聚焦数据观念 探寻核心素养
——2022年中考“抽样与数据分析”专题命题分析

程 慧

（上海市静安区教育学院）

一、考查内容分析

数据观念是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）中提出的数学核心素养表现之一.它可以概括为：掌握与统计相关的基础知识和基本技能，培养学生在社会背景下运用这些基础知识和基本技能解决问题的能力，以及质疑的意识和技能，达到养成重证据、讲道理的科学态度.下面就2022年全国各地中考“抽样与数据分析”试题的命题情况进行分析.

1.核心素养的主要表现

《标准》提出要从发展初中学生数据观念的角度培育学生“会用数学的语言表达现实世界”的核心素养.初中学生的数据观念素养主要表现为：对数据的意义和随机性有比较清晰的认识.知道数据蕴含着信息，需要根据问题的背景和所要研究的问题确定数据收集、整理和分析的方法.知道可以用定量的方法描述随机现象的变化趋势及随机事件发生的可能性大小.形成数据观念有助于理解和表达生活中随机现象发生的规律，感知大数据时代数据分析的重要性，养成重证据、讲道理的科学态度.这些素养的主要表现就是2022年全国各地中考“抽样与数据分析”试题的主要考点，坚持以知识为基础、能力为重点、核心素养为导向的命题特点，体现了“抽样与数据分析”的考查目标及育人功能.

2.学业质量评价

《标准》指出“抽样与数据分析”这部分内容的学业质量评价标准是：能分析与表达数据中蕴含的信息，能绘制简单的数据统计表和统计图，形成初步的数据意识，知道频数、频率和概率的意义，能够进行简单的数据分析，形成数据观念.

在这里，还考查了学生的以下四个能力：具备一定的阅读理解能力；将文字语言与数学语言互译的能力；能简单构建相应的数学模型并具有一定的推理能力；需要具备较强的运算能力.

二、命题特点分析

在大多数试卷中，“抽样与数据分析”试题以“一道选择题（或填空题）+一道解答题”的形式呈现.试题的分值占试卷总分值的7%～10%，这与《标准》要求的课时量比例基本相符.在试题的来源上，有的试题是对教材上的原题的改编，将基础知识重新组合，再进行变式和拓展；有的试题是选取学生熟悉的生活情境，在尊重不同学生群体的思维差异的情况下，赋予时代气息，体现人文教育精神；有的试题反映社会发展中的有关数据和图形，考查学生识图、信息提取能力，以及多角度的数据处理分析能力，并对结果做出合理解释，这类试题成为评测学生数据观念和素养养成情况的常见考查类型.这部分试题具有一定的开放性和灵活性，对学生的推理能力、运算能力和模型观念等素养都有一定的考查要求.

在近几年的中考数学试卷中，还经常出现将统计与概率相结合进行命题的试题，这不仅让学生认识到可以借助统计活动用频率来估计概率，而且还能帮助学生初步体会统计与概率之间的内在联系，较好地检验了学生是否已初步具备运用统计与概率的基本思想和方法解决实际问题的意识.例如，四川凉山州卷第20题和四川自贡卷第22题等.

1.数据的收集与整理

例1（广西·桂林卷）下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）.

（A）了解全国中学生的睡眠时间

（B）了解某河流的水质情况

（C）调查全班同学的视力情况

（D）了解一批灯泡的使用寿命

答案：C．

例2（湖北·孝感卷）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）.

（A）检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量

（B）检测一批LED灯的使用寿命

（C）检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量

（D）检测一批家用汽车的抗撞击能力

答案：A．

考查目标：抽样调查和全面调查的意义与区别.

命题意图：两道试题都以学生熟悉的背景材料为载体，考查学生对全面调查与抽样调查的意义与区别的理解.

命题评价：此类试题属于基础题，在2022年全国各地区的中考数学试卷中，大多数都是以这样的方式进行考查的.如何选择合适的背景材料来体现试题的公平性和典型性，让学生知道抽样调查的必要性及简单随机抽样的特点，已经成为命题者的追求.

