突出核心·注重过程·感悟思想·提升能力
——2022年中考“图形与坐标”专题命题分析

2023-03-25 08:49庄宇

中国数学教育（初中版） 2023年4期

庄宇

（辽宁省沈阳市教育研究院）

“图形与坐标”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准（2022年版）》）第四学段“图形与几何”领域的重要教学内容，主要包括“图形的位置与坐标”和“图形的运动与坐标”两部分内容.“图形与坐标”是在平面直角坐标系中通过量化的方式来研究图形和图形之间的关系，它是用代数方法研究图形的起始与基础.“图形与坐标”在初中数学中的地位主要体现在两个方面：其一，它是数形结合的另一种重要形式；其二，它是沟通许多几何问题与代数问题的纽带和桥梁.因此，掌握这部分知识是发展学生数形结合意识和思想的重要途径.在具体现实情境中，使学生学会从几何的角度发现问题和提出问题，会用数形结合的方法分析问题和解决问题，进一步培养学生的应用意识和创新意识，提升学生的几何直观、空间观念、抽象能力、推理能力等.

下面结合《标准（2022年版）》的要求，对2022年全国各地区中考试卷中“图形与坐标”试题的考查内容和命题特点进行分析，并在此基础上给出复习教学建议和典型模拟题.

一、考查内容分析

通过抽取2022年全国各地区129份中考试卷进行统计、分析，发现与“图形与坐标”专题有关的试题的设置与《标准（2022年版）》的要求基本一致.题型及题量方面，在统计的379道试题中，选择题有96道，填空题有75道，解答题有208道.

“图形的位置与坐标”和“图形的运动与坐标”两部分内容的试题命制情况如图1所示，考点是“图形的位置与坐标”的试题有选择题79道、填空题60道、解答题177道，考点是“图形的运动与坐标”的试题有选择题17道，填空题15道，解答题31道.可以看出，无论哪种题型，考点是“图形的位置与坐标”的试题都远多于考点是“图形的运动与坐标”的试题，选择题和填空题中两个考点的同类型试题的比例在4∶1左右，而解答题中两个考点的比例在6∶1左右.这说明在综合性较高、难度较大的解答题中，更多中考试题选取“图形的位置与坐标”考点.

图1 “图形与坐标”试题题型分布图

试题的题量统计如图2所示.每份试卷设置的题量在2～5道题，更多的是设置2～3道题，占比为76%，有24%的试卷设置了4～5道试题，如湖北鄂州卷、荆门卷，四川巴中卷、广安卷、内江卷.

图2 “图形与坐标”单卷试题数量统计图

试题的分值统计如图3所示.在统计的379道试题中，2～4分的有173道，约占46%，都是选择题和填空题；5～9分的有62道，约占16%，基本都是解答题（极个别试卷是填空题，分值为5分），试题难度不大；10分及以上的有144道，约占38%，基本都以压轴题的形式出现.

图3 “图形与坐标”试题分值统计图

试题的难度统计如图4和图5所示.总体上看，试题易、中、难的比例约为2∶4∶4.其中，选择题和填空题的易、中比例相当，且占比较大.难度较大的试题占比很少，考查的知识点多数为“图形的位置与坐标”单元中与二次函数相结合的试题.解答题中容易题较少，综合性强、难度大的试题较多，这与其处在压轴题的位置有关，考查的知识点多数为函数与几何图形（性质、运动）相结合，主要涉及函数的新定义，三角形、四边形等图形的面积最值及存在性，以及图形的平移、旋转、折叠等运动变化问题.

图4 “图形与坐标”试题难度统计图

图5 “图形与坐标”试题题型难度统计图

通过统计分析，“图形与坐标”专题的命题注重点与坐标关系的考查，试题通过设置合理的实际背景确定实际问题中物体的位置；注重点的坐标与图形运动关系的考查，通过在平面直角坐标系中利用图形变换引入动点，突出了对利用点的坐标量化图形变换及图形变换本质认识的考查.这是数形结合应用的典型体现，这样的考查过程有助于学生感悟数形结合思想，从而会用数形结合的方法分析和解决问题，提升学生的几何直观、空间观念、抽象能力、推理能力等素养.

