基于“数学任务理论框架”的试卷压轴题评讲

广东省佛山市第四中学(528000)王新骇

1 问题的提出

美国匹兹堡大学QUASAR 研究所提出“数学任务理论框架”,在该理论框架下,“数学任务”是指围绕发展某个特定的数学技能、概念或思想而进行的一个课堂活动片段,包括问题和师生围绕问题所进行的教学活动.他们把“数学任务”分为四种类型:记忆型、无联系的程序型、有联系的程序型和做数学.教师布置或建立的任务的认知水平,决定着学生后面思维的参与和探究活动的水平.数学课堂上应尽量保持数学任务的高认知水平,但在学生思维受阻,数学理解方面毫无进展时,教师要给学生的思维提供适当的“脚手架”.

在高三的复习过程中,经常遇到试卷压轴题的讲评.压轴题因其起点高,思维难度大,运算过程繁杂等原因,学生对此往往信心不足,望而却步.笔者因为所在学校是市四类生源的学校,过往的教学中对待压轴题常常也是回避的多,就算讲——多数时候也是就题讲题,学生听得吃力,老师讲得费劲(因为学生参与度不高,得不到共鸣),平时很活跃的课堂,此时总是变得沉寂起来,整堂课几乎成为教师的独角剧,偶尔才见“两三点雨山前”,很难再“听取蛙声一片”,如此课堂表现甚是差强人意,与笔者的教学理念也格格不入.如何才能改变这种状态? 让全体学生都参与进来,并从中获得不同程度的收获? 笔者带着这样的想法,曾进行了一次有益的教学尝试,评讲一道月考压轴题,试题如下:

(月考试卷第22 题)已知函数f(x)=xeax-ex

(1)当a=1 时,讨论f(x)的单调性;

(3)设n ∈N*,证明:.

本题改编自2022年高考全国2 卷第22 题.现摘录主要教学环节如下,教学处理妥当与否? 敬请各位同行批评指正!

2 教学过程简述

2.1 降低起点,由动手实践开始

师:今天这节课我们接着评讲月考试卷的最后一个压轴题,评讲之前我们先来做一个工作:请大家在同一坐标系中画出以下两个基本函数y=ln(x+1),y=x的图象.学生互动交流完成,教师巡视并给予指点,稍后教师展示两个同学的作图,强调作图的规范性,并用电脑作图软件画出图形.其图形如下:

2.2 观察归纳,验证不等式

师:请同学们观察以上图形,看能否得出这两个函数之间的不等关系?

生1:在任何时候都有ln(x+1)≤x.

师:很好! 其实不等式ln(x+1)≤x描述的就是两个基本函数y=ln(x+1),y=x之间的不等关系.你们能证明这个不等式吗?

学生安静,思索……

师:(进一步提示)证明不等式的方法有那些? 本题适合用什么方法?

生众:作差法,综合法,分析法,构造函数法,数学归纳法等等.

师:大家按照自己的想法分别证明一下.

教师巡视,约5 分钟后.

师:有谁能谈谈自己成熟的想法.

生2:可以构造函数,借助导数工具证明.

师:你来把具体过程板书一下.(在此期间教师和其他同学交流了一下不成熟的一些解法).

板书如下:设函数y=ln(x+1)-x(x ＞-1),则解得x=0.列表如下,所以函数y=ln(x+1)-x(x ＞-1)在(-1,+∞)上有最大值f(0)=0.所以ln(x+1)-x≤0,即ln(x+1)≤x.

师:很好! 做得真漂亮! 应该为他鼓掌! (生众鼓掌)

x (-1,0)0(0,+∞)y′+0-y 增极大值减

2.3 变式引申,利用不等关系迭代求和

学生困惑,教师进一步提示:这两个不等式形式上有什么差别?

生3:前面的式子中含有x,后面的式子中有,而且后面有n项的和的形式.

师:由此你能联想到什么? 相互交流3 分钟.

几分钟后师生互动得出如下证明:

由上知x ＞0 时ln(x+1)＜ x,令,则即取n=1,2,3,··· ,n,则各式相加得:

随后老师对解题思路进行了阐述.

师:数列不等式一边是n项和,一边是一项,为了证明数列不等式我们需要把一项的那一边也看成n项和,这好比《西游记》中孙悟空的“七十二变”,孙悟空对牛魔王时,牛魔王施法变身n个牛魔王打孙悟空一个人,孙悟空的应变就是也变出n个孙悟空,一对一对打,决定胜负的还是各自的那一个真身,真身的胜负决定群体的胜负.

