数形结合 让思维可视化
——以《数与形》教学为例

文|胡冬南

数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学来源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系。由于小学生心理的发展特点，小学数学课堂教学以直观和具象为主，这样更适合学生对数的感知和认识。因此，数学课堂教学需要让学生能从具象中抽象出数和关系，使学生获得良好的数学教育，得到知识、技能，进而逐步形成适应终身发展的核心素养。可见，在一节课中，促进学生的思维进阶就尤为重要。下面笔者以《数与形》一课教学为例，谈谈怎样通过“数形结合”的方法进行图解数学，引领学生在读图、画图、说图等过程中将思维可视化，进而促进学生的思维进阶。

一、《数与形》一课中的思维路径分析

在人教版数学广角《数与形》一课中，教材从两道例题出发，让学生从例1 的一组图形中完成填空发现规律，通过例2 画图解决算式中的问题。但在以往的实际教学中发现，学生很难在两道例题的解决中理解和感悟“数形结合”的数学思想，不同学生在学习这节课后的思维水平差异很大，且例2 中“无限”的概念非常抽象。因此，分析清楚这节课学生的思维发展路径对教学的开展尤为重要。

（一）教材中的教学路径

（二）学生学习的思维路径

教材是静态地呈现学生需要学习的内容，而学生在课堂上学习数学是动态的。所以，有经验的数学教师不仅要“吃透”教材，而且更重要的是“吃透”学情。在教学前，通过让学生进行简单的预习和试做课后习题，发现学生存在“观察——找规律——应用”简单地套用“方法”，而不是真正内化方法、掌握方法并学会应用。因此，教师必须对学生学习的思维路径进行调整和优化，在进行教学设计中，我把本课的教学分为两大块内容，即“以数助形”和“以形解数”。

在“用形想数”中通过学生自己举例子，以自己的例子画出对应的图形，把自己的思维通过“画图”进行可视化，不同的例子对应不同的图形，进而形成一组学生“思维可视化”的作品，引导学生发现和内化其中的规律。预设如下：

在“用数想形”中通过学生选用“正方形”或“圆”，用不同的画图方法来表示算式：把自己对这个算式计算过程的思维进行“可视化”，然后通过对自己的“作品”进行上台讲解，深化学生对数形结合方法的认识，扩展方法多样性，突出数形结合方法的妙用。预设如下：

这样，学生学习的思维路径就变为：

例1：学生读图——算式对照——猜想规律——举例写算式并画图——得出规律

例2：学生观察——试着计算——画图表示——说图解题——直观理解——感受极限

正是基于以上分析，我认为本节课的核心不是得出规律和结论，而是让学生通过“数形结合”的方法，运用“读图”“画图”“说图”把自己的思维可视化，通过不同的“图形”解决方案来感知和体会数形结合的思想，而且在解决数学问题中真正提高学生运用数形结合的意识和能力。此外，通过本节课的教学，让学生真正感受到学习数学最重要的不是“套用”方法，而是真正地把数学中的知识和方法进行内化并应用，从而做到举一反三。

二、利用数形结合，在课堂中使学生的思维可视化

数形结合使抽象的数据形象化，使直观的图形数学化，从而把握图形背后的数学本质。

片断（一）：数形结合，“以数助形”

1.从图形归纳出算式

师：出示3 个正方形，观察它们有什么共同特点？

生：都是由若干个小正方形拼成的。

师：你能用一个算式表示小正方形的个数吗？

生1：乘法算式：2×2（或22） 3×3（或32） 4×4（或42）

师：你还能用其他算式来表示吗？

生2：加法算式：1＋3 1＋3＋5 1＋3＋5＋7

师：（追问）“1”在哪里？“3”在哪里？请学生上来指一指。这两种算式有什么关系吗？

生：它们是相等的。

教师小结并形成板书：1＋3=221＋3＋5=321＋3＋5＋7=42

2.由算式联想出图形

学生感知规律，教师启发：我们由这3 个正方形想到了3 组这样的等式。如果让你继续加上小正方形，像这样的等式你能写吗？试着写一个并画出来。

预设如下：1＋3＋5＋7＋9=521＋3＋5＋7＋9＋11=62

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13=72

师：现在我们一边回忆一下这几个图形，一边说一下它们所代表的算式。

3.归纳小结

师：这样，我们就把算式和图形对应起来啦！其实，这样的算式还有很多。请大家一起来观察它们，你有什么发现吗？

学生四人小组交流讨论，组间补充，得出规律：“从1 开始，几个连续奇数相加的和等于奇数个数的平方。”