二、命题特点分析

1.命题意图分析

与往年相比，2022年中考“图形与坐标”试题的命题思路总体上保持了相对稳定，体现了许多相同的特点：全面覆盖《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）中的主要内容，重点考查学生的基础知识和基本技能；在问题解决的过程中实现对学生数学思想和基本活动经验的考查.在稳定的基础上，基于《标准（2022年版）》的理念，命题思路有所创新，强化以核心知识为载体，在具体现实情境中对学生的学科素养目标的达成情况进行考查.以下结合典型例题进行分析.

（1）紧扣课程标准，突出核心知识的考查.

①由点的位置写出坐标.

例1（贵州·铜仁卷）如图6，在矩形ABCD中，A（-3，2），B（3，2），C（3，-1），则D的坐标为（）.

图6

（A）（-2，-1）（B）（4，-1）

（C）（-3，-2）（D）（-3，-1）

答案：D.

考查目标：该题主要考查了《标准（2022年版）》中“图形的位置与坐标”单元提出的“在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标”“对给定的图形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标”等核心知识.

命题意图：试题以矩形为载体，通过矩形的性质确定顶点的坐标.试题虽然简单，但其命题意图直指学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及对“图形的位置与坐标”核心知识的理解.

命题评价：此类试题命制的背景多为特殊平行四边形，融入了对特殊平行四边形性质的考查，在全国各地的中考试卷中多以选择题和填空题的题型呈现，难度不大.例如，辽宁盘锦卷第9题和山东泰安卷第14题等.

②建立平面直角坐标系.

例2（浙江·金华卷）图7是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，-2），下列各地点中，离原点最近的是（）.

图7

（A）超市（B）医院

（C）体育场（D）学校

答案：A.

考查目标：该题主要考查了《标准（2022年版）》中“图形的位置与坐标”单元提出的“在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置”等核心知识.

命题意图：试题以城市某区域的示意图为载体.根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理分别得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．试题的命题意图在于考查学生如何建立平面直角坐标系并确定原点的位置（即由坐标转换为位置），如何确定超市和医院的坐标（即将位置转换成坐标）.在这个实际问题的解决过程中，较好地考查了学生对点与坐标关系的理解.

命题评价：此类试题的命制需要结合学生的认知水平和生活经验，创设合理的情境.以选择题、填空题和解答题等不同形式呈现，有效控制了实际背景试题的难度.在注重考查学生解决问题能力的同时，避免学生死记硬背、机械刷题.类似的试题还有广西柳州卷第11题、湖北宜昌卷第10题、甘肃兰州卷第14题和贵州六盘水卷第25题等.

③极坐标思想的渗透.

例3（山东·烟台卷）如图8，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（）.

图8

（A）北偏东70° （B）北偏东75°

（C）南偏西70° （D）南偏西20°

答案：A.

考查目标：该题主要考查了《标准（2022年版）》中“图形的位置与坐标”单元提出的“在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置”等基础知识.

命题意图：试题以某海域中A，B，C三个小岛的位置关系为实际背景，编制了一道考查学生结合具体情境应用数学知识解决实际问题的试题.在问题解决中，学生先将现实生活中A，B，C三个小岛的位置关系抽象为点与点之间的位置关系，这是用数学的眼光观察现实世界的体现.然后利用方位角和距离确定位置的知识，再结合等腰三角形的性质进行推理探究，这是用数学的思维思考现实世界的体现.最后，使用方位角表示出小岛C相对于小岛A的方向，这是用数学的语言表达现实世界的体现.而利用方位角和距离刻画两个物体的相对位置，实际上是极坐标定位，是极坐标思想的渗透.因此，此题的命制在贴近教材的同时，体现《标准（2022年版）》理念的落实.

