数学核心素养落地了吗
——兼评《折线统计图》一课

文|刘 松（特级教师）

在一次工作室日常研修活动中，有教师提问：“众所周知，小学学习的折线统计图属于统计与概率领域内容。但有一种观点说，统计不属于数学，这该如何理解？”对此，笔者曾经也有类似的困惑。其实，关于数学与统计的关系，在学术界争论了很久。现在，许多大学把数学和统计都列为一级学科，似乎已经很明白地表达了两者间的关系。2005年，美国国家科学奖奖章获得者布拉德利·埃弗隆曾撰文用图示清晰地表达了统计学与数学之间的关系（如图）。对我们小学教师而言，需要明白的是，统计学当然不是（纯粹）数学，甚至都不是应用数学。可是统计学和数学是有交集的，但又不是包含关系。数学与统计学的交集部分一般我们统称为数理统计。数理统计是数学的一个分支，分为描述统计和推断统计。它以概率论为基础，研究大量随机现象的统计规律性。描述统计的任务是搜集资料，进行整理、分组，编制次数分配表，绘制次数分配曲线，计算各种特征指标，以描述资料分布的集中趋势、离中趋势和次数分布的偏斜度等。推断统计是在描述统计的基础上，根据样本资料归纳出的规律性，对总体进行推断和预测。很显然，中小学阶段学习的统计与概率领域内容属于数理统计的范畴。

再来看看不同版本的《义务教育数学课程标准》中，关于统计与概率部分的相关要求与表述。

《义务教育数学课程标准（2001年版）》中，有六大核心词，统计观念位列其中。关于统计观念的解释为：主要表现在能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。

第二学段相关的知识与技能目标是：经历收集、整理、描述和分析数据的过程，掌握一些数据处理技能。在本学段中，学生将经历简单的数据统计过程，进一步学习收集、整理和描述数据的方法，并根据数据分析的结果作出简单的判断与预测。在教学中，应注重所学内容与现实生活的密切联系；应注重使学生有意识地经历简单的数据统计过程，根据数据作出简单的判断与预测，并进行交流。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011年版课标”）中，六大核心词扩充为十个，其中统计观念改称为数据分析观念，具体内涵包括：了解在现实生活中有许多问题应当先作调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴含着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面，对于同样的事情每次收集到的数据可能不同；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。

第二学段具体知识技能目标为：经历数据的收集、整理和分析的过程，掌握一些简单的数据处理技能。认识条形统计图、扇形统计图、折线统计图；能用条形统计图、折线统计图直观且有效地表示数据。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）提出了11 个数学核心素养，其中，2011年版中的数据分析观念分成了两段。小学阶段称之为数据意识，主要是指对数据的意义和随机性的感悟。知道在现实生活中，有许多问题应当先做调查研究，收集数据，感悟数据蕴含的信息；知道同样的事情每次收集到的数据可能不同，而只要有足够的数据就可能从中发现规律；知道同一组数据可以用不同方式表达，需要根据问题的背景选择合适的方式。形成数据意识有助于理解生活中的随机现象，逐步养成用数据说话的习惯。初中阶段称之为数据观念，具体内涵是：数据观念主要是指对数据的意义和随机性有比较清晰的认识。知道数据蕴含着信息，需要根据问题的背景和所要研究的问题确定数据收集、整理和分析的方法；知道可以用定量的方法描述随机现象的变化趋势及随机事件发生的可能性大小。形成数据观念有助于理解和表达生活中随机现象发生的规律，感知大数据时代数据分析的重要性，养成重证据、讲道理的科学态度。

纵观前后二十年，义务教育阶段的数学课程标准中关于数据观念内涵表述的变化，我们似乎可以明白一些道理。比如，为什么2011、2022年版课标中都不再提统计观念了？显然，上述工作室研修活动时教师的提问和这个问题有一定关系。因为，如果统计学和数学并列，那么统计观念就不仅仅是数学这一门学科努力的方向。既然中小学阶段学习的统计与概率内容主要属于数理统计的范畴，那么，数据分析观念自然就成了核心。所以，2011年版课标中不提统计观念了，但在解释数据分析观念的内涵时，特意强调了：数据分析是统计的核心。

