“基础性”考查要求的教学启示
——2023 年高考新课标Ⅱ卷第20 题评析

安徽省濉溪县第二中学(235100)陈勇 祝峰

“基础性”是高考数学学科的考查要求之一,与“综合性、应用性、创新性、”共为“一核四层四翼”中的“四翼”.突出数学的基础性、通用性和工具性,提升学生的数学素养,是数学高考的总体考查要求.由于基础知识的理解、基本能力的发展、基本态度和价值观的养成,共同构筑了学生进一步学习及未来发展的基础,所以“基础性”是数学科高考最核心的考查要求.下文以2023 年高考新课标Ⅱ卷第20 题为例,体会试题从强化学科共同基础,加强基础知识、基本能力的考核;加强核心概念的考查;加强科学方法的考查;三个侧面彰显“基础性”考查要求.以便更准确感悟新课标、新教材、新高考背景下高中数学课程的基本理念.并以此为契机,进一步理解考试评价改革、高中育人方式改革的相关要求.以期形成正确的教学理念,规范教学行为,严格依标施教,助推高中数学育人方式改革的深入开展.

1 试题及评析

题目(2023 年高考新课标Ⅱ卷第20 题) 在三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E为线段BC的中点.

(1)证明:BC⊥AD;

(2)点F满足求二面角D-AB-F的正弦值.

试题背景熟悉,题设简洁,亲切自然.围绕空间元素位置关系、空间几何量,两立体几何主线内容设置.问题围绕立体几何的内容本质,注重“四基”考查,聚焦通性通法,淡化解题技巧.

图1

立体几何是高中数学的基本组成部分,必修与选择性必修课程均有设置.必修课程中,“立体几何初步”位于主题三,几何与代数.要求学生能够通过直观图理解空间图形,掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征,解决简单的实际问题.能够运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果.能够证明简单的几何命题(平行、垂直的性质定理),并会简单应用.选择性必修课程中,“空间向量与立体几何”位于主题二,几何与代数.要求学生能够理解空间向量的概念、运算、背景和作用;能够依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力;掌握空间向量基本定理,体会其作用,并能简单应用;能够运用空间向量解决一些简单的实际问题,体会用向量解决一类问题的思路.重点发展学生的直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养.

这道试题严格依据学业质量标准和课程内容,注重对学生数学学科核心素养的考查.问题以学生熟悉的三棱锥为背景,D点发出的三条棱长相等,两两夹角已知,确定了该几何体的基本特征.这一特征为“综合几何法”及“向量法”解决问题均提供了诸多可能.

试题从加强主干知识、思想方法、关键能力考查三方面体现“基础性”考查要求.首先,第(1)问证明线线垂直、第(2)问求二面角,分别围绕“空间元素位置关系的判定”、“空间量的求解”两主干知识设置.要求学生整体把握问题本质,深入理解相关概念,充分应用知识蕴含的方法思想解决问题.通过对主干知识的深入考查,实现“基础性”考查要求.其次,以二面角求解为例,问题求解视角多维,可“综合几何法”,也可“向量几何法”,亦可两种方法综合,且每类方法又有着不同的思维方式.以问题的灵活性,考查学生对数学思想方法认识的深刻性,通过思想方法考查,实现“基础性”考查要求.

最后,关键能力方面,这道试题在新颖且较为复杂的情境中展开,考查学生在面对综合性较强的问题时,是否具有一定的探究能力和创新精神.通过对空间想象、逻辑推理和运算求解等关键能力的考查,达成试题“基础性”的考查要求.

2 探究

首先考虑第(1)问线线垂直的证明.

证法一(综合几何法) 图2 所示,连AE,DE.DB=DC,E为BC中点,所以BC⊥DE.又DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,所以所以AB=AC,E为BC中点,故BC⊥AE.所以BC⊥平面ADE,故BC⊥AD.

图2

评述空间基本元素的垂直关系包括线线、线面以及面面垂直．三种垂直关系可以相互转化,有着内在联系,如图3所示.要证明线线垂直,结合题设,由线线垂直:BC⊥DE、BC⊥AE,得线面垂直BC⊥平面ADE,进而获得线线垂直:BC⊥AD.

图3

证法二(基底法)所以

注意到,DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,所以所以故BC⊥AD.

