由一道课本习题说起

广东省云浮市邓发纪念中学 (527300) 黄梅娟

人教版必修1课本第82页有这样一道题：“比较log67与log76的大小”.本习题是学生学完基本初等函数之后的复习参考题，编者意图是希望学生能用对数函数性质并借助中间值1来比较两个数大小的关系，并希望学生通过这个题目掌握比较两个数大小的基本方法. 笔者在教学中思考这样一个问题，这两个对数的底数和真数之间有一定的联系，能否一般化？即能否比较logn(n+1)与log(n+1)n(n∈N*)大小?更一般化，能否比较loga(a+1)和log(a+1)a(a>0且a≠1)大小? 本文用函数观点探究其解法并推广.

1 解题思路与方法

很明显，当a>1时，loga(a+1)>logaa>log(a+1)a，所以loga(a+1)>log(a+1)a.但当0

(1)作商比较

(2)作差比较

2 探究并推广

对数与指数是一对孪生兄妹，对数函数中具有的一般性质在指数函数中是否也具有同样性质? 即当a>0且a≠1时，能否比较aa+1与(a+1)a大小？

①当a∈(0,x0)时，lny1-lny2=f(a)<0， 所以aa+1<(a+1)a；②当a∈(x0，+∞)时，lny1-lny2=f(a)>0， 所以aa+1>(a+1)a；③当a=x0时，lny1-lny2=f(a)=0， 所以aa+1=(a+1)a.

3 应用

例1 (2018年全国Ⅲ卷12)设a=log0.20.3,b=log20.3，则( ).

A.a+b

C.a+b<0

点评：本题主要考查对数函数的性质、对数的换底公式，学生对观察能力、逻辑思维能力、运算求解能力要求较高.

例2 (2017年全国Ⅰ卷11)设x,y为正实数，且2x=3y=5z，则( ).

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

A.a

C.b