例3（广西·北部湾经济区卷）空气是由多种气体混合而成，为了直观介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是（ ）.

（A）条形图 （B）折线图

（C）扇形图 （D）直方图

答案：C．

考查目标：条形图、折线图、扇形图、直方图等统计图表的认识和应用.

命题意图：结合具体问题的需要，能选择合适的统计图直观、有效地描述数据.

命题评价：该题表述简洁明了，考查了利用统计图表对数据进行整理和表示.这里为了凸显部分与整体的关系，应该选择“扇形图”，能较好地体现空气中各成分的百分比.由于受到笔试环境的限制，命题者应多角度思考，命制更多新颖开放的试题，引导学生不仅会“读取”统计图表中的信息，而且要有“设计”或“选择”恰当的统计图表来呈现数据信息的能力，从而更好地体现所要反映的事物之间的差异和联系.

2.数据的分析

数据是客观的，但如何引用数据来说明观点却有很强的主观性.如果要了解事物的本质，就要从多方面、多角度进行数据分析，才能掌握全面的情况.在初中阶段，数据分析需要学生掌握的统计量包括两类：一类是刻画数据集中趋势的统计量，包括平均数、中位数、众数；另一类是刻画一组简单数据离散程度的统计量，包括离差平方和、方差.学生不仅要能计算出这些统计量，还要结合实际生活背景理解这些统计量的意义，并能根据数据的数字特征解释和解决问题，体会数据分析的重要性，从而达到培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，帮助学生更好地形成数据观念.

（1）统计量的计算.

例4（贵州·贵阳卷）小红在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：5，5，6，7，8，9，10.她发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（ ）.

（A）5，10 （B）5，9

（C）6，8 （D）7，8

答案：C．

例5（四川·南充卷）为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图1），其中有两个数据被遮盖.关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）.

图1

（A）平均数 （B）中位数

（C）众数 （D）方差

答案：B．

考查目标：理解平均数、中位数、众数、方差的意义，掌握计算这些量的方法.

命题意图：例4和例5的命题方式有一定的趣味性，要求学生不仅能计算中位数、众数等基本统计量，而且能结合实际背景或借助统计图表深入理解这些概念，灵活运用公式解决问题.

命题评价：例4中，原7个数据的中位数、众数分别是7和5，题目中要求去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，还是7和5，这就要求学生不仅能计算中位数、众数等基本统计量，还需要深入理解概念，灵活运用公式.分析后发现，去掉数据“6，8”或“6，9”或“6，10”都是符合题意的，因此，此题选择选项C.例5则是相同考点的不同命题形式，借助数形结合，通过对频数分布直方图的分析，得到学生每天平均睡眠时间分别为7小时、8小时、9小时的总人数是32人，已经超过总人数（50人）的一半.根据中位数的意义可知，只有它才是与被遮盖的数据无关的统计量，所以选择选项B.希望在今后的命题中，即使是与统计量的计算有关的选择题，命题者也可以巧妙地设计出好的问题，不局限于各种统计量的计算，要增强学生对概念的理解及严谨的推理能力，深入体会统计量在现实生活中的应用与价值.

例6（浙江·金华卷）学校举办演讲比赛，总评成绩由“内容、表达、风度、印象”四部分组成.九（1）班组织选拔赛，制定的各部分所占比例如图2所示，三位同学的成绩如表1所示．试解答下列问题.

图2 演讲总评成绩中各部分所占比例统计图

表1 三位同学的成绩统计表

（1）求图2中表示“内容”的扇形的圆心角度数；

（2）求表1中m的值，并根据总评成绩确定三人的排名顺序；

（3）学校要求“内容”比“表达”重要，该统计图中各部分所占比例是否合理？如果不合理，如何调整？

答案：（1）108°；

（2）m的值为7.6，三人的总评成绩从高到低的排名顺序为小亮、小田、小明；

（3）该统计图中各部分所占比例不合理.

