黑洞的稳定性和数学美

李新洲

从常人看来，数学结构，特别是应用于物理学的数学结构实在太复杂，除了赞叹不已外，很难发生共鸣。广义相对论如此，粒子物理的规范模型也是如此，而黑洞稳定性的论证更是如此。新近，美国哥伦比亚大学的埃莱娜·乔治（Elena Giorgi）、杰里米·赛福特（Jeremie Szeftel）和普林斯顿大学的赛奇尤·克拉纳曼（Sergiu Klainerman）在长达2100页的5篇论文中，证明了缓慢转动的克尔黑洞确实是稳定的，这是广义相对论的数学进展中的一座里程碑。

古希腊的赫拉克利特曾说过，自然爱隐藏。确实如此，要在2500年前看到原子是远远超过了当时的技术水平。今天，自然也将黑洞的稳定性蕴藏了起来。2019年9月14日，在高等引力波激光干涉仪（aLIGO）项目正式启动的前4天，两台探测仪在相隔几毫秒内测量到了一个持续0.2秒的几乎相同的信号。这是人类历史首次观测到黑洞双星系统，也是有史以来对黑洞的最直接观测。黑洞不仅在转动，还在脉动。时空曲率波动在黑洞附近的反弹可以看作它自身的脉动。于是，我们自然会发问，黑洞与车轮或者恒星的脉动有什么类似之处？快速转动的车轮偏离转动会产生脉动，脉动从转动中获得能量。在极端情况下，甚至发生轮子飞离轮轴的事故。力学家说，车轮振动是不稳定的。转动恒星也会有类似的现象。所以，人们自然会问，转动的黑洞会发生不稳定的脉动吗？脉动会从黑洞的转动中获得能量，愈来愈强吗？脉动会强到撕裂黑洞的程度吗？2022年5月31日，乔治、赛福特和克拉纳曼在一篇长达912页的论文中证明了慢转动的克尔黑洞确实是稳定的，给彻底解决稳定性问题带来了曙光。

大约在1960年代，物理学家开始对黑洞进行深入的研究。他们用广义相对论进行一次又一次的计算，发现黑洞会自转、会脉动，黑洞储藏能量，也释放能量，而且没有毛发。黑洞只有4类：①球对称、电中性的静态黑洞；②球对称、带电的静态黑洞；③转动而电中性的克尔黑洞；④转动而带电的黑洞。由于电磁相互作用远远强于引力相互作用，在宇宙中真实存在的黑洞是克尔黑洞。

1963年，新西兰数学家克尔（Roy Kerr）发表了一篇著名文章，描述了转动恒星外面时空曲率的广义相对论场方程的解。物理学家开始认为，这是一个简单化的数学解，因为它只有质量和角动量两个参数。不久后，剑桥大学的研究生卡特（Brandon Carter）指出，克尔解描述的不是转动恒星而是转动黑洞。到了1970年代中期，卡特和包括彭罗斯在内的物理学家证明了，克尔解描述了自然界中所有可能存在的旋转黑洞。

克尔解（表达式很长，读者可参阅相关广义相对论教材）是关于z轴对称的，也就是它独立于绕z轴转动的Ф角。克尔解不是静态解，而是稳态解；它不是时间t的显示函数，但它在时间反演下却不是不变的，因为它含有一个dtdФ非对角项，其中有一个参数α，是单位质量的角动量。描写旋转黑洞的克尔解，存在一个所允许的极大转动速度，正因为这样，我们在外面就无法看到它的内部。事实上，这个最大转动速度正对应了黑洞视界上的线速度不超过光速。

旋转的黑洞拉拽黑洞周围的时空，这有點像灾难片中的龙卷风。龙卷风是一种直立管状旋转的气流，它由冷暖气团相互作用而产生。龙卷风常发生于热带和温带地区，最为常见的地区包括美国的中西部和南部，澳大利亚西部和印度东北部，我国广东、江苏地区也偶有发生。历史上最强的龙卷风发生在1925年的美国，风速高达26.8米/秒，造成2000多人伤亡的大灾难。离龙卷风愈近，破坏性愈强，这是一种局部性的灾难。克尔黑洞带动周围空间一起旋转，离视界愈近，空间转动愈快，在视界处，空间依附在上面一起转动。

