运用“待定系数法”求解多项式新定义考题

2023-04-12 07:02盛正才
初中生世界 2023年11期
关键词:代数式考题题意

文/盛正才

新定义考题是近年来各地中考的高频题型。本文选取一道与多项式有关的新定义考题,和大家谈谈“待定系数法”在解决这类问题中的作用。

例题对于代数式,不同的表达形式能表现出它的不同性质。例如代数式A=x2-6x+11,若将其写成A=(x-3)2+2 的形式,就能看出该多项式有最小值是2;若将它写成A=(x-1)2-4(x-1)+6 的形式,就能与代数式B=x2-4x+6建立联系。下面我们改变x的值,研究A、B两个代数式取值的规律:

(1)表中※=____,■=____,☆=____。

(2)观察表格可以发现:若x=m时,B=x2-4x+6=n,则x=m+1 时,A=(x-1)2-4(x-1)+6=x2-6x+11=n。我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值后移,此时后移值为1。

①若代数式C参照代数式B取值后移,相应的后移值为2,求代数式C;

②已知代数式ax2-7x+2b参照代数式2x2-3x+c取值后移,求出a+2b-c的值。

【简答】(1)6,2,2。

(2)①C=(x-2)2-4(x-2)+6=x2-8x+18。

②设后移值为m。由题意知,a=2。

2(x-m)2-3(x-m)+c=2x2-7x+2b。

2x2+(-4m-3)x+2m2+3m+c=2x2-7x+2b。

解得m=1,2b-c=5。

∴a+2b-c=7。

【解后回顾】本例题的本质是多项式的变形,解题的关键是灵活运用待定系数法。现在来看这道新定义题的简化问题。

【简化问题】用(x+1)幂的形式表示多项式x2+4x-2。

【分析】可先设x2+4x-2=(x+1)2+p(x+1)+q,进一步求p、q的值,有两种不同的思路。

思路1:将(x+1)2+p(x+1)+q展开,得x2+(2+p)x+p+q+1,将各项系数对应起来,可得到关于p、q的方程组。p+2=4,p+q+1=-2,解得p=2,q=-5,即x2+4x-2=(x+1)2+2(x+1)-5。

思路2:将x取特殊值0、-1,可得-2=1+p+q,-5=q,解得p=2,q=-5。

【变式】若x=m时,B=x2-4x+7=n,则x=m+2 时,A=x2-8x+19=n。我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后,此时延后值为2。

(1)若代数式D参照代数式B取值延后,相应的延后值为1,请直接写出代数式D;

(2)已知代数式ax2-12x+b参照代数式2x2-4x+c取值延后,求c-b的值。

【简答】(1)∵代数式D参照代数式B取值延后,相应的延后值为1,

∴D=(x-1)2-4(x-1)+7=x2-6x+12。

(2)2x2-12x+b=2(x-m)2-4(x-m)+c,

∴4+4m=12,解得m=2。

∴b=2m2+4m+c。

∴c-b=-16。

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