从“知识获得”到“思维生长”
——以“商不变性质”的实证测评与教学改进为例

文|田小勤

一、研究缘由

2021 学年第一学期的区域四年级数学期末测试，编制了试题“400÷1①800÷22”，其命题意图是“商不变性质”的应用，即被除数和除数同时乘2，商不变，从而判断○里应填“=”。测评数据出乎意料，此题得分率仅为70.8%，明显低于命题的难度预估。为了寻找其中缘由，以便更及时地进行教学改进，于是，在2021 学年第二学期期初就选择四年级8 个班学生，组织了再次测评与分析。测评内容是①300÷1②150÷6，②50÷20○150÷60，③18÷8○9÷4。测试要求是“在○里填上＞、<或=，并说明理由（可以用计算、画图、文字等方式）”，测试强调了“说明理由”，试图发现学生的思维过程，诊断学生的思维水平，以便探索更合理的学习路径，促进学生的思维成长。

二、测评分析

1.基本测评数据

三道测试题的正确率分别是96%、37.6%、41%，主要思考方法有“先求商再比较”和“应用商不变性质”。

2.主要问题分析

三道题的正确率存在明显差异，主要原因如下：第②题50÷20○150÷60 和第③题18÷8○9÷4，两边算式的计算结果都有余数，它们的余数不同，大部分学生就根据余数“10<30”来判断填写“<”，从而导致较高的错误率。而第①题300÷1②150÷6，两个除法算式都是整除，无论是通过计算还是应用“商不变性质”，两边大小都相等，因此正确率较高。

上述分析表明：一是学生尚未形成主动观察数据特点选择合适运算方法的意识，表明数学核心素养之“运算能力”还有待提升。二是学生对“商不变性质”的理解停留在表面浅层，更多是形式化的模仿应用，缺少本质理解与深入研究。

3.思维水平诊断

（1）单点结构层次的思维水平

第一个作品——能用“列竖式计算”的方法，但不理解“余数”对结果的影响。无理由的忽略余数，填写“=”只是一个巧合。

第二个作品——通过计算有余数除法，发现商不变，余数不同，就根据余数的大小判断，没有进一步思考余数与运算结果的关联。

（2）多点结构层次的思维水平

第三个作品——访谈可知，学生可以确定两边相等，但用一般的有余数除法却不能说清楚，就换一种计算方法，应用五年级的小数除法来说明相等关系。

第四个作品——学生能观察两边算式的数据、分析被除数和除数都是“乘2”，由此判断符合商不变性质，并作出判断。

第五个作品——学生先通过两种计算，得到不同的判断结果，用小数表征是“=”，有余数除法计算是“<”；然后又考虑了商不变性质，得到的是“=”。因为三种方法无法相互支撑，又没能力解释其中的冲突，学生只能写出两个矛盾的答案。

（3）关联结构层次的思维水平

第六个作品——通过计算，发现两边结果看起来不相同，但进一步思考“余数”的意义，迁移平均分物的经验，“余下来的2 个平均分给8 人”和“余下来的1 个平均分给4 人”，其结果是相同的。

第七个作品——从算式大小比较，能联系其运算意义，借助线段图直观表征两幅图之间的关联，发现每份是同样多的。

三、课堂教学改进实践与策略

1.丰富教材学习材料，生成有挑战的问题

人教版小学数学四年级教材在编排“商不变性质”时，提供的例题和所有相关的练习都是整除算式，缺少多视角理解商不变性质的本质，忽略除法算式中各部分之间的关联，缺少认知的冲突与释疑，缺失了高阶思维的发展。

重新设计学习材料可以有三方面转变：一是从单纯的算式计算到真实问题解决。在研究中可创设一组有结构的问题解决，可以是“平均分物，谁多谁少”的问题，可以是“比较单价的购物问题”等等，既体现研究“商不变性质”的实际意义，又能借助实际情境理解商不变性质的合理性。二是在情境中有意识地设计包括整除和不能整除的数据，使形成的研究材料类型多元，利于引发强烈的问题冲突，激起对数学的好奇心和深入研究的求知欲。三是从教师（教材）提供到学生自主编制，这比较适用于学生已知“商不变性质”这样的学习起点，放手让学生自己寻找材料进行证明与阐释。

2.聚焦真问题的研究，促进深度思考

学生面对如“18÷8○9÷4”，通过计算发现余数有大有小，通过应用商不变性质发现两个算式相等，结论不同，但似乎又各自合理，学生陷入了“思维困境”！这样的时刻正好是发展高阶思维的契机，学生可能质疑审辩，追问“在有余数除法里，商不变性质还成立吗”；可能有迁移应用，提出“如果把余下来的继续平均分，结果会相同吗”；可能有方式创新，回归知识原点，从运算意义的视角给予直观表征……

面对学生思维困境，教师不急着评价对错，不急着提供答案，也不急着提问暗示。鼓励学生采用“画画图、结合生活实例想一想、举个例子试一试”等基本数学思维方法。跟进课堂实践发现：有学生借助生活“分月饼”情境，把18 个月饼平均分给8 人，每人2个，还剩2 个，把剩下的2 个再平均分给8 人，每人分到个；把9个月饼平均分给4 人，每人也是2个和个，两者同样多；也有学生自觉结合购物情境，通过人民币单位换算，合情合理阐述两边相等的道理。随着学习交流的推进，逐渐达成共识，即无论是整除还是不整除的算式，商不变性质都是成立的。

3.着眼问题解决全过程，提升思维品质

数学核心素养的基本内涵是发展学生思维，如类比、抽象、概括、转化、归纳、推理等数学思维。如研究“18÷8○9÷4”，在计算前学生能否先观察算式数据，思考有没有更快捷合理的方法。当发现两种方法的结果存在矛盾时，能否大胆质疑，提出“有余数除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数，结果变了吗”极具思维含量的问题。当研究商不变性质后，会不会主动反思“我们是怎样研究的、遭遇到什么疑惑以及解决的策略”，便于形成“发现规律—验证规律—提炼规律—质疑规律—解释规律—应用规律”的研究路径。在验证规律时，是否形成“要尽力举出不同类的例子，并试图去寻找反例，以便得到更确切、更具一般性的结论”的活动经验。当研究商不变性质后，会不会类比推理“是否存在差（和）不变性质”，并在课外进行自主探索，形成学习报告。在后续学习“分数基本性质”“比的基本性质”时会不会自主迁移相关的研究路径与方法……

总之，基于核心素养的教学，教师应抓住知识本质，创设合适的学习情境，促使学生积极地进行思考，逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理，从而提升思维品质。