克尔黑洞周围的时空像个大漩涡，漩涡的中心就是黑洞。受引力弯曲的时空也像涡流那样流动。与水面上的船只一样，宇宙飞船或者任何物质粒子的运动都受制于这个大漩涡。飞船运动的光锥，不仅朝引力中心倾斜，而且被黑洞转动方向拖拽。这种螺旋运动在一个静止面以内是不可抗拒的。克尔黑洞的结构比史瓦西黑洞复杂得多，比如克尔黑洞存在两个无限红移面，这两个曲面并不对应物理奇点，它们只是说，粒子不能静止在这两个曲面上，只有径向方向发射的光信号才能静止在上面。克尔黑洞还存在两个视界面，外边界r+和内边界r-，它们是单向膜。视界面也不是奇点，在局域测地坐标中，曲率保持为有限。唯一的物理奇点产生在r=0，此处的曲率张量是发散的。静态且电中性的史瓦西黑洞比克尔黑洞的结构简单得多，它只有一个无限红移面和一个视界面，并且两者合二为一。对于克尔黑洞，只是在极点（θ=0， Ф=π）处，无限红移面才与视界面重合。

对黑洞稳定性早期研究做出过重要贡献的钱德拉塞卡（Subrahmanyan Chandrasekha），因对星体结构及其演化研究获得1983年的诺贝尔物理学奖。他的父亲是位官员，也是位卡纳蒂克音乐演奏家，对音乐学造诣颇深。钱德拉塞卡受父亲的影响，在黑洞稳定性研究中引进了术语“拟正则模（quasi normal mode，QNM）”。意大利语quasi是指“恰如、近乎”的意思，常用于音乐术语之中。当你身处深山，听到远处传来的古刹钟声，就是一种拟正则模。

做一天和尚撞一天钟，倘若和尚用铁锤代替木鱼撞钟，就可能撞破了钟。钟对外部扰动（撞钟）的稳定性，在下述语境下提出了问题：对于有限距离内的初始扰动，在扰动所有演化时间内，它会保持有界吗？如果我们将讨论对象从钟换成球对称的史瓦西黑洞，就可以将问题约化成一个1维波动方程（类薛定谔方程），它带有一个短程势，是一个对能量的本征值问题。于是，任何初始扰动在其最后阶段将以黑洞固有方式演化，与初始原因无关，而只与黑洞的固有性质有关。这就是黑洞拟正则模概念的基础。

更准确地说，拟正则模是扰动方程的解，它满足无穷远处纯出射波和视界处纯入射波的边界条件，属于不同本征值的解定义了拟正则模。钟和黑洞都有一个脉动的自然复频率，这个脉动就是它们的拟正则模。钟的构造决定了钟的音调，同样，黑洞的结构也决定了黑洞的拟正则模。在史瓦西黑洞的情形下，黑洞的脉动会逐渐变弱，所以它是稳定的。克尔黑洞在转动，是否会像发生轮子飞出轮轴事故那样，脉动会愈来愈强吗？1971年，钱德拉塞卡认为克尔黑洞的转动最终会撕裂自身，并与研究生普雷斯（W. H. Press）打了赌。但是，判定输赢的工具尚不存在，在此后的竞争中，图科斯基（Saul Teukolsky）率先创建了他的克尔几何框架下的微扰方程。

利用图科斯基方程，可以分析多种问题：克尔黑洞的拟正则模，黑洞脉动的稳定性，黑洞与中子星、或者双黑洞、或者双中子星并合时发出的引力波。利用这个方程，图科斯基和普雷斯通过数值计算表明，不论黑洞旋转多快，脉动都是稳定的。理由很简单，黑洞脉动确实从转动中获得了能量，但发射引力波也使黑洞辐射出能量，计算表明发射的能量速率大于从转动中获得能量的速率，从而黑洞不可能被脉动破坏。尽管钱德拉塞卡输了这场赌局，他为卡特尔订阅了一年《听众》杂志，但是他却在以后的岁月将他的数学天才都用到了完善这个研究上。1983年，他的巨著《黑洞的数学理论》出版了，这是一本黑洞扰动理论的百科全书。

萧何等汉初三杰人称“三人帮”，在双曲型方程研究领域也有一个闻名遐迩的“三人帮”，他们就是克拉纳曼、塞福特和乔治。克拉纳曼是普林斯顿大学数学系教授，1950年出生于布加勒斯特，他自我介绍道：“我是一个对广义相对论中偏微分方程发生强烈兴趣的分析家，热衷于黑洞的数学理论，特别是它的稳定性。我对黑洞捕获面和奇点形成的动力学也感兴趣。”塞福特是哥倫比亚大学艺术与科学研究生院的教授，而年轻的乔治是该院的助理教授。著名的原子弹曼哈顿计划就诞生在这里，杰出的科学家费米、李政道和吴健雄都在这里工作过。