命题评价：此类试题的命制借助了教材中学生常见的实际背景，意在考查学生对知识本质的认识能力和方法的迁移能力.这类试题在每年的中考试题中都有出现，但呈现出越来越少的趋势.有些试题考查单一利用方位角的知识解决基本图形问题，如湖南益阳卷第15题；有些试题结合三角函数知识考查学生利用方位角和距离解决实际生活中的点和点之间的距离或点到直线的距离问题，如辽宁抚顺卷第15题.

④平移运动后点的坐标.

例4（海南卷）如图9，点A（0，3），B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是（）.

图9

（A）（7，2）（B）（7，5）

（C）（5，6）（D）（6，5）

答案：D.

考查目标：该题主要考查了《标准（2022年版）》中“图形的运动与坐标”单元的内容，命题紧扣《标准（2022年版）》中“在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化”等核心知识.

命题意图：此题是对北师大版《义务教育教科书·数学》（以下统称“北师大版教材”）八年级下册“3.1图形的平移”中例2的改编，试题将教材中的四边形改为一条线段，使图形变得更简洁，更加直观地考查学生对平移变换中“对应顶点的坐标之间的关系”的理解是否达到学业水平考试的要求，突出了教材在教学中的范本功能.

命题评价：此类试题的命制更多的是依据教材中的典型例题和习题进行改编，考查图形在平面直角坐标系中平移运动的同时，适当融入旋转运动的知识，试题的难度与教材保持一致.类似的中考试题有内蒙古赤峰卷第6题、四川内江卷第9题、山东临沂卷第15题等.

⑤位似变化后点的坐标.

例5（广西·河池卷）如图10，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．

图10

（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2∶1，并写出点B2的坐标．

答案：（1）如图11，△A1B1C1为所作；

（2）如图11，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（-4，-6）.

图11

考查目标：作为解答题，该题综合考查了“图形的运动与坐标”单元的内容，命题紧扣《标准（2022年版）》中“在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系”“在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的”两个基础知识，即考查对应点的变化规律.

命题意图：试题融合了教材中的典型例题与习题（如北师大版教材九年级上册“4.8图形的位似”第2课时的“做一做”），以三角形这个简单的封闭图形为载体，通过“形”的变化探索“数”的变化，呈现了对《标准（2022年版）》中的“知道”“了解”层级试题命制的难度尺度的把握，较好地考查了学生对轴对称变换中“对应顶点的坐标之间的关系”及位似变换中“图形的顶点坐标放大或缩小后所对应的图形与原图形的关系”的理解是否达到学业水平考试的要求.同时，引导教师在教学中不要人为地放大《标准（2022年版）》的要求和范围，加重学生的学业负担.通过学生的动手画图完成试题的解答过程体现了对《标准（2022年版）》学业要求中要增强学生动手能力的考查.

命题评价：此类试题在近些年的中考试题中较为常见，难度不大，符合课程标准对学业水平考试的层级要求.类似的中考试题有广西桂林卷第20题、山东枣庄卷第8题和黑龙江鹤岗卷第22题等.

（2）注重过程，感悟数学思想方法.

例6（山东·济南卷）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换.例如，如图12，点O（0，0）按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1（1，0），再将O1（1，0）绕原点顺时针旋转90°得到O2（0，-1），再将O2（0，-1）绕原点顺时针旋转90°得到O3（-1，0），……，依此类推.点（0，1）经过“011011011”变换后得到点的坐标为_______．

图12

答案：（-1，-1）.

考查目标：《标准（2022年版）》在“图形与坐标”的教学中指出：平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁，核心内容是平面上的点与用数对表示的坐标的一一对应，引导学生经历用坐标表达图形的轴对称、旋转、平移变化，体会用代数方法表达图形变化的意义，发展几何直观.

