直观想象素养引领下的函数试题命制
——以2017年全国Ⅰ卷(理)压轴题为例

福建省泉州第五中学 (362000) 杨苍洲福建省莆田第一中学 (351100) 蔡晶晶

福建省教育科学“十四五”规划2021年度专项课题“核心素养视域下高考数学命题研究”(课题编号Fjjgzx21-006)部分研究成果.

试题的解题方法固然很值得研究，但探究试题的命题背景、命题方法，不仅有助于在解题中寻找入口、理顺思路、开阔视野，提高解题水平，而且也能大幅提高教师的命题水平．笔者探究2017全国Ⅰ卷函数与导数试题的命题方法，发现它与福建省泉州市2017年的两次市质检的两道函数导数试题的命制手法异曲同工.本文通过探究2017年高考全国Ⅰ卷理压轴试题命题手法，可以得到一种“基于相切两函数图像的伸缩变换法”的命题方法．同时展示两题自编、基于此命题手法的试题及其命题过程.

1 命题手法揭示

题1 (2017年全国Ⅰ卷理第21题)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．

分析：先作了如下的等价转化.

函数f(x)有两个零点 ⟺方程ae2x+(a-2)ex-x=0有两个不同实根⟺ 令ex=t，t>0，方程at2+(a-2)t-lnt=0有两个不同实根⟺方程a(t2+t)=lnt+2t有两个不同实根⟺曲线f1(x)=lnx+2x与曲线f2(x)=a(x2+x)有两个公共点.

实际上，曲线y=f2(x)中的系数a，决定了曲线的开口方向和大小，是对曲线做了相应的对称变换、伸缩变化，如下列四个图像：

图3(01)

其中，当a=1时，曲线f1(x)=lnx+2x与曲线f2(x)=a(x2+x)相切于点原点(1,2)(如图2)，在此基础上，只需将曲线f2(x)的图像进行伸缩变换，就可得到不同图像.

根据上述分析，笔者猜测命题者正是由此而得到了题中问题(Ⅱ)的设问.

整个试题形成过程可以总结为如下：

(1)先确定两个函数，f1(x)=clnx+dx，f2(x)=a(x2+x)，为使得运算数据不过于复杂，确保部分学生可以得到第一步分数，先设定a值及此时两个函数图像公共点，a=1，公共点(1,2)；(2)利用两个函数有公共点，且在公共点处的切线相同，确定c,d的值，c=1,d=2；(3)为了通过压轴题有效区分学生的思维水平和数学素养，强调思想方法，故将初始的函数f1(x)=lnx+2x与f2(x)=a(x2+x)，当f1(x)=f2(x)时，换元构造，将x用ex替换，得到x+2ex=a(e2x+ex)，移项得到函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x，设置问题(Ⅱ)“若f(x)有两个零点，求a的取值范围．”从而使得问题的解法更多样.

(4)考虑到学生更易想到的是利用函数零点问题的通法解题，其一是利用导数研究函数的单调性，最值，确定函数与x交点个数问题；其二参变分离，而参变分离，虽然使得函数解析式形式稍微复杂，但避免了分类讨论，故为体现试题的公平性和选拔性，命题者设置了问题(Ⅰ)“讨论函数f(x)的单调性；”为问题(Ⅱ)的解决提供思路方法.

笔者把上述命题手法称为“基于相切两函数图像的伸缩变换法”，其命题实施步骤为：第一步，寻找两个相切的函数图像；第二步，把其中一个函数乘以参数a，使之成为动函数；第三步，构造出相应的不等式问题或者函数零点问题等；第四步，对所得问题进行恒等变形、包装.

2 “伸缩变换”下的试题命制

笔者曾经以此手法命制过几个高考模拟试题，现展示其命题过程，以飨读者.

题2 (2017年3月泉州市质检第21题)已知函数f(x)=mxln(x+1)+x+1，m∈R．

(Ⅰ)直线l与曲线y=f(x)恒相切于同一定点，求l的方程；(Ⅱ)当x≥0时，f(x)≤ex，求实数m的取值范围．

命题过程：

第二步，把其中一个函数乘以参数2m，得f1(x)=mln(x+1).参数m是对函数f1(x)的开口方向及开口大小的伸缩变化，不同的参数m所对应的函数图像如下;

图5(m<0) 图

图 图

第三步，构造出相应的不等式问题：当x≥0时，mln(x+1)≤ex-x-1，求实数m的取值范围;

第四步，对所得问题进行恒等变形：当x≥0时，mln(x+1)+x+1≤ex，求实数m的取值范围.

题3 (2017年5月泉州市质检第12题)已知函数f(x)=ex，g(x)=ax2-ax.若曲线y=f(x)上存在两点关于直线y=x的对称点在曲线y=g(x)上，则实数a的取值范围是( ).

(A)(0,1) (B)(1,+∞)

(C)(0,+∞) (D)(0,1)∪(1,+∞)

命题过程：

第一步，寻找两个相切的函数h(x)=lnx，g(x)=x2-x;

第二步，把其中一个函数乘以参数a，得g(x)=ax2-ax.参数a是对函数g(x)的开口方向及开口大小的伸缩变化;

第三步，构造出相应的零点问题：曲线y=f(x)与曲线y=h(x)有交点，求实数a的取值范围;

第四步，对所得问题进行恒等变形，得上述问题.

上述三题可谓异曲同工，无论从试题的函数背景、设问方式，还是从试题的命题手法，题2与题3都与2017年全国Ⅰ理卷第21题极其相似.在此类问题的解答时，解题者如能探明试题的命题方法，就不难得到解题思路了．同样地，教师在试题评讲时，也将更加顺利地讲清问题的来龙去脉．