答案不唯一，如可调整为：“内容”占40%，“表达”占30%，其他不变．

考查目标：能读懂扇形统计图反映的信息，理解加权平均数的意义，知道它的计算方法．

命题意图：例6考查实际背景下统计表和扇形统计图的意义，能理解加权平均数的意义，会计算加权平均数，检测学生的“四基”“四能”，以及数学理解能力与实际应用能力，考查学生的运算能力和数据观念，考查的核心素养为“会用数学的语言表达现实世界”“会用数学的思维思考现实世界”.

命题评价：这是一道社会情境的数学题，命题形式较为新颖，数学核心素养的主要表现为数据观念和运算能力.第（1）小题考查学生在获取扇形统计图中显示的信息过程中处理数据的能力；第（2）小题着重考查学生对加权平均数意义的理解和应用；第（3）小题通过情境问题，设计重新“赋权”，不仅考查学生能否合理使用统计量解决生活中的实际问题，还让学生充分意识到随着赋予权重的不同，呈现的结果会具有一定的主观性，引导学生思考在具体情境中如何“赋权”才更合理，达到培养学生重证据、讲道理的科学态度，考查学生是否会用数学的语言表达自己的观点，帮助学生树立科学的数据观及正确的价值观.值得一提的是，在2022年全国各地的中考数学试卷中，还有十几份试卷中都对这一目标进行了考查.教师在教学过程中也可以结合《标准》附录1中的例93进行教学.只有让学生经历教材中研究性学习的全过程，才能较好地解答该题.

统计学家陈希孺曾说过，统计方法是一种观察世界事物的方法，它使人有一种全局的、均衡的观点，避免拘执一端的片面性.教师在教学过程中，除了让学生掌握基础知识和基本技能外，还应该注重对学生情感、态度和价值观的培养.

（2）统计量的意义.

例7（浙江·舟山卷）A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）.

答案：B．

例8（辽宁·抚顺卷）甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，将每次命中的环数绘制成如图3所示的统计图.根据统计图得出的结论正确的是（ ）.

图3

（A）甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定

（B）甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数

（C）甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数

（D）甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数

答案：A．

考查目标：对方差、平均数、众数、中位数等统计量意义的理解．

命题意图：例7考查学生对平均数、方差的意义的理解，解答的关键是需要学生对平均数、方差的意义有清晰的理解和认识，知道平均数是衡量一组数据平均水平的特征值，方差是衡量一组数据波动大小的量，知道方差越小表明该组数据越稳定.例8考查学生从折线图中获取信息的能力，感受数据的变化趋势，通过分析每组数据的离散程度做出相应判断，体会刻画数据离散程度的意义．

命题评价：这两道例题都是中考中比较典型的考查方式，且情境背景常规，教材和习题中也有类似背景，有效引导教师用好教材、挖掘教材，注重了考试与教材的衔接.例8则需要借助数与形的结合获取数据信息，考查学生分析和处理数据信息解决问题的能力，对教学起到良好的导向作用．

3.应用与推断

例9（四川·乐山卷）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A.文学鉴赏；B.趣味数学；C.川行历史；D.航模科技.为了解该校八年级1 000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．

（1）试对张老师的工作步骤正确排序_______．

（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是（ ）.

（A）随机抽取八年级三班的40名学生

（B）随机抽取八年级40名男生

（C）随机抽取八年级40名女生

（D）随机抽取八年级40名学生

（3）图4是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图.假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程.若学校规定每个班级不超过40人，试根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．

图4

答案：（1）①③②④；（2）D；（3）至少开设5个趣味数学班．

考查目标：理解实际问题中调查统计的流程，进一步经历收集、整理、描述、分析数据的活动.

