一道2021年中科大强基题的探究与变式拓展

重庆市彭水第一中学校 (409632) 刘恩坤 李红霞

本文从一道2021年中科大不等式强基题入手，逐步展开均值不等式与联赛中的一些应用，然后给出试题的一般性结论和变式拓展，希望给读者带来学习与借鉴.

1. 试题呈现

已知正实数a,b,c满足a+b+c=1，求a2+b2+c2+2abc的取值范围.

2 试题解法探究

3. 一般性探究

已知非负实数a,b,c满足a+b+c=1，求a2+b2+c2+kabc的最小值.

4. 一般结论

综上所述，已知非负实数a,b,c满足a+b+c=1，求S=a2+b2+c2+kabc(k≠0)最小值.

5.变式拓展

变式1 (2021年数学通讯第7期504问题)已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ca=a+b+c>0，求证：a3+b3+c3+13abc≥16.

探索性结论：已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ca=a+b+c>0，求a3+b3+c3+kabc(k>0)的最小值.

变式2 已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ca=a+b+c>0，求证：a2+b2+c2+13abc≥8.

变式3 (数学通报2016年第10期2321号问题)已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ca=a+b+c>0，求证：a2+b2+c2+5abc≥8.

若考虑k∈N+时，可以写成当0