命题意图：该题考查学生在按照题中规定探索点的平移和旋转运动的过程中，是否能发现运动变化后的点与其一一对应的坐标存在规律的思维过程，进而在问题解决的过程中帮助学生感悟数与形在变化中的不变性，即变与不变的数学思想.学生通过点在平面直角坐标系中有规律的平移和旋转位置变换，发现刻画运动变化后的点的坐标存在的规律（即点（0，1）经过“011”变换得到点（-1，-1），点（-1，-1）经过“011”变换得到点（0，1），点（0，1）经过“011”变换得到点（-1，-1）），进而在数与形的结合中深刻感受变与不变的思想.这样的命题方式有助于引导日常教学回归对课程标准和教材的再思考.

命题评价：此类试题除了考查具有循环规律的内容外，近几年还呈现出考查不具有循环规律的内容.运用不完全归纳法解决问题，思维含量较高、难度较大，经常在选择题、填空题的最后一道题的位置出现.类似的中考试题有贵州毕节卷第20题、山东东营卷第18题、辽宁阜新卷第10题和山东菏泽卷第14题等.

（3）适度创新，提升理解运用能力.

例7（北京卷）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N.对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．

（1）如图13，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上.若点P（-2，0），点Q为点P的“对应点”．

图13

①在图中画出点Q；

（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=，若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．

答案：（1）①如图14，点Q即为所求；②证明略.

图14

（2）4t-2.

考查目标：《标准（2022年版）》在“图形与坐标”的教学中指出：经历借助平面直角坐标系的方法解决现实问题的过程，增强应用意识和创新意识.

命题意图：该题作为“新定义”题型，以图形与坐标及三角形和圆的相关知识为载体，定义出新的概念“对应点”，考查学生对平移、中心对称的点的坐标特点等知识的理解，并能够做到数学迁移，创造性地解决问题.在近几年的中考试题中，命题越来越倾向于在“图形与坐标”主题下融合函数、图形的性质，定义新概念、新定理和新变换等综合试题，以考查学生在较短的考试时间内的数学阅读、数学理解和数学迁移能力，这样有助于引导教师不断改进教学行为、优化教学过程，培养学生的创新意识，体现试卷的公平性和创新性.

命题评价：在命制此类试题时常常引入新概念，有利于考查学生的数学探索能力，以及评价学生归纳、类比、概括和推理等思维活动的能力水平，试题难度较大，常以压轴题的形式出现在填空题和解答题中.类似的中考试题有湖北荆州卷第16题、甘肃兰州卷第27题、贵州遵义卷第22题、江苏泰州卷第26题等.

2.命题导向分析

综观2022年中考“图形与坐标”试题，坚持素养立意，综合考查“四基”“四能”与核心素养；命题者努力创设试题的新背景、新形式，追求新立意，着力体现“图形与坐标”试题的独特作用.因此，未来中考，预计会有如下发展趋势.

（1）立足课程标准，突出核心知识.

中考试题会继续立足对“图形与坐标”专题核心知识的全面考查.紧扣《标准（2022年版）》，围绕“图形的位置与坐标”“图形的运动与坐标”进行设计.题型涉及选择题、填空题和解答题.其中，选择题和填空题占比较大，且多数为容易题和中档题；而解答题虽然占比很少，但考查的知识点多数与其他知识点相结合，所以综合性较强.

（2）关注解题过程，引导思维深化.

试题通过设置合理的实际背景，引导学生在具体现实情境中学会从几何的角度发现问题和提出问题，使学生经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程，引导学生思维深化，培养学生的几何直观、空间观念、抽象能力和推理能力等素养.

（3）创新加工，感悟数学思想.

通过“新定义”和问题解决等题型引导学生经历解决现实问题的过程，使他们感悟数形结合的意义，发展推理能力和运算能力，增强学生的应用意识和创新意识.同时，体现试题背景的公平性.

（4）知识交会，强调能力提升.

