“放”飞智慧收获惊喜*
——探究一个定理的教后反思

山东省淄博市博山中学(255200)郑文博 孙丰文

“你还记得怎样证明吗? ”

“你还能想到其他方法吗? ”

历年中考第一轮复习总会遇到:定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的再证明,因为这一定理在几何图形的计算和证明中占据着极为重要的地位,所以笔者在课堂上特意提出了上述问题.并将此定理的再证明直接放手给学生解决,学生们的表现让笔者喜出望外,给出了多种精彩的证法.现整理学生的证题方法和笔者的一些反思感悟与大家交流分享.

1 定理呈现

直角三角形斜边中线定理

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

已知:在RtΔABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC的中线,

2 证法展示与思考

2.1 第一种情况:从矩形的性质入手

证法1如图所示,延长AD到E,使DE=AD,连接BE,CE,易证四边形ABEC是平行四边形,又因为∠BAC=90°,所以四边形ABEC是矩形.再因为矩形对角线相等,所以.

证法2如图所示,取AB,AC的中点E,F,连接DE、DF、EF,得DE、DF、EF均为三角形的中位线,进而DE//AC、DF//AB且,所以四边形AEDF为平行四边形.又因为∠BAC=90°,所以四边形AEDF为矩形,从而推出AD=EF,即.

思考以上两种证法本质相同,都是通过辅助线构造矩形,再利用矩形对角线相等来证得此定理.因为这个定理是学生学习矩形时给出的,所以从借助矩形性质这个角度来思考的这两种方法,学生还是比较容易想到.

2.2 第二种情况:从证明三角形全等出发

证法3延长AD到E,使DE=AD,连接CE.易证ΔADBΔEDC,得AB=EC,∠B=∠DCE,这时可得出∠ACE=90°,进而推出ΔABCΔCEA,所以BC=EA,又因为所以.

证法4延长BA到E,使AE=AB,连接CE.易得AD是ΔBEC的中位线,所以.这时可证ΔBACΔEAC,进而推出BC=EC,从而得出结论.

思考对于线段之间的等量关系证明,学生常用的方法是通过证明三角形全等得出.证法3 是利用倍长中线的辅助线作法来构造全等得出结论;证法4 是通过添加辅助线,利用中位线性质和构造三角形全等得出结论.

2.3 第三种情况:从构造中位线角度考虑

证法5取AC的中点E,连接DE,易得DE是ΔABC的中位线,进而DE//AB.因为∠DEC=∠BAC=90°,所以DE垂直平分AC,从而推出原题得证.

证法6过点D作DE//AB,交AC于点E,可得DE是ΔABC的中位线,又因为∠BAC=90°,所以∠AED=90°.由此可在RtΔAED中,根据勾股定理得易知所以

思考看到中点如何思考? 证法5 从构造中位线入手,借助垂直平分线性质证得结论,其中辅助线作法也可过点D作DE//AB;证法6 的出现让人眼前一亮,利用中位线得出线段关系,再通过勾股定理将线段代换,从而得证,着实让人感到意外,学生开阔的思路,值得点赞.当然前面证法2、证法4 证明过程中也都运用到了中位线性质.

2.4 第四种情况:从特殊角度突破

证法7运用圆周角定理证明.

作RtΔABC外接圆,由90°的圆周角所对的弦是直径,可得点D是圆心,AD是半径,BC是直径,所以.

证法8运用参数法证明.

不妨设AB=c,AC=b,BC=a,知b2+c2=a2.过点A作AE⊥BC,垂足为E,因为∠BAC=90°,所以∠BAC=∠AEB.又∠ABC=∠EBA,所以ΔABC∽ΔEBA.由三角形相似的性质可得.易知所以

证法9运用解析法证明.

可以建立平面直角坐标系:以点A为坐标原点,AB边所在直线为x轴,AC边所在直线为y轴建立直角坐标系.设点B:(b,0)、点C:(0,c),则点D:所以.

证法10运用反证法证明.

证法11运用作图法证明

如上图,以点A为顶点,作∠BAD=∠B,可知AD=BD.又∠BAC=90°,所以∠CAD=∠ACD,所以AD=CD,由此推出.

思考通过观察图形,发现图中存在直角三角形,证法7通过构造辅助圆来解决问题,虽然此法看似简单,但同学们极少有这种做题储备和经验.证法8 中求线段AE的长还可以利用面积法,如上图易知AB×AC=BC ×AE,所以,在RtΔABE中利用勾股定理计算,然后再利用上面的方法即可求证.对于证法9、证法10、证法11 属于另辟蹊径,证法独到.