命题意图：知道抽样调查的必要性和简单随机抽样的特点，会在实际问题中选取随机样本，结合条形统计图和文字材料合理选取数据进行计算和分析.

命题评价：例9以热点问题“双减”为背景，简明而完整地呈现了数据的收集、整理、描述和分析的过程.《标准》指出，“抽样与数据分析”应强调从实际问题出发，根据问题背景设计收集数据的方法，经历有条理地收集、整理、描述、分析数据的过程，重点围绕将实际问题抽象为数学问题，利用相关概念、公式进行解答，考查学生的数据观念、运算能力、推理能力和抽象能力等.在以往的中考试题中，对“经历有条理的收集过程”的考查较少，值得欣喜的是，在2022年全国各地的中考试卷中已经呈现出一部分立足于这一视角开展命题设计的试题.因此，教师在教学和复习中要加强对此类问题的研究和学习.

例10（浙江·舟山卷）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下（如表2和图5、图6）：

表2

图5 某地区1200名中小学生每周参加家庭劳动时间统计图

图6 影响中小学生每周参加家庭劳动的主要原因统计图

中小学生每周参加家庭劳动时间x（h）分为5组：第一组（0≤x＜0.5），第二组（0.5≤x＜1），第三组（1≤x＜1.5），第四组（1.5≤x＜2），第五组（x≥2）.根据以上信息，解答下列问题.

（1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？

（2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？

（3）该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动的时间不少于2 h，试结合上述统计图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况做出评价，并提出两条合理化建议．

答案：（1）第二组；

（2）175人；

（3）由统计图可知，该地区大部分中小学生每周参加家庭劳动的时间不足2h.建议学生：合理安排学习和家庭劳动的时间，积极参加家庭劳动；向父母请教家庭劳动的技能，进一步增强与父母的沟通.（答案不唯一，学生的表达合理即可．）

考查目标：统计图表的认识和应用，中位数意义的理解．

命题意图：考查学生对中位数的概念、统计图表的认识和理解，以及能从统计图表中获取有关信息，从而进一步考查学生的阅读能力和数据分析能力，考查学生会运用所学的统计知识解决现实生活中简单的统计问题.这是近几年中考的高频考点.

命题评价：该题以中小学生每周参加家庭劳动的时间情况的调查为问题情境，综合考查学生对统计活动本质的理解，简明而完整地呈现了数据的收集、整理、描述和分析的过程.试题任务设计层层递进，能够有效考查学生的思维层次；命题形式较为新颖，试题表述具有多样性，在一定程度上考查了学生的阅读能力.该题在体现数学应用价值的同时考查学生的关键能力，具有一定的区分度.同时，该题还考查了学生在数据分析的基础上利用所学的统计量的意义，结合实际给出解释、判断、决策或者建议和推断.第（3）小题属于开放性试题，答案不唯一，较好地体现了统计学习的价值，培养学生“用数据说话”的意识.如果能根据不同答题思维水平给予不同的评分，则更能体现分层评价的意义和价值.这样的命题方式进一步体现了《标准》中学业质量标准的相关评价思路，值得推广和研究.

三、复习教学建议

综合以上分析，面对2023年的新一届中考，就“抽样与数据分析”的复习备考，希望教师着重围绕对统计活动的感悟、数据的理解、统计量的合理使用、统计图表的认识与设计、统计结果的解释与使用等方面开展相关内容的教学与复习.具体建议如下.