与本专题交会的知识点多数为函数与几何图形（性质、运动）.例如，三角形、四边形的面积最值及存在性，图形的平移、旋转和折叠等运动变化问题，引导学生经历借助平面直角坐标系解决现实问题的过程，发展推理能力和运算能力.此类问题难度较大，多数试题在试卷中处在压轴题的位置.

三、复习教学建议

结合上述对2022年全国各地区中考数学试卷中“图形与坐标”试题的分析，针对2023年“图形与坐标”专题的复习备考，提出如下建议.

1.在新课程理念下深化课堂教学改革

随着《标准（2022年版）》的发布，课程理念、目标、内容等方面都发生了明显的变化，主要体现为突出素养导向、实行主题学习、注重学业质量评价、加强学段衔接，彰显了数学学科的育人价值，进一步凸显了数学教育在促进学生发展中的作用.这些变化必将影响2023年中考命题的指导思想和命题思路.虽然《标准（2022年版）》中“图形与坐标”专题的内容与《标准（2011年版）》变化不大（在“图形的位置与坐标”单元中将“结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置”删除，内容由原来的5条变为4条；在“图形的运动与坐标”单元中将第4条中“有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上”修改为“有一个顶点为原点”），但是《标准（2022年版）》对该部分内容的学业要求和教学提示都给出了明确的要求，即学到什么程度、怎样教.这必将进一步促使课堂教学指向以发展学生核心素养为本的教学行为，学业质量评价也必然根据学生核心素养的发展水平进行评价.

2.在深度研究和深刻理解教材中复习核心内容

“图形与坐标”专题的核心内容是：会用坐标描述简单几何图形的位置；会用坐标表达图形的变化、简单图形的性质，感悟通过几何建立直观、通过代数得到数学表达的过程.深刻理解图形本身的性质与坐标中的“数”与“形”是学习的关键.近些年，全国各地中考试题的命制更多地以教材中的典型例题和习题为载体进行改编或者再创造，既考查了学生对核心知识的整体理解，也增强了试卷的效度、信度和区分度.因此，在复习备考中，要重视对教材中典型例题和习题的剖析与改编，深度挖掘其中蕴含的数学思想方法，让学生在复习过程中完成对教材内容的再认识、思想方法的再理解、应用能力的再提升，即夯实基础，强化“四基”，避免掉进做繁、难、偏、怪题目的陷阱.

3.在数学实践过程中感悟思想提升能力

《标准（2022年版）》在“图形与坐标”内容的学业要求部分强调，在具体现实情境中学会从几何的角度发现问题和提出问题，经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程，培养应用意识和创新意识，提升几何直观、空间观念、抽象能力、推理能力等.平面直角坐标系是沟通代数与几何的桥梁，这使得该部分中考试题常常是以函数知识为载体搭配几何图形及其运动变化的综合题，甚至是压轴题.试题通过设置探索图形变换中的点的坐标与位置规律问题，或者通过探索图形变换全过程来实现对学生数学思想和基本活动经验的考查.这几乎涵盖了数形结合、分类、转化、特殊到一般、方程、变中不变等初中数学常用的思想方法.基于此，在复习备考中，教师在关注数学学习结果的同时，更应该关注学生在数学实践探索过程中对数学思想的感悟与理解，对问题解决方法的提炼与归纳，即让学生由“知其所以然”达到“何由以知其所以然”.任何包办、代替学生学习的行为都是不适当的，任何以过多的模仿练习为主要模式、剥夺学生自身的思考和活动以达到提高学习成绩的做法都是不值得提倡的.只有让学生亲身经历数学问题的提出过程、解决方法的探索过程、问题结论的深化过程、方法能力的迁移过程，才能使学生无论遇到什么样的新问题和新题型，都能用数学的眼光、数学的思维、数学的语言从容应对，才能使《标准（2022年版）》所倡导的“图形与坐标”教学目标“培养应用意识和创新意识，提升几何直观、空间观念、抽象能力、推理能力等”得到真正落实.