评析三向量不共面、两两夹角已知、模相等.基于这三点,以为基底,借助向量运算来解决问题.空间向量基本定理是基底法、基底思想的依据,必需真正理解空间向量基本定理的“基本性”才能很好地领悟这种思想和方法.教学中应引导学生体会,三个线性无关的向量可以生成一个向量空间,虽然空间向量是无穷的,但它们都可以表示为三个不共面向量为基底的线性组合,这是空间向量运算化归为数的运算的基础.

以下考虑第(2)问的解法.

解法一(建系,坐标运算)不妨设DA=DB=DC=2.BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°所以AC=AB=2.可得所以EA⊥ED,结合(1)得EA⊥ED⊥EB.基于此,以E为原点,EA、EB、ED所在直线为坐标轴,建立图4 所示空间直角坐标系.

图4

令x=1,得n1=(1,1,1).同理,平面ABF的法向量n2=(0,1,1).则所以二面角D-AB-F的正弦值为

评析空间向量的直角坐标运算,是单位正交基底下,基底法的特例.直角坐标运算下,空间距离、角的求解变的“简单化”、“程序化”.实际教学中存在着“向量法会削弱空间想象力发展”的观点,这是对向量法理解的一种偏见.完整的向量法是:先用几何的眼光观察,分析清楚几何图形的基本元素、基本位置关系,然后再选择适当的基底,进一步利用基底表示出相应的几何元素和基本关系,然后再进行运算.“用几何的眼光观察”是向量法的前提,需要空间想象、几何直观能力.发现EA⊥ED⊥EB,是建立空间直角坐标系的关键,也是问题解决的难点所在.

解法二(基底法,向量运算)图5 所示,不妨设DA=DB=DC=2,c.则a·b=a·c=2,b·c=0.取AB中点G,则题设易知

图5

图6

评析基底思想下,回到二面角概念,在两半平面内,分别求作与二面角棱AB垂直的两个向量借助向量的自由性,结合二面角平面角的概念,把二面角问题转化为两向量夹角问题.与坐标法比较,这样求解能够清晰判断向量夹角与二面角之间的关系.

解法三(转换为两个二面角) 不妨设DA=DB=DC=2.解法一知DE⊥面ABC,所以DE//AF,所以AF⊥面ABC,所以平面ABF⊥平面ABC,即二面角C-AB-F为直二面角.记二面角D-AB-F为α,二面角D-AB-C为β,则所以取AB中点G,连DG、EG.易证DG⊥AB,EG⊥AB,所以∠DGE=β.在所以即二面角D-AB-F的正弦值为

注记二面角D-AB-C的余弦值也可以直接用ΔEAB与ΔDAB的面积比直接求解,即

此法即一般意义上所谓的“射影法”求二面角,本质上是二面角概念的应用.

评析二面角D-AB-F是钝二面角,原几何体中求作二面角平面角有一定困难,若将其视为直二面角C-AB-F与锐二面角D-AB-C之和,此时只需解决锐二面角D-AB-C的余弦值即可.锐二面角D-AB-C在一个特殊三棱锥中,利用定义,可得其二面角在一个直角三角形中.

解法四(置于长方体中,利用补角求解)图7 所示,不妨将已知几何体置于底面边长为2,高为的正四棱柱中,其中G为棱的中点.注意到二面角H-AB-D与二面角D-AB-F互补.过H作DG的垂线HO,垂足为O,正四棱柱中,易知HO⊥平面ABDG.连OA,注意到HA⊥AB,所以OA⊥AB,所以RtΔHOA中,∠HOA为二面角H-AB-D的二面角.

图7

即二面角D-AB-F的正弦值为

评析典型的图形具有模型作用,在立体几何问题的解决过程中,借助长方体、正四面体、正方体背景,能够增强问题的直观性,帮助学生更好发挥空间想象能力,获得问题解决的更多思路.

3 变式

试题变式能够从不同视角揭示问题本质,防止仅停留在浅层的问题分析上.恰当的问题变式能够更好促进学生思维灵活性、系统性、深刻性、自觉性的有效发展.原问题情境下,本题可作下述变式.

变式1在三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E为线段BC的中点.

(1)证明:DE⊥AC;

(2)点F满足求直线DC与平面ABF所成角的正弦值.

