数学可以画吗
——兼论“数学画”教学的方法论依据和目标导向

文|陈 昱（特级教师） 何玉聪

“数学画”教学研究项目自2014 年由安徽省合肥市陈昱名师工作室作为研究主题正式推进以来，不断发展精进，也遇到并逐步解决了诸多问题，其中比较普遍的质疑是：数学是很抽象的，可以画吗？本文试图从“数学画”教学的方法论依据和目标导向两个层面来回答这个问题。

一、数形结合思想是“数学画”教学的方法论依据

数学是研究数量关系和空间形式的科学，具有高度的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性；由皮亚杰认知发展阶段理论可知，小学生受其年龄和认知发展水平的限制，抽象思维和逻辑思维能力尚在发展中，比较薄弱，常常在学习数学时遇到困难。即小学数学教学存在一对主要矛盾：一方面是小学生薄弱的抽象、逻辑思维能力，另一方面是数学学科高度的抽象性和逻辑的严谨性。因此，小学数学教学面临着一个无法回避的核心问题：怎样引导小学生学好数学？

经过长期的实践探索，我们找到的解决路径是回到数学的研究对象，研究“数”和“形”的相互关系，利用数形结合的思想方法，引导小学生用直观之“形”表征抽象之“数”，或用精微之“数”阐明简达之“形”，从而帮助他们理解数学概念、解决数学问题、发展数学思维等，实现由“数学画”到“数学化”的自然而有效的过渡，让小学生在数学学习中发展数学核心素养。

数学有两个最古老、最基本的研究对象：数与形。在一定条件下，数与形能够互相转化，数形结合思想就是利用数与形之间这种对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。它的应用一般有两种情况：一种是借助数的程序性、可操作性和精确性来阐释形的一些性质；一种是借助形的几何直观性来阐释一些概念或数之间的某种关系。即数形结合包括两个方面：“以数解形”和“以形助数”，数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”。在小学数学所有领域的学习中，数形结合思想都有着十分广泛的应用，主要涉及：利用“形”的直观性作为工具辅助小学生理解并掌握知识和解决问题，运用代数或算术方法解决几何问题、几何概念模型和统计图表，在小学渗透数轴和平面直角坐标系等。

数形结合思想从方法论角度为“数学画”教学提供理论依据，并突出画数学的理论支撑更多源于数学学科本质，并非数学与美术的融合，虽然“数学画”教学也有跨学科融合。“数学画”教学通过“画概念”“画计算”“画思路”“画结构”“画绘本”五种课型的教学研究将数形结合思想应用到小学数学概念教学、计算教学、问题解决教学、复习或预习教学、综合实践教学等多领域，并在大单元整体教学视角下分课型梳理出教学策略。

当然，“数学画”教学也会应用到数学多元表征理论，即：运用两种或以上的不同的表现形式对某一数学研究对象进行言语视觉化呈现；“数学画”教学也会涉及图示法，比如有学者认为图示法是利用几何的点、线、面、体，不同色彩等要素将所研究对象的内部特征、体系结构、相互关系、对比情况等方面的内容，绘制成清晰明了、通俗易懂的图形，用来说明所要研究对象的量与量之间的对比关系的一种方法。如果我们仔细思考，可以发现，数学多元表征是从认知心理学角度、图示法是从教学法角度来分析的。笔者以为，正因为数学具有这样的数形结合思想，所以数学教学才可以广泛应用以图像表征为主的多元表征和图示法。总之，数形结合思想是“数学可以画”的根本原因，也是“数学画”教学的方法论依据。

二、数学育人是“数学画”教学的目标导向

立德树人是教育的根本任务，以数学育人则是小学数学教学的不懈追求，必然指向小学生数学核心素养的培育。“数学画”教学主要依靠学科内部的数形关系，也高度重视数学学科特征之一即广泛的应用性，注重沟通数学与生活的联系，以“画数学”为主要载体，聚焦小学生数学核心素养培育，分课型、分阶段地探索“数学画”教学的有效途径与策略。

有了如上数学育人的目标导向，针对“抽象的数学能画吗？”这个问题，“数学画”教学目前做得最多的一件事是“以形象表征抽象”。

（一）“以形象表征抽象”的重要性

数学知识因其抽象性而不易理解，数学思维因其内隐性而不易把握，因此表征数学在数学学习中就显得尤为重要，基于表征数学进而理解数学。可以说，没有对数学的表征，就没有数学学习。

关于表征，有两种情况：

1.布鲁纳的表征模式

布鲁纳认为儿童思维活动依赖外在刺激，且刺激的程度决定着儿童的心智成长。他用动作的、图像的和符号的不同表征代表思维活动的三种程度，儿童以线性方式来获得数学概念，他们顺着动作表征发展到图像表征，最终上升为抽象思考。处于动作表征阶段的儿童思维需要借助实物的具体操作来完成；图像表征是当具体的实物消失后，儿童能够根据具体实物的影像在其头脑里制作心像来进行的内在思维活动；能抽象思考的儿童则可以对数学符号直接进行思维操作。

此类表征模式强调学生的认知水平及与之相配套的数学学习的心理过程。例如，二年级学生学习两位数加两位数进位加法时，对于笔算算法的掌握和算理的理解，不是一开始就面对竖式，而是先摆小棒、拨珠子等学具操作，属于动作表征；再画图记录这样的操作，一般是教师利用板书或课件动态完成，化动为静，类似于图像表征，辅助理解操作；最后用竖式记录计算的过程，图式对应引导学生理解竖式笔算，辅助学生进入符号表征，完成知识内化；还可以由学生画图来探究或表征算理（见图1、2）。在这个过程中，画图是动手操作与数学符号之间的桥梁，有助于学生的数学学习，也就是从“数学画”到“数学化”。