师生小结：通过刚才“读图”和“画图”，我们发现“数”与“形”是真的有联系的，用形想数、用数想形、用数形结合的方法在探索形的过程中找到了数的内在特点，帮助我们很快地找到了规律。

教学片断（二）：数形结合，“以形解数”

1.了解学情

生1：后面一个加数是前面一个的二分之一，也就是“一半”。

生2：加数越来越小了。

师：（追问）这个算式你在哪里看到过吗？会算吗？

学生交流讨论发言说出自己遇到的困难。

2.自主画图，展示说图

教师出示：一个正方形和还有一个圆，都表示“1”。

要求：任选一个图形，画一画、算一算，记录你的想法。

预设如下：

生2 叙述画法：同一个圆的大小取决于圆心角的大小，于是每次取剩下圆心角的一半，第一次是180度，第二次是90 度，第三次是45 度……

3.归纳小结（略）

三、思维可视化帮助学生思维进阶

（一）利用图解数学，数形结合，深刻体会“数与形”之间的紧密联系

在课前，通过简单的课前谈话调查，了解学生对于“数与形”的认识，发现学生比较有代表性的两个观点:一种是把数与形分隔开来看待，数就是数，形就是形，约占65%；另一种认为“数与形”是有一定联系的，但具体联系在哪，学生并不能很好地说明和举例，约占35%。而在这节课后，我让学生举例说明数与形之间的具体联系（课本中的例子除外），95%的学生能举出各种各样的例子，植树问题中的线段图、扇形统计图的百分数、分数乘除法等。

这就说明本节课的教学让学生深刻地经历了“数形结合”。通过让学生深刻经历数学知识和方法形成的过程，利用图解数学、数形结合的方法，使学生从图形中归纳出算式，由算式来联想出图形，再自己举例画图，从而体会到数与形之间的紧密联系，使学生感受图解数学、数形结合的思维方式，把学生课堂上整个学习思维的过程进行了可视化，促进了学生解决此类问题思维的形成和发展。

（二）通过思维可视化，画图说图，感悟数学思想方法，促使思维进阶

“思维可视化”是为了促进认知结构的建构、优化，进一步提升思维能力及思维品质。在《数与形》的教学过程中，利用图解数学、数形结合的方法，首先让学生认识到了“数与形”之间密切的联系，但并不足以建构和优化学生的认知结构，也无法一下子提升学生的思维能力及思维品质。所以，在建构和优化学生的认知结构和提升学生的思维能力及思维品质这两个方面，都需要更好的“抓手”。通过让学生从算式出发画图，就是在帮助学生把“数形结合”这个方法在自己的认识体系中建构起来，而不同的“画图方案”既是学生个体思维可视化的图解表达，也拓展了群体解题方法的多样性，从而完成本课知识的内化和方法的建构。

通过个体学生对自己“画图作品”的阐述，说图展示让群体学生了解不同个体学生思维上的一致性。虽然他们的“画图作品”略有不同，但利用图解数学、数形结合解决问题的思维路径却是类似的。而学生个体通过群体学习，在解决同一个问题时，能利用“数形结合”进行方法多样的图解来表达，本身就是思维品质的提升，即思维的进阶。

这节课在思维进阶上，学生从学习《数与形》这一课对知识点的记忆，进而理解数形结合的方法，到应用数形结合的方法去解决问题的低阶思维，发展到学生利用“数形结合”的方法去分析问题，用“图解数学”让思维可视化去评价，最后自己提出和创造数学问题进行思考的高阶思维。