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）（以下简称“高中数学课程”）中，数据分析和数学运算、数学建模、数学抽象、逻辑推理、直观想象并列为数学六大核心素养之一。数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养。数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论。数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也是“互联网+”相关领域的主要数学方法，数据分析已经深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面。数据分析主要表现为：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识。通过高中数学课程的学习，学生能提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力；适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。

很显然，高中数学课标中提到的数据分析素养，是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程。主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论。特点：针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中有用的信息进行分析和推断，最终形成知识的过程。步骤：主要包括收集数据、整理数据、提取信息，然后构建模型并对信息进行分析、推断，最终获得结论。作用：数据分析素养能够有效提高学生的数据处理能力，增强学生基于数据表达现实问题的意识，养成学生通过数据思考问题的习惯，还能帮助学生积累依托数据探索事物本质、事物间的关联和内在规律的活动经验。

看了高中阶段数据分析素养的内涵特点及属性等，我们就多多少少会明白2022年版课标中关于数据意识及数据观念素养内涵的表达。数据意识及数据观念是数据分析素养在不同学段的具体体现，如此表述，充分体现了数据分析素养内涵的一致性与阶段性。关于数据分析素养，始终离不开数据收集与整理、数据分析与表达、获得结论与知识等核心步骤。

对照2022年版课标中数据意识核心素养的具体变现，我们回望谢弘晔老师和董景勋老师的《折线统计图》一课，素养真正落地了吗？这可能是当下乃至今后很长一段时间，我们观课、评课的主要切入点。因为，2022年版课标的颁布和实施，要求我们在教学设计与实践时，必须关注两件事情，一是设计之初的目标定位是否素养导向，二是每个教学环节的推进与实施能否保证素养落地，如果最终不能保证核心素养的落地，一切都是一场空。

这里再明确三个基本认知，一是数学核心素养的达成，一定要靠每节课去落实；二是每个知识点和每个核心素养之间并不是简单的一一对应关系；三是每节课不一定只落实一个数学核心素养，但一定有主要的核心素养目标。很显然，《折线统计图》一课，主要达成的数学核心素养应是数据意识。

谢老师和董老师对《折线统计图》一课的教学思考与实践，紧跟时代研究的热点。谢老师做了学情的实证调研，然后基于学生真实学情，以单元整合的方式开展教学，单式和复式折线统计图一节课上完。董老师也同样充分基于学情，采用教学评一致的方式组织教学，值得肯定。当然，两位教师的教学也存在许多需要改进的地方，但从数学核心素养落地的视角，两位教师每人至少有两处值得借鉴。

先看谢老师的教学片断。

【片断一】

师：学校每月都会举行踢毽子比赛。经过层层选拔，班级中有两位学生（小李和小胖）踢毽子比较好，如果每班选一人参加，你推荐哪位同学代表班级去参赛呢？

生：小胖去，重心比较稳。

生：小李去，小胖太胖了。

生：不能光看外貌，这样不靠谱，要看他们的实力。

师：你们想调查什么？

生：让他们当场踢一下，谁踢得多谁去。

生：一次有偶然性，要连续几天测试。

师：你们和老师想的一样，我们要用数据来说话。

课伊始，谢老师就创设了情境，意在让学生养成依据数据作出判断的习惯，也就是养成用数据说话的习惯，这就是数据意识。当然，有教师可能会质疑，这并非本节课专属。没错！整个统计与概率部分教学的每节课都要落实用数据说话的习惯，《折线统计图（含复式）》一课自然也不能例外。

【片断二】

师：我们用统计表、条形统计图、折线统计图等形式整理了数据，也经过了一定的分析，现在你认为派谁去合适呢？（出示条形统计图和折线统计图）说说你是依据哪幅图得到的。

生：派小胖去，从复式折线统计图中可以看到小胖的成绩一直往上。

师：你预测一下，下一次小胖可能会踢几个？

生：100 个或102 个，后一次总比前一次要多踢2 个或4 个。

师：你是从前面的数据推理得到的，有不同的想法吗？

生：我觉得不一定，下一次小胖也可能失误了，可能比第一次踢得还要少。

师：有这种可能，但从总体趋势上看，增长的可能性比较大。

生：从复式条形统计图中看应该派小李去，看最好成绩，万一小李发挥出最佳水平呢？

师：是的，以前从条形统计图中能看出数量的多少，现在我们认识了折线统计图，不但能看出数量的多少，还能看出数量的变化情况。有了数据，我们就有了抉择和推测的依据，虽然最终没能统一意见，但经历了这样的统计过程，你一定有所收获，谈谈你们的收获吧。