图1

图2

这种情况下，“以形象表征抽象”更多是“经形象到达抽象”。

2.莱什的表征模式

莱什修正了布鲁纳表征发展的线性方式，认为不同表征是平面网状式的互动发展，数学学习有实际情境、图像、操作、口语符号、文字符号等五种表征，提出在数学学习上可以用加强广度来提升深度（如图3）。

图3

这种表征模式特别强调表征形式的多元并存和相互转换。类似于上文提到的“数学多元表征”，更多是从数学理解的视角来看，不承认不同表征形式之间存在思维水平上的差异，认为每一种表征形式都可以反映不同的思维水平，它们具有同等价值。比如《负数的认识》这节课，就体现了莱什表征模式“强调各种表征之内和表征之间的转换”的特点。课堂上，学生说一说生活中的负数及其意义，再动作演示（向左走若为正、向右走则为负等）负数的意义，画图表示负数，写一写负数……不同表征之间灵活切换；其中画图是重点活动，同样的数“-3”，不同学生呈现不同的画法（如图4），图像表征之内相互转换。画图在此是多元表征中的一元，为学生的数学学习提供脚手架，助其思维外显，从而使学习真实发生。

图4

这种情况下，“以形象表征抽象”其实是“用形象理解抽象”。

（二）“以形象表征抽象”的可行性

数学教学的目标指向数学育人，指向培育数学核心素养。怎样通过“数学画”教学培育小学生的数学核心素养？一言以蔽之，还是“以形象表征抽象”。小学阶段，常常需要从“形象”入手，经“形象”过渡到“抽象”，不仅达到数学化目的，还会超越“抽象”，达成“育人”目标。主要有以下几点做法。

1.以“形象”顺应儿童心理

小学生处于以形象思维为主、由形象思维渐渐发展到抽象逻辑思维的阶段，“数学画”活动与小学生喜欢“形象”的天性吻合，可以很好地激发和保持小学生数学学习的兴趣。随着年级的升高，“数学画”活动的内容、形式和教学策略也会相应变化，简单说，低年级聚焦“怎么画”问题，重在画法指导；中年级围绕“怎么想”问题，偏向思维提升；高年级紧扣“怎么创”问题，侧重创新能力培养。纵观小学六年的“数学画”学习，“画图”“思维”“创新”三个要素贯穿始终，只是不同学段侧重点不一样，在教学中教师需要明确“画图”只是一种手段，比“画图”更重要的是“思维”和“创新”，后者才是目的，是小学阶段着重培育的数学核心素养。

2.以“形象”放慢学习过程

“画数学”引导学生经历知识形成或问题解决的过程，强调学生的学习参与是一种“再创造”和“做数学”，必然需要更多的时间。当我们从小学数学教学的整体视角审视“数学画”教学，既需要坚持设计和实施放慢学习过程的“数学画”活动，又需要合理规划统筹安排“数学画”活动的教学植入。概括地说，我们需要根据数学育人的目标要求，整体地、科学地设计“数学画”教学，在这个意义上，“数学画”学材的编著与使用应运而生。目前，学材2.0 版已经投入使用，以人教版数学教科书单元编写体系为纲，植入相应的“数学画”活动，整体规划、全册配套、螺旋设计，并在实施中不断修订。“数学画”学材着力保障课程实施的有效性，也确保在必要的时候放慢过程，以实现小学生数学核心素养的培育。

3.以“形象”整合多元表征

就“画图”本身而言，也可以培养学生的画图素养：主动画图、善于画图和不惟画图。在这个意义上说，画图既是手段也是目的。主动画图是学生最终拥有画图辅助学习的自觉性、主动性；善于画图指学生具备画图的能力，想画图时就能画合适的图；不惟画图则是指不能囿于画图这一种策略和能力。

“画图”本身既有作为名词的“图画”意，也有作为动词的“画图”意，所以“画数学”是图画表征和动作表征的合一；不惟画图意味着多元表征、多样方法、多维能力中不仅仅强调画图（图像）这一元、一样、一维，而是等量齐观，具体问题各有侧重，合适就好；不惟画图也意味着“数学画”的画图从来不是孤立的，“数学画”以画图为主要表征手段，融合其他表征形式，构建多链接、多维度的网状学习场域，最终指向育人目标。比如，五年级有一节《图形变变变》的专题练习课，从长方形活动框引入，经历“拉一拉、画一画、说一说、想一想、做一做、比一比”等多个关联活动，既有学具操作、画图、测量、言语交流、符号记录等多元表征，又有围绕画图的“数学画+”活动，比如基于画图的多次说图、评图活动。

从数学核心素养培育角度看，抛开针对“数学画”作品的多样活动不说，单就画作本身而言，其所能承载的教育价值也是多方面的。比如图5 是一幅“画思路”的学生作品，不难看出其包含着如下核心素养的养成：数感，情境中数的理解、数量关系的直观感悟和简洁表达；量感，对线段长度的直观感知；符号意识，运用符号表达和分析数量关系；运算能力，选择合理简洁的运算策略解决问题；几何直观，沟通数形联系，建立数学问题的直观模型，利用图形来表达和分析现实情境与数学问题，探索问题解决思路；推理意识，从已知条件出发，通过简单的归纳或者类比，猜想或者发现初步的结论……

图5

如何让小学生学习抽象的数学？比如，如何让他们理解点、线、面等抽象概念？笔者以为最好的方法不是让学生直接讨论“点无大小、线无粗细、面无厚薄”，那样只会适得其反，越说越糊涂；我们的做法是，用形象表征抽象，用有限表征无限，在学生认知能力范围内增进理解、促进成长，在画数学中学数学，以数学育人。我们的实践表明，数学是能够画的，也是应该画的。