涌现数学物理方面的女天才，是哥伦比亚大学的特色。吴健雄在曼哈顿计划中起到了重要作用，并且她用实验证明了弱相互作用过程中的宇称不守恒。每一个遇到她的人，都会被她旺盛的精力、美丽的容貌和华贵的仪态所吸引。她被同行们誉为“实验原子核物理学的执政女王”，并成为美国物理学会历史上第一位女性主席。多年之后，哥伦比亚大学又涌现出一位惊艳数学物理学界的女科学家，她与吴健雄一样具有充沛的精力与美丽的容貌。她在论述三人帮研究的课题重要性时说道：这与一个“终极猜想”有关，所谓终极是指宇宙的最终命运。克尔黑洞的稳定性是这个猜想的前提之一。倘若克尔黑洞是绝对稳定的，那么宇宙最终将演变成众多远远分离的克尔黑洞。

三人帮采用的论证策略就是常用的反证法。这是一种间接论证的方法，对所要论证的论题，设定反论题，并依据逻辑推理，证明反论题为伪。最后根据排中律，确立论题为真。三人帮认为，图科斯基和普雷斯的数值论证是不够的，需要对图科斯基方程进行严格的分析，才能得到使人信服的结论。三人帮假设的反论题为克尔解不可能长期存在。为了证明这个反论题是伪的，乔治说，三人帮采用了偏微分方程分析技巧，他们能将克尔解扩展到设定的最长时间之外。由此证明了，克尔黑洞是稳定的。

20世纪著名画家埃舍尔（Maurits Comnelis Escher）的那幅《圆的极限Ⅳ》将简单性与复杂性交融的艺术美发挥到了极致。画中的天使和魔鬼盘根错节，层层叠叠，直至消失在无限分形的边界里。这幅画同时体现了简单性与复杂性交融的数学美，它是一幅描述负曲率空间的图画，精确地展现了反德西特（AdS）空间的2维截面。这是埃舍尔与魔鬼做了一笔交易，让他能够画出天使无数，还是另有深意？只要我们朝乾夕惕，努力去看，就能看到最后一位可见的天使。

伽利略说，大自然这本书是用数学的语言写成的。从这个意义上说，对自然规律的陈述必定是简短的。然而，自然规律的本质隐藏得很深，特别是有关详情隐藏得更深。数学家利用逻辑推理，对于这些陈述的论证往往很长。费马大定理的证明历程是一个纯数学例子，费马大定理的陈述并不复杂，但是怀尔斯（Andrew Wiles）的证明却极其复杂。三人帮关于克尔黑洞稳定性的数学证明又是一个例证，简单性和复杂性相互交融是数学研究的一个普遍特征，也是数学美之所在。一个简短的数学陈述常常需要一个极长的证明。

三人帮在2022年5月31日在arXiv上发布的论文《波动方程估算和慢转动克尔黑洞的非线性稳定性》长达912页，倘若加上克拉纳曼和塞福特2021年发表的长达800页的论文《小角动量的克尔稳定性》以及有关数学工具的3篇文章，论证总长达到2100页。阅读全文的论证确实令人生畏！不过，三人帮给出的物理图像是清晰而优美的。用引力波或者电磁波给一个慢转动克尔黑洞一个撞击，只要耐心等待，它会安定下来，还是一个克尔黑洞。

尽管在克尔黑洞稳定性证明上，克拉纳曼、塞福特和乔治已经取得了重要进展，但是离乔治的“终极猜想”的证明还十分遥远。目前证明的前提是，黑洞在慢旋转，也就是说，证明只是针对角动量与质量之比远小于1的黑洞。对于快速转动的情形尚未得到证明，况且已进行的证明并未给出具体的快慢。为此，人们认为至少还需要证明下述3个问题：① 所有稳定的轴对称解一定是克尔解；② 所有克尔解都是稳定的；③ 物理奇点只出现在黑洞视界内，不存在裸奇点。目前这些问题尚处在猜测阶段，最乐观的估计，证明要在几十年后才会获得。路漫漫其修远兮，需人们上下而求索，需要青年数学家们的努力！

[1]Giorgi E， Klainerman S， Szeftle J. Wave equations estimates and the nonlinear stability of slowly rotating Kerr black hole. http：//www.quantamagazine.org/black-holes-finally-provenmathematically-stable-20220804/.

[2]Li X Z， Hao J G， Liu D J. Quasinormal modes of stringy black hole. Physics Letters B， 2001（507）： 312-316.

[3]Xi P， Li X Z. Quasinormal models and late-time tails of canonical acoustic black holes. International Journal of Modern Physics D， 2007（16）： 1211-1218.

[4]Liu D J， Yang B， Zhai Y J， et al. Quasinormal modes of asymptotic safe black holes. Classical and Quantum Gravity. 2012（29）： 145009.

[5]Li P， Huang Y， Feng C J， et al. Super radiant instabilities for a charged black hole in de Rham-Gabadadze-Tolley theory. Physical Review D， 2020（102）： 024063.

[6]Chandrasekhar S. The mathematical theory of black holes. Oxford： Oxford University Press， 1983.

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