合理利用教材,提升数学思维品质

广东省中山纪念中学(528454)许文

数学教学的本质就是要教学生学会思考,在教学中,老师要给学生选择适合学生的学习资料,提供探索知识的平台.而教材是很重要的学习资源,课本中例题及习题都是经过反复斟酌,有着很高的利用价值.对于学生来说,教材中的材料入手较为容易,而且有很大的思考空间,这就需要老师深度挖掘好课本资源.

1 深度挖掘,培养学生思维的深刻性

在习题变式时,可以从知识的“深度”入手,探求简单的现象背后隐藏的本质,让学生深刻了解知识的产生和应用.

案例1 等差数列的性质

(人教A 版必修5 第39 页练习题第4 题)

已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1,公差为d.

(1)将数列中的前m项去掉,其余各项组成一个新的数列,这个数列是等差数列吗? 如果是,它的首项与公差分别是多少?

(2)取出数列中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗? 如果是,它的首项和公差分别是多少?

(3)如果取出的数列所有序号为7 的倍数的项,组成一个新的数列呢? 你能根据得到的结论作出一个猜想吗?

这一道练习题给我们提供了一个很好的切入点,教师可以引导学生对等差数列的性质作进一步的探索,以达到开拓学生思维的目的,问题源于教材,但又不局限于教材,从而达到真正意义的利用好教材.

变式1已知一个无穷等差数列{an},若从中抽取一些项:组成一个新的数列,仍成等差数列,这些项的下标有什么特点吗?

变式2如果我们从等差数列{an}中抽取三项an,ak,am成等差数列,那么下标n,k,m满足什么关系呢?

设计意图引领学生逆向思考问题,得到成等差数列与下标k1,k2,k3···成等差数列是等价的.特别地,m+n=2k ⇔am+an=2ak.另外,引导学生再体会等差数列与一次函数的关系”,也就是说,任取m,n和r,s,若有r-m=n-s,必有ar-am=(r-m)d=(n-s)d=an-as,即当m+n=r+s时,am+an=ar+as.等差数列两个非常重要的性质,很好的诠释了等差数列的变化属性”.从教材习题出发,对其深度挖掘,深化了题目的内涵,对培养学生思维的深刻性,灵活性和创造性都起到了很大的作用.

2 顺势而为,培养学生思维的广阔性

我们可以从知识的“互通性”来入手,即注重知识间的联系,从一个知识点可以推导到另一个知识点,知识之间相互印证,加强对知识的理解.这里讲的“互通性”并没有注重知识发生的逻辑顺序.此时,课本的例习题就可以当作“药引子”,将其做更多的推广.

案例2 数列的构造

(人教A 版34 页B 组第3 题)

已知数列{an}的第1 项是1,第二项是2,以后各项由an=an-1+an-2,(n ＞2)给出.

(1)写出这个数列的前5 项.

(2)利用上面的数列{an},通过公式构成一个新的数列{bn},试写出数列{bn}的前5 项.

这个问题的解答较为容易,进一步思考,为什么会做这样的构造呢? 新的数列{bn}又会满足什么递推关系式呢?

在an=an-1+an-2两边同时除以an-2可以得到即1+bn-2=bn-1·bn-2,所以{bn}满足的递推公式为1+bn-1=bn · bn-1即

构造新数列是从一个已知的数列出发,通过运算的方式构造新数列,如已知数列{an}将其每一项加上n可以得到数列{an+n},即数列:a1+1,a2+2,a3+3,···,还可以得到数列,即数列,···,另外还有很多的构造方式,如{ann },{nan},{an+an+1}等等.

从熟知的等差等比数列出发,通过构造新数列的方式,能否得到一些熟知的递推公式呢?

变式1已知等比数列{bn},公比为q(q为非零常数),若构造新数列{an}满足an=bn+λ,那么数列{an}满足什么递推关系式呢?

变式2若数列{bn}满足bn=rbn-1+s(r,s为非零常数),若构造新数列{an}满足,那么数列{an}满足什么递推关系式呢?

变式3若数列{bn}满足bn=rbn-1+s(r,s为非零常数),若构造新数列{an}满足,那么数列{an}满足什么递推关系式呢?

设计意图在这里只是略谈了几种构造新数列的方式,将熟知的递推公式相互转化,由基本的等比数列转化成几种常见的递推公式,这只是起到了抛砖引玉的作用,通过这种方式可以构造很多的递推公式,还可以进一步探讨.通过这种相互转化,让学生体会到许多常见递推公式的来龙去脉,提升学生思维的广阔性.

3 深挖图形,培养思维的灵活性

在立体几何的教学中,要重视对图形的理解,课本上的例习题给出了很多的经典图形,但限于难度,并没有深入的挖掘,我们可以结合要学习的知识点,采取不同的设问方式,不同的条件给出方式等方法,“用尽”图形.

案例3 立体几何的图形研究

原题:人教A 版选修2-1 第118 页练习题第11 题.

如图1,在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,点M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求BN的长; (2)求的值; (3)求证:A1B⊥C1M.

图1

解决本题是很简单的事情,其实本题还蕴藏着很多可以挖掘的东西,如这里给出了,在矩形ACC1A1中,AA1=2CA,则一定会有C1N⊥CN,另外可以看到NC1⊥NC,AC⊥BC,NC1⊥NB三个垂直的条件是可以互换的,由其中任意两个垂直就可以推出剩余的一个垂直,因此可以借助这些思考做一些变式.

变式1如图2,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AC⊥BC,若点N是AA1上的动点,是否存在点N使得C1N ⊥面BNC,若存在求出二面角A1-BN-C1的大小.

变式2(2012年新课标卷(理)改编)如图2,直三棱柱ABC-A1B1C1中,,N是棱AA1的中点,NC1⊥BN.

图2

(1)证明:NC1⊥BC; (2)求二面角A1-BN-C1的大小.

其实我们还可以做这样的变换,由AC⊥BC,NC1⊥NB推得NC1⊥NC,再加一个条件“N是棱AA1的中点”,进而得到.又或者将用线面角替换掉.

变式3(2013年广一模的第18题改编)如图3,在直三棱柱ABC-A1B1C1,AC=BC,AC⊥BC,N是棱AA1的中点,若点H为A1B上的动点,且C1H与面ABB1A1所成的角的正切值的最大值为,求二面角A1-BN-C1的大小.

图3

在变式的过程中,所有的要素在课本习题中的图形都给出了,但是课本习题只是点到即止,经过深入挖掘可以发现里面别有洞天,弃之实在是可惜了.进行深入挖掘,可以让学生思考问题时更加灵活.

设计意图通过挖掘图形的本质特征,设置不同的题目条件,让学生对问题认识更加深刻,也使学生思维方式更加灵活,这也是提升逻辑推理能力的有效途径.

4 结束语

深度挖掘课本例题习题,揭示知识的内在联系,让学生了解知识的来龙去脉,留下广阔的思维空间,激发学生的求知欲,引领学生走上数学的探究之路.这就要求老师对待课本例题与习题时,在学生学习基本知识,掌握基本方法与基本技能的基础之上,充分发挥教学的智慧,最大限度的利用教材资源,让学生从不同的角度,不同的层次,认识问题,以提高自己的思维能力.