新课程理念下的结构化教学设计策略*
——以“圆周角(1)”教学为例

广东省广州市黄埔区教育研究院(510530)吴光潮

广东省广州市玉岩中学(510530)吴和贵 李小兵

《义务教育数学课程标准(2022 版)》(以下简称《新课程标准》)在课程理念中指出:“设计体现结构化特征的课程内容.....课程内容的组织,重点是对内容进行结构化整合,探索发展学生核心素养的路径”.华东师范大学课程资源与教师发展中心主任吴刚平曾指出:《义务教育数学课程标准(2011年版)》课程内容的结构特点主要是学科知识逻辑、学科知识体系、知识导向;其主要问题在于课程内容与社会生活、学生经验、学习过程结合不够,学科之间存在隔离,知识间的内在联系不足,知识碎片化,知识学习缺少真实情境和问题解决过程等.《新课程标准》从课程内容结构上进行了调整和优化:育人为本、学生发展逻辑、素养导向.基于新课程理念,如何开展结构化教学? 笔者结合“结构化教学”学习研究,以“圆周角(1)”教学设计为例进行策略分析.

1 结构化教学的基本内涵

1.1 结构与知识结构

《现代汉语词典》中对“结构”作如此解释:组成事物各个部分的搭配与排列,建筑上承受力的构造,文章的组织安排.认知心理学中“结构”的要素是“结点”“连线”,其类型主要有单线结构、树形结构、网络结构.学科知识结构的要素是“知识”(结点)、“知识之间的联系”(连线).学科教学中的结构主要有知识结构、方法结构、认知结构、目标结构、问题结构、教学结构等.

万物皆有结构,数学尤其如此,结构的本质是联系、运动、变化、发展、整体性.如,数系的扩充过程中的知识点结构——知识点“正整数与正分数”→“正数”知识结构;当引入“负数”概念后,新生成“负整数”“负分数”的“负数”结构;进一步形成“有理数”新的知识结构;引入“无理数”概念后,形成“实数”的知识结构体系.再如,学习“三角形全等”知识后,其研究方法可以类比、迁移到“三角形相似”的研究中去,从而形成、完善三角形知识研究的方法结构.知识结构、方法结构等不断丰富后,也促进认知结构的迭代升级.

1.2 结构化与结构化意识

结构化,是指从结构A 到结构B、到结构C…不断生成新结构的过程.结构化的过程包含把相对零散的、模糊的、不完整的、不系统的结构经对概念的互动理解和建立要素之间的内在联系,使之变成体系化的、清晰的、完整的、系统的结构的过程,始终变化发展是其本质特点.如上例“数系的扩充过程”“三角形全等到三角形相似”的研究过程,是知识结构化过程和方法结构化过程.

学习的结构化意识,则是指:具有强烈的从教材知识结构、学生已有认知结构等出发,生成新的认知结构的过程;在新的认知结构形成的过程中,需要严谨的推理和论证过程(批判性思维).结构化意识,需要习惯于运用结构化思维方式思考问题:(1)表象层次,即分析现象,提取有效信息,梳理信息之间的内在关系——提取要素→界定要素或要素所包含的相关概念→建立要素间联系; (2)本质层次,即透过表象对本质进行追问、梳理与界定,掌握本质——深究要素内涵,明确因果关联(如是什么? 为什么? 怎么办? 还能做什么?等)→(运用批判性思维方式,推理、论证、权衡,将问题条理化)追问事物本源;(3)价值层次,即通过对价值的评判,建立意义,促进深度理解——对各环节、全过程、事前事后进行反思性监控;(4)应用层次,创造性应用结构化的知识去解决现实问题,呈现高品质的输出能力与效果.

1.3 结构化教学

学科概念、原理等知识是有内在联系的,这种内在的本质联系就构成了这门学科的知识结构;而学生头脑里的学科知识按照自己的理解深度与广度结合自己的思维、联想等认知特点组成的一个具有内部规律的整体结构,即学生的学科认知结构.结构化教学,就是基于学科的知识结构与学生的认知结构,聚焦点定位于课堂时空内的结构和结构化,重点研究课堂内学生的能动性和结构化意识,尤其是学生的认知层次的结构化的动态发展——特别强调结构化的思维方式或结构化意识的培养.学科结构化教学要厘清学科知识结构(基础),建立学科知识内在本质联系(关键),形成学生认知结构中的内部规律整体结构(核心),从而培养和发展学生的学科素养(目标).

2 结构化教学的基本路径

从数学知识的发生发展过程和学生的认知过程两个维度考虑,章建跃博士给出了一般观念引领下的教学基本路径:背景→概念(对象)→性质(关系、规律等)、(运算)法则、公式→联系(结构)→应用.一般观念引领下的教学思路是高度契合上述“结构化教学”的特点,因此可将其作为数学学科结构化教学的基本路径.

综合研究一个数学对象的基本路径、不同知识类型的学习过程、教学活动组织的需要等因素考虑,可大致确定常见课型的分类及其一般教学环节(具体环节名称,可灵活确定).

