概率论与数理统计的线上线下混合式教学模式探讨和实践
——以苏州大学应用技术学院为例

孙唯唯

（苏州大学应用技术学院 江苏 苏州 215325）

1 教改的背景与意义

以苏州大学应用技术学院为例，概率论与数理统计是一门通识课程，面向商学院和工学院所有专业，选用同一本教材，并采用相同的教学大纲、教学进度表和考核方式。课程一般开设在大学一年级，工科专业是在大学二年级开设。

1.1 不同专业大类的课程教学成绩差距较大

通过近几年的教学成绩分析，发现商科和工科在“概率论与数理统计”的学习效果上的差距越来越大[1]。从学院教务处2018―2021 该课程的考试成绩数据分析（剔除对口单招和专升本专业），近四年工学院学生的平均及格率比商学院学生高出近21.3%。

通过课后章节习题的练习情况分析，从第二章第三节《连续型随机变量》开始，商科学生的整体情况较工科学生的差距开始凸显。并且在概率论后续章节中，但凡涉及连续型随机变量的知识章节，比如第二章第四节中的《一维连续性随机变量的函数的分布》、第三章《多维随机变量中有关多维连续性随机变量》的练习中，两个专业学生的差距逐渐增大。

虽然一门课程的学习效果不能仅从考试成绩或习题练习情况来唯一判定，但是上述四年的考试成绩数据从另一个侧面反映了一个不可忽略的事实：商科和工科学生在“概率论与数理统计”的整体学习效果上有较大差距。

1.2 不同专业大类在教学过程中学习兴趣差别较大

虽然老师在教学设计中，根据专业特点的不同选取了具有针对性的教学案例，但是不同专业大类学生的整体学习兴趣在第二章《连续性随机变量》的教学活动后差距较明显。主要体现在课后作业是否能及时完成、课后布置的预习任务是否完成。

2 教学反思和教学研究

2.1 “概率论与数理统计”课程的特点分析

“概率论与数理统计”是一门课程，却又是两门学科的结合体。概率论是数理统计的基础，数理统计则是概率论的应用。教学内容安排是先完成概率论部分的学习，再进行数理统计部分的学习。所以如果学生在概率论阶段的学习效果不扎实，就会严重影响数理统计部分中概率论原理的应用。

概率论的学习虽然是以研究随机现象为主，有其公理化体系，但其发展和延伸离不开高等数学领域中的微积分工具，在具体计算和处理方法上仍然以微积分工具为主。特别体现在连续型随机变量的概率密度函数，这是微积分思想的体现和应用，也是学生们学习的重难点，更是不同专业学生学习效果的一个分水岭。

2.2 “概率论与数理统计”课程所需的数学预备知识

“概率论与数理统计”虽然与“高等数学”是两门课，但是要能正确理解概率论中的连续性随机变量的概念，学生必须深刻理解高等数学中的微积分思想并能灵活应用。

例如，在学习第二章《连续型随机变量的概率密度函数和分布函数》之前，要求学生对定积分的概念、数学计算方法（牛顿莱布尼茨公式）、几何计算方法（不规则图形的面积）、变限积分求导等知识非常熟悉。如果学生只会定积分的简单计算，对定积分的概念和几何意义不熟悉，则无法深刻理解连续型随机变量的概率密度函数和分布函数的关系。再例如，在计算连续型随机变量的期望时，直接引用了高等数学里的无穷限积分。这要求学生灵活调用微积分的知识来解决概率计算问题，从学生的角度而言这是一个不小的难题。

2.3 工学院和商学院的高等数学基础差异

在学习“概率论与数理统计”之前，商学院学生先修了“高等数学”课程。此课程大纲仅要求学生了解定积分的概念、了解定积分的几何意义，了解定积分的简单应用。在二重积分中只要求会简单计算，并不要求掌握二重积分的概念和应用。

工学院学生先修了“高等数学（一）（上）”“高等数学（一）（下）”两门课程。“高等数学（一）（上）”的大纲要求学生理解并掌握定积分的概念、几何意义，熟练运用定积分的元素法来解决相关几何问题。“高等数学（一）（下）”从二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分等多维度多角度地延伸和拓展“高等数学（一）（上）”中的微积分思想、应用和计算。

从教学大纲的对比分析可知，工学院学生的微积分基础从整体来讲较商学院学生扎实，不仅体现在微积分计算，更体现在对积分思想的理解和应用。所以在概率论中涉及微积分思想和计算的相关章节时，工学院学生较商学院学生学习效果的差距就体现出来了[2]。

3 教学改革探讨和实践

3.1 教学改革措施

针对上述情况，采取了实现教学内容、方法和手段的改革，将“线上线下”教学模式和精品课程资源结合起来。教学团队主持的校级教改项目“‘概率论与数理统计’课程线上线下混合式教学探讨和实践”，依托学习通教学平台，完成了线上视频制作、练习题录入等工作，为网络资源建设做好充分准备[3-4]。

3.1.1 线上资源建设

本课程总学时为48 学时，根据教学大纲将内容分成50 个知识单元，并分别录制了视频。在录制线上视频时，采用双屏录制，既有课件PPT 的展示，又有实时的手写板书，这样更方便学生在观看视频时清楚理解计算步骤。

