在解读与表征中明晰概念
——《加减法的意义和各部分间的关系》素养进阶习题展评和教学建议

文|丁玉成 傅娇玲

一、习题展评

●习题一

1.习题内容

选择两条信息，提出加法问题并列式计算，看看你能提几个。

2.能力指向

在丰富的现实情境中识别并提取相关联的信息，提出具有合并本质的加法问题，在现实意义中感受同类量才能合并，丰富加法的内涵与外延。

3.学情分析

对城区学校40 名学生进行检测，能准确提出3 种问题并列式的学生占33.3%，2 种的占30.8%，1种的占25.6%，0 种占10.3%。每种问题准确提出的情况如表1。

表1

结合以上两份数据分析，学生在复杂情境中提取信息、提出问题的能力需要加强。如果题目形式为独立呈现两条信息提出一个加法问题，对于四年级学生来说就没有难度，正确率会大幅提升，但将多条信息置于一个关联性的情境中去有选择地提取信息，恰是最贴近生活原型的，也是数学中需要培养的核心素养。

从3 个问题所呈现的不同正确率，可以看出学生对于反向思考的求“原来是多少”的加法问题最有困难，这与人们习惯以事情发展顺序思考问题有关。学生错误的类型主要有两个，一是提出了减法问题；二是将不同类量进行合并，如“甘蔗和苹果一共多少？”教师应设计多种形式的加法问题，使学生接触各种类型加法模型，理解同类量合并的意义，理清加法内涵，丰富加法概念的外延。

●习题二

1.习题内容

（1）下面问题能用下图表示的是（）。

①池塘里原有5 只鸭子，又游来了3 只，现在有几只鸭子？

②爷爷收藏了一个价值5 万元的古董，预计十年后能增值3万元，十年后这个古董价值多少万元？

③丁丁被同学借走了5 本科幻书，家里还剩3 本，丁丁原来有多少本科幻书？

④湖中有5 只天鹅，其中3只是白天鹅，黑天鹅有多少只？

A.①②③ B.①②④

C.①②D.①②③④

（2）已知▲-●=■，那么下列算式错误的是（）。

A.▲-■=● B.●+■=▲

C.▲+■=● D.●+■+▲=2 个▲

2.能力指向

第（1）题指向加法意义理解，通过对实际问题与图示的解读，抽象出加法的合并模型。第（2）题巩固加减法之间的关系。

3.学情分析

第（1）小题正确率82%。错误选项集中在C，即个别学生没有识别③号的加法原型。第（2）小题正确率92.5%，可见学生能从数字灵活迁移运用到字母、图形等各类形式，对单纯判断加减法各部分间的关系掌握较好。

●习题三

1.习题内容

（1）一根竹竿插入池塘，露出水面部分103cm，水底泥中部分长42cm，水中部分长247cm，这根竹竿长多少？（先画一画图，标注信息和问题，再计算）

（2）小马虎在做一道减法题时把减数72 错写成了27，这时得到的差是280，正确的差应该是多少？（请列式求出正确的差并介绍你的想法）

2.能力指向

拓展加法含义，将两部分合并拓展到三部分，在实例中进一步感受加法的本质。理清加减法算式各部分之间的关系，通过描述想法来发展推理能力。

3.学情分析

第（1）题：本题32 人列式正确，占82.5%，有3 人计算出错，4 人将水底泥中部分理解为水中部分。

分析中发现有40%多的学生在图中没有标注问题，平时画线段图也存在这样的现象，需要从简单的实际问题开始加强信息与问题的结构认识，正确表征信息和问题可以帮助学生清楚地分析数量关系，为后续解决复杂的问题提供帮助。（见表2）

表2

第（2）题：能准确求出正确差的学生占到了92%以上（见表3），可见对于四年级的学生来说加减法之间的互逆关系能够灵活推算、准确运用。能把想法推理介绍清楚的学生不到一半，反映出“重运用，轻表达”的教学现状，学生在语言表达、数学推理方面存在短板，因此教学中要注重从因到果一步步严谨的推理表述，在分析中巩固对概念的理解与运用。

表3

二、教学建议

1.构建多元加法类型，厘清内涵与外延

数学中的加法问题常常伴有一定的数学特征，如“一共”便是数学中加法的代言词，教材与配套练习中反复出现的类似情境也成为了加法的熟面孔。生活中存在很多加法问题，有并列的部分量合并、原部分与增加部分的合并、消耗部分与剩余部分的合并等，从本质上看都是同类量的合并。教师需要提供现实复杂的生活情境，去构建多元的加法类型。如第1 题创设了水果店外卖的情境，让学生在多条信息中提取出相关联的信息提出数学问题，三个问题的类型不同，如果是独立的三道题，相信对学生来说没有难度，但是糅合成一道需要自主提取信息并提出问题的类型，干扰因素掺杂其中，难度大大提升，学生要能从复杂的信息中甄别、精选、提问，这是提取加法结构的过程，也是解决问题的过程，是最应培养的问题解决能力。又如第2题的第（1）小题，每个选项都是不同类型的加法问题，在与图示模型的比对中厘清加法概念的内涵与外延。

2.提供多维表现形式，促加法原型理解

对加法合并原型的充分理解可以借助多维的表现形式，丰富情境、生活用语、不同图示等都能使加法意义变得灵动、立体。情境的创设要从单一的数学描述型向贴近学生生活实际的问题进行转变；对于诸如原部分与增加部分的合并问题，不仅仅限于“又多了”“增加了”，还要将增加的词语进行拓展，把加量、超额、提价等学生较为陌生的生活用语进行设计；图示的丰富性也可以从实物图、点子图、条子图、线段图、表格法等进行突破。通过多维表现形式的突破，促进学生对加法原型的理解。

3.创设多样表征舞台，诠释意义与关系

从对习题分析中发现学生对列式不存在困难，但对各种形式的加减法意义的表征却有所缺失，教师应帮助学生创设多样的表征舞台，让他们有机会对理解进行诠释，促进对加减法意义与相互间关系的理解。如第3 题的两小题给学生提供了表达的机会，有将近一半的学生能够将自己的理解精彩演绎，但也有部分学生表现出表达的弱势。用线段图表征插入水中竹竿的长度能使学生更好地理解三部分合并的加法本质，用横向线段图表征具有通用性，用竖直线段图则对于本题来说更为直观。错中求解题通过图示、语言描述等形式，能将潜意识中存在的加减法关系进行实质性地表述，虽然加大了难度，但却能更深刻地理解加减法的互逆关系。