以上几种证法,是学生在独立思考——展示交流——再思考——再展示的过程中得出的.应该说,学生们精彩的解答,让人倍感惊喜.惊喜于他们能从不同的角度去思考问题、分析问题、解决问题,更为他们能独当一面,思路开阔,感到欣慰!

3 反思感悟

3.1 “放”是践行《义务教育数学课程标准》最新要求

虽说以学生为主体的教学理念推广已久,但日常教学现实却是不尽人意.老师们头脑中的意识和习惯性教学方式早已根深蒂固.所谓“生本教学”,只是停留在应付检查层面.《义务教育数学课程标准》(2022年版)明确指出:“教学活动应注重启发式,激发学生学习兴趣,引发学生积极思考,鼓励学生质疑问难,引导学生在真实情境中发现问题和提出问题,利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题.”因此,“引发学生积极思考”,是改变当前课堂教学现状的突破口,同时以此入手让老师们去尝试、去体悟这种“放手”所带来的变化与惊喜!

3.2 “放”会突显“课堂留白”价值的实质

教学是一门科学,更是一门艺术.艺术中注重“空白”效应,教学也不例外.课堂中适度留给学生一点“空白”,会很好地给学生构建一个“充分思考、消化吸收”的平台,有利于学生深思,生发智慧.而反观实际课堂教学:“一言堂”现象屡见不鲜.部分老师课前预设大量知识点,将四十分钟的课堂安排得满满的.究其原因是教师那份“不放心”造成的,殊不知这样做既减少了学生对课堂教学的参与度,降低了学生学习热情,又失去了锻炼学生思维的机会.所以说,课堂中“适度”放手,让学生去感受、体验、思考和顿悟,实现学习真实发生,从而最大限度的发挥“课堂留白”带来的效益!

3.3 “放”易培养学生独立思考的习惯

“几何学之父”欧几里得曾这样谈到:“学习几何,人人都要独立思考,就像种庄稼一样,不耕耘就不会有收获.”所以说,真正的数学学习是需要每个学生在课堂中有自己独立的空间进行思考,而课堂教学中的“放”恰好给学生提供独立思考的时机,它能打开学生思维的闸门,让学生进入他们“个人的思考世界”,催生“精彩瞬间”,体验成功的喜悦.因此在平时教学中教师要“大胆放手”,多给学生独立思考的机会,去点燃和培育学生的独立思维之花,学生才会逐渐养成自己独立思考的习惯,自主建立和完善个人的思维和认知结构,提高自己的学习力!

3.4 “放”能提高学生解决问题的能力

面对数学问题,学生如何解决? 现状是:大多数学生一心想着借助外力(网上搜答案或老师、同学的讲解)来解决问题,根本不想真心下功夫去思考问题、解决问题,其不知,解题能力的培养和提高这个过程是无人可以代替的.新知识不可能“给予”学生,教师必须意识到这一点(即他呈现给学生的知识,学生必须要重新构建其含意).也就是说:知识的获得,不是教师“教会”的,而是学生自己“悟”出来的.而在实际教学中,教师常常预设太多,把问题“研碎磨细”,进行着保姆式的教育.有时学生会有一些有趣的奇思妙想,对于解题很有帮助,不幸的是,作为教师往往意识不到这一点.教师会固执地习惯于坚持自己的方法去做,不给学生足够的时间去交流和研讨.这就限制了学生的思维,缺少思维碰撞以及生成的精彩,解题能力的提高又从何谈起呢? 因此,课堂上应该坚持“放”在心中,充分调动学生学习的内驱力,让学生成为课堂的主角,让他们在探究的道路上,体验成功与失败,亲身经历问题解决的全过程,在实践中实现解题经验的积累和沉淀.更为关键的是这个过程将内化成学生个人解题能力的“真金白银”,实现解题能力的真提升!

总之,教师的角色应该是明智的领导者,而学生则是聪慧的创造者.数学并不是学生很容易消化的“流质”食品,需要教师在课堂教学中善于设置问题,敢于放手,让放手成为一种“常态”,催发学生们的“无限可能”! 让学生在独立思考、静心探究、咀嚼问题的味道与营养、体悟思考的力量中,绽放“智慧之花”!