从一道联考题出发谈极值点偏移问题的解法

湖北省宜昌市葛洲坝中学 (443000) 彭晓琳

试题呈现

(2022年湖北省高三二月联考第22题)已知f(x)=x2-2alnx,

(1)讨论y=f(x)的单调性；(2)若y=f(x)有两个零点x1,x2(x1

(i)求实数a的取值范围；(ii)设x0是y=f(x)的极值点，求证：x1+3x2>4x0.

一、解法探究

题目第(1)问为第(2)问(ii)的解答提供帮助，阅卷表明，学生普遍不能解答该题第(2)问的第(ii)小问，现撰文探讨第(2)问的第(ii)小问的解题方法，期待能对广大师生有所启发.

思路1：(利用比值代换将双变量问题化为单变量问题然后构造新函数证不等式)

思路2：(通过等价转化的思想利用对称差函数然后构造新函数证不等式)

点评：解题的关键是根据f(x1)=f(x2)建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，利用对数平均不等式求解.

由此我联想到2021年高考22题，这道题的第二问也是一个极值点偏移问题.下面我们来探究一下这道题的解法.

二、迁移应用

解法：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)．由f(x)=x(1-lnx)得f′(x)=-lnx，当x=1时，f′(x)=0；当x∈(0,1)时f′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0．故f(x)在区间(0,1]内为增函数，在区间[1,+∞)内为减函数.

第(2)问可以有以下几种解法：

点评：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.

点评：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.

点评：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.

点评：构造函数之后想办法出现关于x1+x2-e<0的式子，这是本方法证明不等式的关键所在.

三、教学启示

解决极值点偏移问题主要有两种方法，实质上都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数，因此，主元法才是破解极值点偏移问题的通法，而比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.这种处理技巧是解决极值点偏移问题的常用方法.