1.转变观念，素养立意

教师要先转变思想观念.不同于大多数的中小学数学内容，统计内容贯穿在小学、初中和高中的数学课程中，教师要整体把握每个阶段的教学内容的区别和联系.《标准》明确指出，小学阶段要求学生在认识及简单应用统计图表的过程中能自主描述和表达数据，逐渐形成数据意识；初中阶段是在小学阶段学习的基础上，经历更加有条理地收集、整理、描述、分析数据的过程，教学中设计的统计活动要更注重过程性、活动性、方法性和体验性，使学生对数据的意义和随机性有比较清晰的认识，培养学生对数据的感知、处理和质疑能力，初步形成和发展数据观念.因此，初中教师不能因为学生在小学阶段学过这部分的相关内容，且认为这里的内容较为简单就匆匆带过.教师尤其要认真研究相同内容在不同学段的教学要求及学业要求，准确把握难度，制订指向核心素养的教学目标，做好统计教学内容的衔接，体现核心素养发展的阶段素养.《标准》在教学建议中还特别强调“选择能引发学生思考的教学方式”，所以教师需要转变原有的教学模式，多采用启发式、探究式和互动式等综合性教学方式.同时，借助现代信息技术的多种手段，引导学生体会数据特点和数据的时代价值，帮助学生逐渐形成数据观念.

2.研读课程标准，夯实“四基”

教师要关注并研究《标准》和《义务教育数学课程标准（2011年版）》中有关内容的变化，明确本单元教学目标与内容，设计蕴含学生所要学会的知识技能的问题情境，结合适宜的教学方式，营造主动学习的氛围，让学生在一步一步的学习过程中学会发现、发掘和提炼，直到收获基础知识和基本技能.当学生有意识、有步骤地将“双基”用于分析问题和解决问题时，自然就将基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验这“四基”进行有机融合，真正达到夯实“四基”、提升“四能”的目的.

在教学与复习中，教师要加强对教材上的例题和习题的重点探究，注重对教材的挖掘和再利用.不难发现，近几年的很多中考数学试题来源于对教材上例题和习题的改编和延伸，所以在复习阶段更要引导学生关注教材中的阅读与思考、实习作业模块的内容，带领学生全面梳理、查漏补缺、自我整理，注重知识的结构和体系，处理好局部知识和整体知识的关系.

3.创设情境，促进理解

《标准》指出，教学背景材料要来自现实生活.因此，让情境化教学成为常态，要以大量的实践活动为突破，从根本上改变学习方式和育人方式.统计与生活联系紧密，所以教学材料的选择要充分考虑学生的学习和生活实际，增强情境创设的真实性、适切性、公平性、科学性和多样性，素材的选取可以从资源、环境、其他学科活动和经济生活等方面入手，注重体现时代性和跨学科性，要反映现代科技的成果和进步，避免脱离生活实际、人为编造；情境内容的呈现方式应该是学生能理解的，教学内涵是丰富而有价值的，既能培养学生的数学阅读能力，又能促进学生对基本概念的理解和应用，进一步引导学生关注社会，懂得数据在生活中的重要作用，体会应用数学的价值，发展用数学的眼光观察现实世界和用数学的语言表达现实世界的素养.

4.重视活动，形成观念

《标准》特别强调，要让学生从实际出发，根据背景问题设计收集数据的方法，经历更加有条理地收集、整理、描述、分析数据的过程.我们知道，数据观念不是通过简单的计算、画图就能培养的，必须是在亲身经历、有效投入的过程中逐渐感悟和建立起来的.为此，就需要教师在教学中创设合适的问题情境，让学生经历完整的统计活动全过程.例如，教师可以设计“调查我校各年级学生的身高和体重情况，分析影响学生身高与体重的因素”体现统计的全过程，引导学生从“确定统计量、制定抽样规则、收集数据、处理数据、表达数据、分析数据、根据处理结果做出解释或合理推断”等方面进行活动.通过经历完整的统计活动，学生能慢慢悟出一些道理.例如，遇到问题时学生能自觉“想到数据”，分析问题能“用数据”，解释问题能“说数据”，从而真正建立数据观念.在教学中，教师也要鼓励学生适当借助统计相关的软件辅助数据分析，开拓学生思维，提高学生分析问题和解决问题的能力，顺应大数据时代的发展需求.

