对比一般巧转化 特殊思维妙应用

江苏省高邮市第一中学 (225600) 郭 林

特殊与一般的数学思想方法是通过对数学问题的特殊情形(如特殊函数、特殊数列、特殊点、特殊位置、特殊值、特殊方程、特殊形状等)的构建与解决，从而寻求对一般的、抽象的、运动变化的问题的解决思路与技巧方法，特别是解决一些小题(选择或填空题)中比较常用的一类基本技巧策略.

1.特殊函数

例1 (多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x-1)、f(x+1)都为奇函数，则下列说法正确的是( ).

A.f(x)是周期为2的周期函数

B.f(x)是周期为4的周期函数

C.f(x+2)为奇函数 D.f(x+3)为奇函数

分析：根据题目条件，一般的常规解法是利用函数基本性质的定义加以化归与转化，结合函数的奇偶性的定义，利用定义建立相应的关系式，合理变形与转化来分析与处理.而通过特殊函数的构建，结合函数的基本性质来合理配凑满足条件的特殊函数，进而通过特殊函数来分析与判断.

解法1：(常规解法)由f(x-1)、f(x+1)都为奇函数，则有f(-x-1)=-f(x-1)，f(-x+1)=-f(x+1)，从而f(x)=-f(-x-2)，f(x)=-f(-x+2)=-f(2-x)，故f(2-x)=f(-x-2)⟹f(x+2)=f(x-2)⟹f(x+4)=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数；又由于f(x-1)为奇函数，结合f(x)是周期为4的周期函数，则f(x+3)=f(x-1)也是奇函数.综上，故选BC.

点评：利用特殊与一般的思想，联想到满足条件的某一具体的特殊函数实例，以特殊(或具体)函数的特点来推断一般函数的特点，通过“一般”与“特殊”之间的转化，问题将归结为具体的数学问题来求解，变得简洁明了，有效地降低了问题的抽象程度.特殊函数法判断此类问题，简单快捷，只是在选取特殊函数时存在一定的难度，而且选取出来的特殊函数常不具有普遍性，容易出现误判.

2.特殊值

例2 (多选题)已知函数f(x)=x3+ax+b，其中a，b∈R，则下列选项中的条件使得f(x)仅有一个零点的有( ).

A.a

分析：根据题目条件，一般的常规解法是利用函数与导数的关系，结合函数的零点来分析与判断，过程比较繁杂，不易判断(这里不对解析过程加以展示)；而利用特殊值法，结合不同的选项选取对应的特殊值加以分析与判断，快捷易操作.

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解析：(特殊值法)对于选项A，由函数f(x)是奇函数，知b=0，结合a

点评：通过选项A、C中一个参数的确定，另一个参数可以利用条件取特殊值，进而确定函数的解析式，通过因式分解确定对应的零点情况，进而巧妙排除，结合多选题至少有两项是正确的特点，直接确定剩下的两选项为正确.

3.特殊位置

例3 已知△ABC是半径为2的圆O的内接正三角形，P是圆O上的任意一点，则PA2+PB2+PC2的值为( ).

A.12 B.24 C.48 D.不能确定

分析：一般的常规解法是坐标法，利用构建平面直角坐标系，通过点的坐标的确定与设置，结合向量的模的运算与转化来确定对应的值；而通过动点的特殊位置，直接利用三角形的边长来确定向量的模的平方问题，更加简单有效.

图1

点评：利用动点的变化的“动”的过程与特殊位置的“静”的状态，实现借助特殊位置来表示动点所运动过程中一个“瞬间”，以特殊来解决一般性问题.在解决一些平面几何、解析几何以及立体几何中的动点问题时，经常可通过考虑特殊位置来实现问题的破解.特别注意的是，特殊位置法中，经常通过选取动点的不同特殊位置时也是同样的值，从而增强答案的可信度.

4.特殊形状

A.0 B.2 C.-2 D.-4

分析：一般的常规解法是基底法，利用平面向量的线性关系与线性运算，结合基底法的转化与应用，利用数量积公式来分析与求解；而通过特殊三角形形状，利用直角三角形的直观形象，涉及熟悉的直角三角形与等边三角形问题，处理起来更加简单快捷，方便问题的转化与处理.

图2

点评：利用选择题中结论为定值，可以选取特殊形状的平面几何图形(这里选取以C为直角的直角三角形)来特殊化处理，此时对应的直角三角形是一个非常熟悉且常用的直角三角形，结合边与角的关系来分析与处理，进一步综合等边三角形的性质来分析与推理说明，很好减少推理与运算.

利用特殊与一般的数学思想方法来解决一些相关的选择题与填空题，真正做到“小题小做”，一定程度上可以节约解题时间，进而快捷地作出正确的判断或求解，提高解题速度，简化解题过程.