多视角体验数学运算，巧用极端思想解高考题

福建省龙岩市高级中学 (364000) 谢盛富

本文系2022年龙岩市新罗区“十四五”教育科研重点课题“新教材背景下提高数学运算能力的策略研究”(编号：XL1452022072)的阶段性研究成果.

数学运算是依据运算法则解决数学问题的素养，主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等，是解决数学问题的基本手段.在学习中发展数学运算能力，借助运算方法解决问题，通过运算促进思维发展，因此，掌握基本的运算方法，选择合理的运算途径，优化解题策略，提高数学运算能力，倍受关注.极端思想是解决数学问题的重要方法之一，不但能有效避免正面解题带来的计算量大、过程繁琐、不易理解等问题所产生的心理压力，而且为考生的解题注入新的动力，是强而有力的助力剂，能增强自信心.

1 真题展现极端思想

例1 (2015年全国新课标卷Ⅰ理科第16题)在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.

图1

2 多视角解法体验数学运算

极端包括数量的极端化、元素的特殊位置、图形的特殊情况，极端思想是指描述变量在一定的运动变化过程中的极端状态，是将事物无限逼近某一状态.笔者所在学校高三第9周练习恰有2道试题可用极端思想求解.不同视角下的数学运算过程各有不同的特点，但用极端思想解题带来便捷，它的优势无疑是凸显出来了.

C． (0,32) D． [0,32)

分析1：本题以三角形为背景，自然会联想到正弦定理或余弦定理，但在转化上，思维跨度较大，考生不易入手.

分析2：从条件“BC=4，|AB|=2|AC|”考虑，易联想到点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，有新颖性，但也有一定的计算量.

分析3：抓住“三角形”这一条件，从极端情况考虑，即“不是三角形”，也就是“A，B，C三点共线”，是不是可以更快解题，又不失数学本真、简洁美与和谐美呢？

例3 在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，2-sin2C=sinAsinB+cos2A+cos2B.(1)求角C；(2)若△ABC为锐角三角形，且b=4，求△ABC面积的取值范围.

分析1：由条件易得C=60°，这与平时训练的“已知对应的边与角求面积或周长的取值范围(或最大值)”是不同的，因此无法应用余弦定理加基本不等式求解，可通过正弦定理把边化成角，再利用面积公式求解，其中角的范围是易错点.

分析2：画出△ABC的草图，抓住关键字眼“锐角”，是不是可以先考查介于锐角三角形与钝角三角形之间的直角三角形来求解，再得出锐角三角形的面积范围呢？显然，这时应用极端思想，简单且计算量小，有平几知识的味道，更适合考生准确求解问题.

图2

3 极端思想再现于真题

A．13 B．12 C．9 D．6

例5 (2021年上海卷第9题)已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C为下底面圆周上的一个动点，则△ABC的面积的取值范围为.

A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-2,4) D．(-4,6)

图3

图4

例7 (2019年高考北京卷Ⅰ文科第8题)如图4，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( ).

A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβ

C. 2β+2cosβD. 2β+2sinβ

解析：利用极端思想，当β→0时，弧长AB无限逼近零，阴影区域的面积趋于零；排除选项A、C；当β→π时，弧长AB无限逼近圆周，阴影区域的面积趋于π×22=4π；排除选项D.故选B.

例8 (2013年高考福建卷文科第7题)若2x+2y=1，则x+y的取值范围是( ).

A. [0,2] B. [-2,0]

C. [-2,+∞) D. (-∞,-2]

简析：本题的命题意图是考查基本不等式的应用，但是利用极端思想，结合指数函数图象，能快速准确选出答案.由2x+2y=1可知，当x→0时，2y→0，此时y→-∞，因此x+y→-∞，故选D.

通过以上例题，可以体验到极端思想具有简单又通俗、易理解与操作的特点，适宜学生准确、快速解决问题，在解题中获得自信心和成就感.教材是高考命题的依据，高考试题具有权威性、科学性和应用型，命题具有导向性和时代性，解答过程具备答题规范与技巧策略等功能，专家、学者、教研员和一线教师纷纷对历年高考真题进行改编、模仿命制质量较高的试题.因此在教学中，可根据教学需要，结合学情，创设真实又合适的问题情境，渗透数学思想与方法，通过真题点拨解题的各种策略与对应的视角，积极培养学生的数学思维，体验简约又深刻的探究过程，构造各种数学模型，掌握各种解题技巧，优化解题过程，善于引导、提高学生的数学运算能力，提升数学核心素养，不断总结、反思，悟出数学运算之妙.