①每个章节都设置了“本章要点、典型例题及自测题”，让学生从整体上把握整个章节的知识脉络，并进行习题训练。线上作业题设置紧贴教学大纲中的知识点，但有难度区分，可供不同程度的学生进行选择性练习。

②每个章节还设置了“课程知识案例”，比如第一章《随机事件与概率》的应用案例“彩票问题-七乐彩”，这是与现实生活相关度较大，比较能够吸引学生的问题。虽然学生的直观感觉是中奖概率较低，但对“有多低”的定量表述是没有概念的。在应用案例中，运用学到的概率论知识分析得到中奖概率的准确数值，用数学的方法来再次验证日常经验，让学生体会到所学知识在现实生活中的用处，激发学生的学习兴趣。

又比如第四章《大数定律与中心极限定理》，在线下课程中由于课时有限，教学内容只能覆盖理论知识，同学们在学习后难免觉得枯燥无聊。线上课程提供的应用案例“保险公司的利润问题”，可以很好地体现此理论知识在实际生活中的应用。案例提出的问题也是学生比较感兴趣的：保险已经深入我们的日常生活，随处可见保险推销，保险公司的利润究竟是否可观？在案例中，通过中心极限定理计算出保险公司几乎不会亏本，在案例中的盈利概率为71.9%。

3.1.2 混合式教学实施

第一，混合式教学实施的背景。

比如第二章第三节《一维连续性随机变量的概念》是建立在定积分概念的几何背景上的，其概率密度函数也是用微积分的符号来定义的。对于工科学生，微积分基础整体相对扎实，对于定积分思想的理解和应用不论从广度还是深度都比商科学生有优势，所以教学内容的安排可以从第二节《离散型随机变量》直接过渡到第三节《连续性随机变量》。但商科的学生由于微积分基础薄弱，面对相同的教学进度则出现了严重的学习困难，所以这样的教学安排对于商学院的学生很不合适。但由于课时是有限的，不可能单独拆分出额外的课时为商科学生进行定积分复习。

第二，混合式教学实施的过程。

以第二章一维随机变量为例。针对商科学生，在完成《一维离散型随机变量》的学习后，要求学生课后完成线上教学平台的“定积分复习”模块。

复习模块共有5 个视频，分别是模块1 定积分的几何概念、模块2 牛顿莱布尼茨公式、模块3 定积分的计算、模块4 无穷限积分的概念、模块5 无穷限积分的计算。这5 个模块将一维连续性随机变量小节中所有与定积分相关的知识点都单列出来进行强化复习，商科学生可以利用较短的时间快速且有针对性地复习定积分相关的知识点。对于基础较好的工科学生，可以作为一个简单的知识回顾。

在与计算能力相关的模块中，还精心设计了将概率论等知识融合在内的习题训练。其中模块1 定积分的几何概念中，配套基础练习1“已知F x 求其斜率函数f x ，并画图”；模块2 定积分的计算中，配套基础练习2“积分计算(凑微分)”、基础练习3“积分计算(定积分的性质)”；模块5 无穷限积分的计算中，配套基础练习4“积分计算(无穷限积分)”、基础练习5“已知F x 的斜率函数f x ，求F x”。这些题型是特别针对概率论中的知识点进行设计的，学生在完成这些习题的同时既能复习定积分的知识，又可以提前熟悉一些概率论特有的表达形式。

线上学习平台开通了讨论区不定期回答学生的疑问。针对完成情况较差的模块，会进行线上直播讲解例题。所有这些教学活动，都是在线上完成，每个同学都可以根据自己的情况来灵活调节学习的侧重点和学习时间。根据线上视频的学习和习题的训练效果，评估学生定积分知识复习的情况，当线上学习效果评估过关后，在按照教学进度表在线下课程讲授《一维连续型随机变量》。

这样线上线下混合式教学很好地弥补了因为不同专业定积分基础程度不同而带来的学习效果的差异性[5]。

3.1.3 考评模式创新

增加线上学习的过程考核，作业点评等环节，以线下课程的笔试考核及平时作业评测为辅的方式进行，全方面考核学生的综合素质。

3.2 教学效果分析

在重修班的试点教学中，在学习通平台线上开课2 轮次，累计学习人数近500 人。采用线上线下混合式教学方式，取得了非常好的教学效果。从章节小结测试的情况分析，第二章的章节测验中商科和工科的均分差距在逐渐缩小。从考试成绩的统计数据上看，重修班中商科学生的及格率较之前明显上升，学生学习的积极性也比较高。

4 综述

教学团队从概率论与数理统计课程的教学现状出发，进行教学改革。从线上视频资源、作业题等方面进行了全面的建设，利用上述教学资源，采用线上线下混合式教学方式，对比重修班的成绩，发现混合式教学方式对不同专业大类的学习效果差距起到了很好的弥补作用。

在教学过程中，对教学对象的研究始终是教师进行教学活动最重要的前提，特别是应用型本科院校中的通识类数学课程[6-7]。在教学大纲、教学进度、教学内容、考核内容均一致的情况下，任课教师更要根据实际课程教学情况来研究不同专业大类的教学对象，分析教学效果差异的原因，进行教学反思，调整教学方向和方法，更新教学手段，提高通识类数学课程的教学质量。