依托数学文化 玩转平面向量

湖北省襄阳市第四中学 (441021) 范 娜湖北省襄阳市第一中学 (441000) 王 勇

数学文化是贯穿整个高中数学的重要内容，在高考中，以数学文化为命题背景的试题立意深远、构思精巧、内涵丰富，既能考查数学知识、能力、思想和方法，又能加深对中外数学文明的了解，增强爱国主义情怀，提高数学文化素养，丰厚数学文化底蕴.融入对数学文化的考查已成为新一轮高考命题改革的一个显著特征.下面精选以数学文化为依托的平面向量问题七例并分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

一、以“八卦模型图”为依托

图1 图2

A.4 B.3 C.2 D.1

点评：本题中八卦模型图只是为了引出八边形ABCDEFGH的一个载体，重要的是理解平面图形，即正八边形ABCDEFGH所包含的几何性质，在正八边形ABCDEFGH中，通过对几何图形性质的理解，利用向量的和差运算、数量积运算等，逐一验证给出的四个结论是否正确而得解.

二、以“赵爽弦图”为依托

图3

图4

点评：本题借用“赵爽弦图”考查平面向量的线性运算，具体推理时有一定的难度.

图5

图6

点评：本题以“赵爽弦图”的类比图为背景命制，新颖别致，韵味十足.主要考查平面向量的线性运算，具体推理时，需添加辅助线，极富思考性和挑战性，是一道难得的好题.

三、以“黄金分割”为依托

图7

点评：本题以黄金分割数及黄金分割点为载体命制，主要考查平面向量的线性运算，对运算求解能力要求较高.

四、以“勾股定理”为依托

图8

点评：本题首先通过已知确定三角形的三边长，然后利用平面向量数量积运算求解即可.

五、以“欧拉线”为依托

例6 (2021·深圳市调考题)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O,H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC的中点，则( ).

图9

图10

点评：本题以三角形的欧拉线及欧拉线定理为背景命制，主要考查平面向量的线性运算，具体推理时，有一定的难度.解法2利用特殊图形法可轻松获解，敬请同学们仔细品味和充分借鉴.

六、以“六芒星”为依托

图11 图12

A．-6 B.1 C.5 D.9

图13

点评：本题是以“六芒星”为背景命制的多选题，图形美观大气，主要考查平面向量的线性运算，分类讨论思想考查充分，借助图形的结构特征求出的取值范围，进而求出的可能取值.

纵观以上各例，我们发现，此类平面向量题一般是从中外优秀传统文化中挖掘素材，将数学文化与平面向量知识有机结合，要求考生对试题所提供的数学文化信息材料进行整理和分析，在试题营造的数学文化氛围中，考查平面向量的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，感受数学的思维方式，体验数学的理性精神.