四、典型模拟题

1.某市为落实“健康中国”行动，拟根据初中生体能的实际情况制定中考体育新标准.为此，教育部门要调查全市2.6万名九年级男生引体向上的水平情况.

（1）在这里，应当采用_________的调查方式.（填“全面调查”或“抽样调查”.）

（2）为保证调查的样本具有______性，教育局决定从全市各中学随机抽取100名九年级男生进行测试.写出这次调查中的总体、个体、样本和样本容量.

（3）现将这100名九年级男生引体向上的测试情况绘制成表3．

表3

①根据这100名男生测试成绩的数据，补全下面的频数、频率分布表（如表4），频数分布直方图（如图7）和扇形统计图（如图8，即在相应区域标注百分比），每组数据含左端点值不含右端点值.

图7

图8

表4

②求这次抽样测试数据的众数、中位数和平均数；其中，用______（填“众数”或“中位数”或“平均数”）能较好地表示该市九年级男生引体向上的平均水平.

③估计全市2.6万名九年级男生的引体向上达到平均水平的人数.

（4）在这次抽样测试中，甲、乙两校正好被随机抽取到10名男生，我们将他们的引体向上水平分别记录如下：

甲校：9，12，3，8，18，8，8，16，16，12；

乙校：13，12，9，8，12，11，10，13，12，10．

①试根据学过的统计知识，评价甲、乙两校九年级男生引体向上的水平，并指出哪所学校的平均成绩更具有代表性.

②如果要从甲、乙两校这10名男生中各随机抽取1名男生，求被抽到的2名男生引体向上的水平恰好都不低于平均水平的概率．

③如果要提高九年级男生引体向上的平均水平，试分别给甲、乙两校各提出一条合理的建议．

答案：（1）抽样调查.

（2）随机.总体是全市2.6万名九年级男生做引体向上的水平；个体是每名九年级男生做引体向上的水平；样本是随机抽取的100名九年级男生做引体向上的水平；样本容量是100．

（3）①参考表5、图9和图10.

表5

图9

图10

②这次抽样测试数据的众数是12，中位数是11，平均数是10.74．

用中位数能较好地表示全市九年级男生引体向上的平均水平．

③全市约有14040名九年级男生引体向上达到平均水平．

用S2甲，S2乙分别表示甲、乙两校男生引体向上水平的方差，则S2甲=19.6，S2乙=2.6，即S2甲＞S2乙，说明甲校九年级男生引体向上成绩的数据波动较大，而乙校九年级男生引体向上的成绩较稳定.

综上所述，乙校的平均成绩更具有代表性．

②被抽到的2名男生引体向上的水平恰好都不低于平均水平的概率是0.3．

③答案不唯一，只要合理即可．

2.某市2016～2021年机动车保有量统计如图11所示.根据图11中提供的信息，预估2022年该市机动车的保有量约_____万辆，你的预估理由是_______.

图11

此题答案不唯一，预估理由需包含统计图提供的信息，且支撑预估的数据即可．

3.图12反映了两个城市在一年中月平均气温变化的情况，根据图形中信息，结合你所学的知识，写出城市A与城市B的气温特点（每个城市至少写出一个特点）.

图12 两个城市一年中月平均气温变化情况

此题答案不唯一.如果从平均气温、最高气温等变化趋势写出一条正确的信息，可以得到基本分；如果能结合地理等跨学科知识，写出更多、更深的信息，可以拿到满分．

4.某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图13所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知从左至右前四组的频率依次为0.05，0.10，0.25，0.35，结合该图提供的信息回答下列问题.

图13

（1）抽取的学生人数共有______；

（2）从左至右，第二组小矩形的高是_____；

（3）体重不低于58千克的学生有______；

（4）这部分学生体重的中位数落在第_____组；

（5）如果这组数据的中位数是53千克，那么这些学生中体重为53千克的人数至少有______，至多有_____.

答案：（1）140名；

（2）14；

（3）35名；

（4）四；

（5）15人，49人．