变式2在三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC=2,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E为线段BC的中点,点F满足则多面体DABCF的表面积为____.

变式3在三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC=2,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E为线段BC的中点,点F满足,则多面体DABCF的体积为____.

变式4在三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E为线段BC的中点,点F满足当A,B,C,D,F五点在同一球面上时,λ=____.

变式5在三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E为线段BC的中点,点F满足则三棱锥D-ABC与F-ABC外接球的体积比为____.

变式6在三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC=2,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E为线段BC的中点,点F满足三棱锥D-ABC的外接球与BF、CF分别交于点M、N,则球面上M、N两点所对应劣弧的长度为____.

变式7(多选题)在三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC=2,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E为线段BC的中点,点F满足则()

A.平面BCD⊥平面AEF

B.平面ABF⊥ABC

C.A,B,C,D,F在同一球面上

D.二面角D-AB-F的余弦值为

4 启示

这道试题背景熟悉、问题常规,与考前模拟卷中立体几何试题的“几何体不规则”、“难以建系”、“无法上手”、“探究性问题”、“存在性问题”等形成鲜明对比.清晰阐释了高考“基础性”考查要求,给立体几何新授课及高考备考复习课带来下述明确启示:

(1)聚焦“主干知识”,防止迷失于“枝节末梢”

空间几何体结构特征、空间基本元素位置关系、空间量,是立体几何的主干知识.它们是直观想象、数学运算、逻辑推理素养发展的最有力支撑.垂直关系为例,其概念、判定、性质的产生和发展过程,有着思想的连续性、过程的探究性及方法的创造性.教学实践中,只有引导学生强化对这一主干知识的深层认知,厘清知识发生和发展的脉络,把握它们的内在关联,才能真正掌握其蕴含的核心思想方法,才能在千变万化的问题情境中自信有效地解决问题.这就要求教师要努力提高对所教内容的理解水平,提升辨别能力,对哪些重要、哪些次要,什么是根本、什么是枝节末梢,做到心中有数.只有引领学生联系基础、洞察本质,才能防止迷失于枝节末梢,才能真正落实数学课程的育人功能.

(2)倡导“概念+思想方法”,反对“题型+技巧”

概念是数学思维推进的最小单位,问题解决过程中,概念最有力量.解题教学中,教师把精力放在“题型”及其技巧总结上的现象司空见惯.误把题型作为规律、技巧视为思想方法.常又采用直接告知的方式灌输给学生,再找对应的题型加以训练.结果在全新的情境中,由于没有扎实的概念理解和思想方法支撑,技巧常常会失灵.这道试题的两问中,无论是第(1)问线线垂直的证明,还是第(2)问二面角的求解,均需回到基本概念,结合概念所蕴含的类比、转化、模型等基本思想解决问题.题型仅现于一个具体问题,技巧也仅能解决一个问题,概念及其蕴含的思想方法才能解决一类问题.教学中应引导学生深化概念的理解和应用,让学生养成从基本概念出发思考问题、解决问题的习惯;让学生明白,技巧是不可靠的,解题的灵活性来自于概念、原理的实质性联系,而非题型和技巧套用.

(3)关键能力为本,杜绝机械刷题

高考试题以能力立意、用素养导向.要求学生在面对综合性较强的问题与较为复杂的情境时,应具有必要的探究能力与创新精神,具有较好的数学素养和优秀的思维品质.DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°三个相对抽象、密切关联的条件下,学生需冷静分析问题,正确应用线线、线面、面面垂直的相关概念、性质、判定,结合直观想象、逻辑推理、数形结合等思想方法,恰当选择综合几何法或向量法来解决问题.条件的加入,使本来熟悉的三棱锥背景变得较为复杂,怎样结合二面角概念,运用科学方法分析、解决问题,与学生的思维方式及数学素养密不可分.值得关注的是,这样的能力和素养,仅靠“机械刷题”是难以达成的.以“刷”代“思”,忽视关键能力提升的“刷题”行为,过程痛苦,收效甚微,磨灭兴趣,挫败信心,与“双减”要求背道而驰.数量代替质量、难度代替能力的扭曲解题目的,是导致“刷题”现象产生的根本原因.树立夯实“四基”、学会思考、发展能力、查缺补漏、培养习惯的正确解题价值追求,是杜绝“机械刷题”行为的有效之举.