(1)概念课:创设情境,提出问题→抽象概念,内涵辨析→例题练习,巩固理解→小结提升,形成结构→目标检测,检验效果→布置作业,应用迁移.

(2)定理课:创设情境,提出问题→观察实验,得出猜想→推理论证,证明猜想→例题练习,巩固理解→小结提升,形成结构→目标检测,检验效果→布置作业,应用迁移.

(3)小结课(传统型):知识梳理,构建网络→典例精讲,变式训练→方法提炼,归纳总结→当堂检测,巩固拓展.

(4)小结课(学生自主型):自主研学,温故知新→互动探究,动态生成→梳理整合,构建体系→问题解决,反思升华→目标检测,检验效果→布置作业,应用迁移.

3 结构化教学的案例分析

基于上述理念及分析,笔者以人教版九年级“24.1.4 圆周角(1)”为例进行教学设计.

3.1 总体思路

基于“概念课”和“定理课”的基本教学环节进行整合、细化,按如下课堂流程有序展开:创设情境,提出问题(意义导入,明确研究对象)→抽象问题,比较分析(解构旧概念“圆心角”)→形成概念,内涵辨析(建构新概念“圆周角”)→观察实验,得出猜想(建立联系,结构“圆周角”)→推理论证,证明猜想(本质理解,定理论证)→例题练习,巩固变式(完善结构,意义理解)→拓展学习,成果提升(反思监控,重构系统)→目标检测,检验效果(结构应用,问题解决)→布置作业,应用迁移(能力拓展,形成素养).本设计思路主要聚焦于教材知识与学生认知的结构和结构化,并依此设置教学环节,在结构化思维中促使核心素养落地.

3.2 教学过程

环节1创设情境,提出问题

问题1足球训练场上,教练过球门A,C两点画了一个圆圈进行无人防守的射门训练,如图1,甲、乙、丙三名运动员分别在该圆B,D,E三处射门.仅从球员射门的角度大小(球员所在点相对于球门张开的角度大小)考虑,教练的做法公平吗? 为什么?

图1 问题1 图

追问1如果把上述背景简化为图2,教练的做法是否公平,根据什么判断?

图2 追问1 图

功能分析基于德国数学家米勒的最大视角问题(又称之为“米勒问题”)经典问题改编创设的生活情境,从学生的生活经验(认知结构)出发,调动学生的能动性,使学生产生学习新知的愿望;意义导入,指向知识的发生:提出数学问题,明确知识背景,揭示学习目的、学习目标和意义.

环节2抽象问题,比较分析

问题2图3 与图4 中,∠ABC与∠EOD有什么异同?与其相关的要素有哪些?

图3 问题2 图

图4 问题2 图

功能分析基于“问题1”的问题情境进行数学抽象,引导学生发现问题; 引导学生联想“图4”中的旧知“圆心角”的定义,对旧概念“圆心角”进行结解构(关键元素“边”“顶点”),结合“图3”对新概念“圆周角”进行比较(关键元素“边”“顶点”“相交”)、分析,为后续类比“圆心角”的定义来形成“圆周角”的定义、并对其进行建构作铺垫;促使学生主动对新旧知识进行联系、有意义的学习,新旧知识自然同化、顺应、重组,使结构化过程变得可视、有效.

环节3形成概念,内涵辨析

问题3你能对图3 中的∠ABC下一个定义吗?

追问2如图5,请判断各图形中的角是不是圆周角,并说明理由.

图5 追问2 图

功能分析促使学生对“圆周角”概念进行辨析,深度理解概念内涵,从而有效自主建构、形成“圆周角”新概念.

环节4观察实验,得出猜想

问题4如图6,点A,B是上的两定点,你能分别画出多少个劣弧所对的圆心角和圆周角∠ACB? 请尝试画出各类具有代表性的图形.

图6 问题4 图

功能分析基于圆心O 与圆周角∠ACB的三种位置关系——代表图形如图7-1(圆心在角边上)、图7-2(圆心在角内部)、图7-3(圆心在角外部),引导学生立足于“类”进行认知建构、建立“圆周角”与“圆心角”的联系;发展学生批判性思维,培养创新意识;为后续形成生成性探究资源.

图7-1

图7-2

图7-3

追问3结合上述代表性的图形,你能比较圆周角和圆心角的度数吗? 请动手试试,看看能发现什么规律.

追问4如果只改变∠ACB的顶点C的位置,使其在该圆任意位置(不与A,B重合),劣弧(或者优弧)所对的圆心角和圆周角上述规律还成立吗? 如果只改变的大小呢?

问题5你能猜想出什么结论?

功能分析基于生成性资源“做中学”,“追问3”引导学生联想研究方法、动手实践、自主探究——利用量角器度量角,猜想;“追问4”变化图形,继续用量角器度量,继续深入探究、猜想;强化“圆周角定理”新知在学生认知系统内的初步结构化——“圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.”

