1]。人行桥的一阶竖向频率为1.9 Hz～2.5 Hz，人行走时活动频率为1.5 Hz～2.5 Hz[2]，当人流较大且其人行荷载频率等于或接近建筑结构的固有频率时，桥梁将会发生共振现象[3-4]。在人行桥中增加谐调质量阻尼器(TMD)等装置，进行消能减振处理[5]，是一种有效的减振方式。TMD是由弹簧、阻尼器和质量块三者组成的减振装置[6]。本文以某人行桥为研究对象，计算了其人致振动响应最大加速度，进而针对结构第1阶模态进行TMD减振设计，通过对同样人行荷载作用下的人行桥，安装TMD装置前后的振动响应进行分析，验证了TMD减振系统在人行桥结构上良好的减振作用。在此基础上，进行了被控结构-STMD系统鲁棒性分析。

1 工程概况

选取空间曲梁单边悬索桥作为人行桥结构，其包含内、外侧主梁及空间主缆、吊索、背索和索塔。同时内、外侧主梁构成桥面系，两端与桥台固结，竖直向弹性支撑则由跨中悬挂于主缆上的柔性吊索负责提供，桥面设置3 m宽的人行道和7 m宽的自行车道，桥梁的总体布置如图1所示。

在对人行桥进行模态分析时，结合竖向人行荷载频率范围，察觉竖弯振型的频率2 Hz是处于其范围内。这表明共振现象可能会发生在人行荷载作用下的人行桥，相应构件会产生较大反应。进一步的计算表明这座桥梁在人群荷载作用下，加速度响应大于限值0.5 m/s2，可能引起行人不适。在人群荷载作用下的桥梁竖向最大加速度降低至限值0.5 m/s2以内则是希望取得的效果，将通过利用布设调谐质量阻尼器(TMD)来达到这一目的。

2 人致振动响应分析

2.1 动力特性分析

参考资料中给出动力特性计算结果，包括桥梁前5阶模态频率及振型，见表1，图2。

表1 桥梁前5阶模态频率及振型

2.2 人行荷载确定

参考资料中给出计算过程，均可用傅立叶级数形式表示。

竖向人行荷载：

步频为fp的单位面积有效人群荷载可表示为：

Fs(t)=NeαGΨsin(2πfpt)/S。

其中，0.444人/m2时:

1.5人/m2时:

2.3 最大加速度求解

依据结构动力特性分析所获得的结论可以得出，当试验假设的人行桥频率与人行激励频率范围内的频率相近的振型是完全能够遵循单自由度振动系统进行简化分析的。振型坐标下单自由度运动方程表示为：

参考资料中给出归一化后的广义质量M=1.0 kg，广义刚度K=160.272 kN/m。借助一阶竖向振型与人行荷载相乘，求得广义力=19.6sin(12.58t)，阻尼比取0.1。

振型幅值为Y=DP/K=50×19.6/160.272=6.114。

桥梁跨中加速度稳态响应为加速度与该点竖向振型向量乘积：

980.022×0.002 88=2.822 m/s2。

3 TMD减振设计

3.1 问题简化

竖向人行荷载的频率范围为1.3 Hz～2.3 Hz，有可能引起桥梁第1阶模态的共振。由上一节分析可知，共振时加速度响应大于0.5 m/s2，故需要针对桥梁第1阶模态进行TMD减振设计。

TMD工作原理见图3，是通过改变质量块的质量或弹簧的刚度以使阻尼器的自振频率与主体结构待控振型的频率接近，从而使主体结构产生的激励振动传导到TMD时，相应的TMD装置则自行产生与激励振动反方向的惯性力，利用该惯性力去逐次衰减主体机构的振动响应。同时想利用TMD中的阻尼器去消耗振动能量，就必须在相应的主体构件上加装TMD装置。由上述不难看出，其本身的动力特性在其布设完成后基本难以改变、更无法自由的进行调节，因此TMD实际上是一种被动的用来控制减振的装置，也就是说只有在一定的频率范围内TMD的减振作用才会对相应的外部激励有良好的效果。

3.2 参数设计

式中：

根据减振设计要求，要将在人行荷载作用下的竖向最大加速度响应降低至限值0.5 m/s2以内。

其中，参考文献，动力放大系数:

其中，μ=md/m为TMD与主结构的质量比；β=ω/ωn为激励频率与主结构频率之比；γ=ωd/ωn为TMD频率与主结构频率之比；ξd=cd/2mdωd为TMD的阻尼比。

当Pt为谐波荷载时，TMD的阻尼比及频率比的计算优化值，可依据主结构最小加速度优化准则推理得到，如下(Ikeda和Ioi)：

其中，γopt为TMD优化频率比；ξopt为TMD优化阻尼比。

由此可见，桥梁的最大竖向加速度是与TMD与主结构的质量比u,激励频率与主结构频率比β,TMD频率与主结构频率比r，TMD的阻尼比ξd相关的函数。而由于优化频率比阻尼比可通过参考公式表达为与u,β相关的参数，所以最大加速度可表达为与u,β相关的函数，即：