2.4 探寻别解,扩展思维

师:上面不等式的证明还有其它方法吗?

事实上,本题还可构造数列(也是定义在n ∈N*上的函数),判断它是递增数列,再用f(n)≥f(1)证得.

师生共同完成以上证明,并在教师的引导下对方法进行了归纳小结.

2.5 变式训练,及时巩固

由学生完成以下题组:

①画两个基本函数y=的图象.其图形如下:

②证明不等式:lnx≥证明如下:构造函数则所以f(x)在(0,+∞)上为增函数.所以,当x≥1 时,f(x)≥f(1),即故.

2.6 回到原点,评讲压轴题

师:下面我们一起来试着解决这次月考的最后一题,本题得分很低,平均分只有不到2 分,我们再来做做看,看能否解决呢?

第1 问学生基本都能解决:(1)当a=1 时,f(x)=xex-ex=(x-1)ex,f′(x)=xex,所以,当x ∈(-∞,0)时,f′(x)＜0,f(x)单调递减;当x ∈(0,+∞)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增.第2 问在换元上稍作了一些启发,大部分学生也能完成:(2)当时,由

证毕.

2.7 总结方法,课后练习

师生互动,一起对此类不等式的证明的方法进行了总结:证明数列不等式本质上是证明函数不等式,只要找到了数列不等式对应的函数不等式这个“真身”,加以证明,即可使问题得到解决.最后布置课后练习题组:

(1)已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在点x=0 处取得极值.①求实数a的值; ②证明:对于任意的正整数n,.

(2)数列{an}满足.①求数列{an}的通项公式; ②设数列{an}的前n的和为Sn,证明:.

(3)定理:若函数f(x)的图象在区间[a,b] 上连续,且在(a,b)内可导,则至少存在一点ξ ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立.应用上述定理证明:①,②.

3 课后反思与感悟

3.1 利用”脚手架理论”,有序分解

“数学任务框架理论”认为教师布置或建立的任务的认知水平,决定着学生后面思维的参与和探究活动的水平.高水平的数学探究活动应该是“做数学”,当然就算是“做数学”层次的数学活动,教师布置的任务或提出的问题也应指向学生的“最近发展区”.当教师布置的任务与学生已有学习经验匹配不当时,或者学生思维受阻,数学理解方面毫无进展时,教师要给学生的思维提供适当的“脚手架”,帮助学生拾阶而上[3].高考压轴题的难度无疑是大大超出学生思维的“最近发展区”,因此需要对这个难点进行有序分解,适当降低难度.案例中笔者正是基于以上考虑才把压轴题中的两个关键难点有序地分解出来.这两个分解问题解决了,压轴题的评讲就水到渠成,学生也易于接受.

3.2 体现新课标理念,分层落实

高中新课标的实施建议指出数学课堂教学中“既要有教师的讲授和指导,也有学生的自主探索与合作交流.教师要创设适当的问题情境,鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识形成的过程”[1].正是基于以上理念,笔者在整堂课开始时设计了动手画图的环节,既降低了问题解决的起点,也能让所有同学积极参与课堂,同时也是学生后续思维的生长点,后面每一个问题也都是以上一个问题作基础逐渐展开的.在环节4“探寻别解,扩展思维”,环节5“变式训练,及时巩固”中,也都留足时间让学生自主地探究,并进行充分的交流,学生在相互交流中碰撞出了思维的火花.

3.3 合理预设,动态生成,逐层递进

课堂教学需要精心、合理的预设.教师必须在课前对自己的教学任务有一个清晰、理性的思考与安排,这种预设既要以学生为重心,而且还要遵循循序渐进的原则;要能充分完成教学的目标,还要体现自己的风格与意图.当然,再精心的预设也无法预知整个课堂的全部细节,动态生成也是一堂课不可或缺的重要组成部分.尤其是在自主探究性课堂中,动态生成往往是课堂的亮点,是课堂精彩分呈的催化剂.

本案例整个教学过程有教师的设计、指引,但具体问题的解决以学生思维为主,动态生成教学过程.学生参与度高,也有积极性,课堂的气氛活跃了,“听取蛙声一片”的效果也出来了.从学生的眼神笔者感觉到了学生的收获感.事实上,课后学生的反映也普遍较好,完全改变了以前试卷压轴题评讲课的沉闷与压抑.我想,这次教学尝试是积极的! 有益的!