生：要通过数据来分析问题。

生：折线统计图更能反应一组数据变化的趋势。

生：数据只能推测，但不是肯定的，可能会出现意外。

师：是的，一般来说，数据越多，我们的预测越合理。

此环节，不仅让学生知道同一组数据可以用不同方式表达，更重要的是，直指数据意识的本质。数据意识是指对数据的意义和随机性的感悟。很显然，谢老师的情境创设意在让学生体会数据的意义，即没有数据不便或无法作出判断。但仅仅依靠数据，也并非可以作出完全肯定的判断，还要考虑到数据的随机性。上述问题，最终作出何种选择，还取决于决策者当时的心态、取向等综合因素。一句话，作出判断时，没有数据不理性，但如果只依靠数据作出判断，也容易被“误导”，数据越多，判断越准确。当数据越多时，一个概念呼之欲出，那就是大数据。如果能感知大数据时代数据分析的重要性，养成重证据、讲道理的科学态度，其实，课的立意就已经到了初中阶段数据观念的层面。

再看董老师的教学片断。

【片断一】

A 品牌家电1～4月份共计销售560 台，B 品牌家电1～4月份共计销售600 台。如果你是销售主管，接下来会怎么进货？观察A与B 品牌折线统计图，又有什么新想法？

生1：我原来选的B，因为它总数卖得多，但是我现在选择A。因为通过观察折线统计图，A 数量一直在上升，而B 一直在下降。

生2：我选择A，A 是越来越多，B 是越来越少。

师：两位同学不约而同都依据什么作出判断？

生：都是销售的变化情况。

师：我们原来是根据总数作出判断，也可以根据平均数作出判断。今天我们掌握了一种解决问题的新角度，是什么？

生：根据数量的增减变化作出决策和判断。

此环节的意图不仅仅是作者在课前思考中提到的：相比条形统计图，表面是从“数量多少”到“数量变化趋势”，学会数据进行分析、预测和推断。实质是需要一个新的思考方式：从“确定”到“不确定”解决问题。还有另外一层深意，那就是在依据数据作出判断时，正如2011年版课标所言，在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，而后再通过分析作出判断。这里面牵涉到一个问题，就是收集的数据是最原始的，还是经过整理的。显然，A、B 两个品牌的家电4个月各销售560 台和600 台，是经过计算后的数据。如果仅仅依据这两个数据就作出下个月的进货计划，不是不可以，但当把数据细化后，则是另一种完全不同的选择。从另一个侧面，让学生感悟到，数据越多，判断可能越准确。

【片断二】

生1：虽然她们的身高具体数值不同，但15～18 岁变化趋势却比较一致，增长的幅度都不大，由此可以预测小婷到18 岁很可能只比15 岁时增长2 厘米左右，即她18 岁的身高在170 厘米左右。

生2：只有三个女生的数据是否太少了，不说明一般情况，还可以收集更多的数据。（出示女生平均身高统计图，略）

最后出示人类身高变化趋势图。

此环节很好地落实了2022年版课标中关于数据意识素养的一个内涵：知道同样的事情每次收集到的数据可能不同，而只要有足够的数据就可能从中发现规律。同一年龄段女生身高是同一件事，但每个人的身高数据不一样，可是当人数足够多时，身高数据就会呈现规律性。

行文至此，也许有教师会疑惑，之前看《折线统计图》一课，更多关注的是教师有没有引导学生明白折线统计图的特点和属性，与条形统计图的区别和联系，以及学会选择何时选用折线统计图合适等。作为数据表达的方式之一，这些当然还是要关注，但教学的立意不能仅仅停留在知识和技能层面，要“四基”统整，数学核心素养才能最终达成。

上述观点只是笔者个人拙见，是否妥当，敬请各位方家指教！