D=fD(β,μ,γ,ξd)=fD(β,μ,fγ(μ),fξ(μ))=D(β,μ)。

对上述公式进行整理，即得amax=0.056 4Dβ2，其中：

结构的振动控制实际上就是对动力放大系数的控制，即要求在给定的TMD质量比下，对于任意的激励频率比，结构最大加速度小于某一值。根据这个条件即可确定最小的TMD质量比，依据于此在谐波荷载作用下，利用主结构加速度最小优化准则，来计算并得到TMD的频率比及阻尼比，即可确定TMD的全部参数。

分别绘制最大加速度和μ,β相关的曲线，如图4，图5所示。

当质量比为0.018时，结构最大加速度降为0.5 m/s2，相应荷载频率比为0.95。计算结果满足加速度的限制要求。

最大加速度值随着质量比增大而单调递减，同时其变化率也是随着质量比增大而单调递减。其中，最大加速度值大小反映了TMD的减振效果，变化率(斜率)大小反映了TMD的减振效率。从减振效果的角度看，质量比越大越好；从减振效率的角度看，质量比越小越好，从图形上可以看出质量比小于0.02的时候能够高效的减振，此时调节TMD的质量能够得到显著的控制效果。另外高质量比将显著增加结构恒载内力，所以高质量比很可能是不经济的。

概括地说，随着质量比的增大，结构振动响应衰减的速率逐渐减小，TMD质量取值过大是低效和不经济的。在实际应用中，应综合考虑经济性和控制效果。此处拟取TMD和结构的质量比0.018，进而算得TMD的优化频率比和阻尼比分别为0.986 4和0.108 9。

由于一阶阵型起控制作用，跨中响应最大，故阻尼器安装位置为跨中。

4 被控结构-STMD系统鲁棒性分析

TMD的控制效果主要取决于参数：质量比、频率比和阻尼比，而在实际情况中，阻尼器的参数往往会因为机械制造的误差而存在参数上的差异，这将导致阻尼器的实际控制效果与理论结果之间存在偏差。下面分析TMD的鲁棒性，即当TMD的参数发生变化时，TMD的控制效果随之变化的幅度(稳定性)。

从以下两个方面考虑TMD的鲁棒性：

1)对不同的质量比，分析结构加速度响应随频率比的变化关系(此时，阻尼比根据优化公式代入求得)，结果见图6。

2)选定质量比为0.018，对于不同的频率比，分析结构加速度响应随阻尼比的变化关系，结果见图7。

显然，如果质量比取值很大的话，鲁棒性肯定很强，能够保证较大偏差的情况下仍能有效减振，但是正如上述所示：以大质量比为代价来追求强鲁棒性是不经济的。所以，鲁棒性应该在考虑有限偏差的范围内进行讨论。

因为可能产生偏差的情况很多——如质量变化刚度不变、质量不变刚度变化、质量与刚度恒比变化、质量变大刚度变小以及质量变小刚度变大等。而对于结构和荷载的偏差，就本次设计而言可以忽略。因为上述分析是建立于结构在荷载作用下发生共振的基础上，所以一旦结构与荷载发生偏差反而会使结构的加速度响应值减小(已经通过计算验证)，所以可以不予考虑。

由图6可知，对于不同的质量比，加速度响应随着频率比的增大呈先增大后减小的规律，当频率比接近1时，减振效果最好；随着质量比的增大，当某一频率比出现波动时，加速度响应变化程度降低，即质量比越大，鲁棒性越好。

对于不同的频率比，加速度-阻尼比曲线比较平缓，即当阻尼比出现波动时，加速度响应变化幅度较小。所以，结构加速度对阻尼比敏感度不高。

考虑设计、施工和建造误差导致的鲁棒性波动，设计时应当在临界质量比的基础上略微提高一些。

5 结语

本文以某人行桥为研究对象，计算了其人致振动响应最大加速度，进而针对结构第1阶模态进行TMD减振设计，通过对是否安装TMD系统前提下的、受到同种人行荷载作用的人行桥的振动响应结果进行分析，得出了TMD减震系统的确对于在人行荷载作用下的人行桥结构具有优良的减振效果。

此外，人行桥结构的动力反应是采取第1阶模态控制的方式，加之频率相近或相同频率发生可能极小，利用STMD就能够得到优异的减振效果。值得注意的是，因为人行桥主体结构本身的阻尼比较小，进行TMD设计后反馈的减振效果将十分明显。研究中针对结构第1阶模态进行TMD减振设计，首先参考文献推导最大加速度响应方程，获得目标加速度时的最优质量比(0.018)和相应的荷载频率比(0.95)。进而参考文献优化公式算得TMD的优化频率比和阻尼比分别为0.986 4和0.108 9。

在此基础上，进行被控结构-STMD系统鲁棒性分析。结果显示，质量比越大，鲁棒性越好，但一味增大质量比将降低效率和经济性；结构加速度对阻尼比不是很敏感。考虑设计、施工和建造误差导致的鲁棒性波动，设计时应当在临界质量比的基础上略微提高一些。