环节5推理论证,证明猜想

问题6请证明你的结论.

追问5请先选择你要证明的图形,然后尝试对其证明.

功能分析定理论证,让学生经历常用的结构化思维方法——分析、比较、辨析、假设、推导、检验等,从而加深对“圆周角定理”的本质理解.引导学生按图8-1、图8-2、图8-3 由特殊到一般、由易到难的顺序论证,让学生经历知识结构化、方法结构化过程,同时也更利于给学困生示范、启发探究思路.证明思路的形成过程,是基于问题解决的探究过程,发展学生的“四能”“四基”和逻辑推理、直观想象、创新意识、数学建模等核心素养——特别地,在“图8-1”中引导学生提炼证明的关键要素、活动经验:基于“三角形旗帜ACO-B”及其“旗杆COB”图形构件,启发思路,分别在“图8-2”与“图8-3”中构造“三角形旗帜与旗杆”图形构件(如图中虚线部分的辅助线构图),从而破解论证.

图8-1

图8-2

图8-3

追问6如图9,在圆O中,如果,那么其所对的圆周角(圆心角)分别有什么关系? 为什么?

图9 追问6 图

追问7如图10,在圆O中,如果半圆或直径AB所对的圆周角有什么特点? 为什么? 反之呢?

图10 追问7 图

功能分析旨在深化探究,引导学生得出推论——“推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等; 所对的圆心角相等”“推论2:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角).反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径”.培养学生合情推理与演绎推理的逻辑推能力.学生经历推理论证、证明猜想的过程,并在其中对知识的结构化、方法的结构化都有“浸入式”的体验.

环节6例题练习,巩固变式

例如图11,∠A是⊙O的圆周角,∠A=40°,求∠BCO的度数.

图11 例题图

变式1如图12,∠BAC=____,∠BDC=____.

图12 变式1 图

变式2如图13,∠A是⊙O的圆周角,∠A=140°,则∠BCO=____.

图13 变式2 图

功能分析抓住关联,整合例题,变式巩固.例题及变式1、2 从新知“圆周角定理”的关键要素“圆周角”“圆心角”的顺向、逆向等角度,联系等腰三角形、圆内接四边形性质等知识进行纵向、横向简单应用,既巩固了新知也进一步结构化知识,促使知识整体性、系统性发展.

环节7拓展学习,成果提升

问题7请思考下列问题,并分享交流

(1)本节课学了什么具体内容,你能否所学新知识画出思维导图、知识树等图示?

(2)我们是如何研究这些内容的?

(3)自己的理解、掌握情况如何? 还有哪些不懂、似是而非的理解? 你还有什么感悟?

(4)通过本节课的学习,“问题1”你能解决吗? 你还能自己解决与生活中哪些类似问题?

功能分析引导学生为反思而学、为迁移而学、为感悟而学.对学习过程“感知→理解→思维→转化→迁移”等自我监控、知识的结构化、思想的体系化、能力的表现化、经验的连续化等进行总结和反思.

环节8目标检测,检验效果(略)

环节9布置作业,应用迁移

1.分层作业(略)

2.挑战进阶:(略)

4 几点思考

4.1 注重结构化思考的方法、方向渗透

新课程理念下的结构化教学,注重结构化思考的方法、方向渗透.在教学过程中设计系列活动促使学生不断结构化思考,注重渗透结构化思考的方法,建立思考的结构层次——表层→本质→价值→应用——建立面对新知积极追问、主动探寻的思维意识和习惯(是什么? 从哪里来? 到哪里去? );注重渗透结构化思考方向——上挂下联,左牵右拓:向上一级概念追溯,向下一级概念延展,横向水平拓展,跨界联想.在不断地定位、辨析、比较中完善结构系统(使微观结构和宏观结构不断优化).

4.2 在结构化的教学流程中凸显“两个过程”的深度融合

教学过程设计逻辑连贯、重点突出,注重并凸显以“两个过程”(数学知识的发生发展过程和学生数学思维过程)的融合为线索.创设适切性的问题情境,促使学生发现问题、提出问题;设计高质量的驱动问题,促使学生在环环相扣的问题串引领下开展系列化的探究性学习活动;开展系列化的结构活动,促使学生形成核心概念的思维建构和技能操作过程、数学基本思想的领悟过程、数学基本活动经验的积累过程,从而促使学生在结构化、掌握“四基”的过程中落实数学核心素养.

5 结语

《新课程标准》强调课程内容结构化,结构化教学要使学习活动“类”的建构、把握知识结构和认知结构的意义联结.课堂教学把握数学知识之间的整体结构,知识内容横纵向联系和学生认知上的联结相统整,体现数学知识学习中的元素关联、活动关联和方法关联,聚焦“变式与拓展”,在“变”与“不变”的辨析中理解数学知识的本质内涵,促使学生主动建构知识,有效形成认知结构.其中,帮助学生形成结构化思考意识是结构化教学的重中之重.