基于知识交汇的高中数学命题新视角
——圆锥曲线翻折问题

华南师范大学数学科学学院(510631)叶珊

华南师范大学附属中学(510630)陈俊阳

1 引言

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》强调提高学生综合运用知识解决问题的能力,关注数学内容主线之间的关联,理解数学各分支之间的联系,能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联,考查内容强调强调基础性、综合性[1].对此,《中国高考评价体系》要求综合性题目不仅针对学科内容,还包括情境的复杂性,要求以多项相互关联的活动组成的复杂情境作为载体,能够反映学科知识、能力内部的整合及其综合运用[2].新高考在新课标和中国高考评价体系的指引下,加强对主干知识、思想方法、关键能力的考查,注重考查内容的全面性.在突出主干、重点内容考查的同时,强调通性通法的综合应用,并通过呈现综合性较强的问题与新颖、较为复杂的情境,充分考查学生探究能力、创新精神、数学素养与思维品质[3].

为了加强教考衔接,在新高考试题的引导下,教师在日常教学中应对作业题、练习题减量提质,重视对试题的创新设计,减少套路性强、技巧性强的陈题,而应突出主干知识、重点内容考查、强调知识之间的内在联系,创设新颖、复杂的情境.

平面几何与立体几何密切相关,当今试题较多考查建立空间直角坐标系利用空间向量解决二面角问题,套路较为固定.为了充分考查学生几何问题解析化的思想,在空间直角坐标系中利用解析几何方法解决立体几何问题的能力以及关键能力与核心素养,本文创设新颖与陌生的问题情境,将平面直角坐标系中圆锥曲线进行翻折,形成立体几何图形,通过不同维度的变式探究,设计一系列的创新试题.

2 圆锥曲线翻折的创新试题设计

2.1 斜率问题

例1椭圆C:过原点O的直线交C于A,B两点,直线AB的斜率为tanα,现将坐标平面沿x轴折成一个直二面角,求AB连线与x轴所成锐角θ的正切值.

图1

解过A点作AD⊥x轴交x轴于点D,过B点作BE//x轴交椭圆于点E,连接DE.点A,E关于x轴对称,所以|AD|=|ED|,且AD,ED均垂直于x轴,坐标平面折成直二面角后,∠ADE=90°,故AD⊥BE.

由于BE//x轴,所以BE⊥DE,于是BE⊥AE.在RtΔABE中,|BE|=2|OA|cosα.

在RtΔADE和RtΔOAD中,

于是

例2椭圆C:过椭圆C的左焦点F的直线交C于A,B两点,直线AB的斜率为tanα,现将坐标平面沿x轴折成一个直二面角,求AB连线与x轴所成锐角θ的正切值.

解如图2,过A点作AD⊥x轴交x轴于点D,过B点作BE平行于x轴的直线交AD延长线于点E.AD,ED均垂直于x轴,坐标平面折成直二面角后,∠ADE=90°,故AD⊥BE.

图2

由于BE//x轴,所以BE⊥DE,于是BE⊥AE.由焦半径公式,

则

在RtΔABE中,|BE|=(|AF|+|BF|)cosα.在RtΔADE和RtΔOAD中,

于是

评析例1、例2 通过翻折平面上的椭圆,分别在AB过坐标原点与焦点的前提下,考查了椭圆焦半径公式、线面垂直、面面垂直、斜率与线面所成角等知识点.

2.2 线段问题

母题1椭圆C:P为C上一点,F1,F2分别是C的左右焦点,求ΔPF1F2的周长.

例3椭圆C:(a＞b＞0),P为C上一点,F1,F2分别是C的左右焦点,现将坐标平面沿y轴折成一个直二面角,连接PF1,PF2,求|||PF1|2±|PF2|2||的范围.

解如图3,取椭圆C的上顶点为A,以椭圆的中心O为坐标原点,分别以为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系.F1(0,0,c),F2(c,0,0),不妨设点P位于OAF2上(当点P位于OAF1上,由于对称性,结果与点P位于OAF2上相同),则P(x,y,0),x∈[0,a].

图3

图4

图5

图6

图7

故|PF1|2-|PF2|2=2cx,由于x∈[0,a],则

由于c＜a,故于是x=0 时,2a2.综上所述,

评析母题1 是在平面中,直接利用椭圆的定义求出三角形的周长,例3 通过翻折平面上的椭圆,此时直接用定义求边长已不再适用,考查了解析几何问题解决的通性通法(问题表征、代数化)以及分类讨论的基本思想.

2.3 面积问题

母题2椭圆C:F1,F2分别是C的左右焦点,过右焦点F2的直线交C于A,B两点,求ΔABF1的面积最大值.

例4椭圆C:过椭圆C的右焦点F的直线交C于A,B两点,将坐标平面沿x轴折成一个直二面角,求A,B,F三点构成的三角形面积最大值.

解由a2=b2+c2得于是由于直线AB过F点,设椭圆翻折前的直线AB为x=将其与椭圆方程联立得则

当坐标平面沿x轴折成一个直二面角后,以椭圆的中心O为坐标原点,分别以O与C的下顶点、右焦点和上顶点连线为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.

令m=t2,

当0 ≤m＜1 时,f′(m)＞0,f(m)单调递增;当m＞1 时,f′(m)＜0,f(m)单调递减,故

评析母题2 是在平面上,利用A,B两点的纵坐标之差与焦距表示三角形面积,例4 通过翻折平面上的椭圆,同样要求学生研究三角形面积的最值,不仅考查了直线与椭圆的位置关系、三角形面积公式,还有空间向量、求导等知识点,综合性较强.

2.4 体积问题

母题3椭圆C:F1,F2分别是C的左右焦点,直线l过原点,交C于A,B两点,求四边形AF1BF2的面积最大值.

例5三棱锥A-BCD中,|AB|+|AD|=|CB|+|CD|=2a,|BD|=2c,二面角A-BD-C为直二面角,求VA-BCD的最大值.

解根据椭圆的定义,可以将该三棱锥A-BCD放入沿长轴折成直二面角的椭圆上,当A,D分别在椭圆的上下顶点时,该三棱锥的体积最大.

评析母题3 在平面上,将四边形面积转化成两个三角形面积,解法与母题2 类似.例5 实质是将母题3 翻折,从平面上的四边形转变为三棱锥,要求学生研究三棱锥体积的最大值,考查了椭圆的定义、三棱锥的体积等知识点,要求学生能从立体几何情境中依条件特点分析出动点的轨迹为椭圆的一部分,将问题转化为底面三角形的高和三棱锥的高的最值问题,充分考查了转化与化归的思想,具备较强的创新性.

2.5 二面角问题

母题4三棱锥A-BCD中,AB=AC=BC=CD=AD=a,要使三棱锥A-BCD的体积最大,求二面角B-AC-D的大小.

例6椭圆C:=1(a＞b＞0),F1,F2分别为左右焦点,过C的长轴上一点的直线交C于A,B两点,将坐标平面沿x轴翻折,求三棱锥的最大值,并说明二面角A-F1F2-B的大小.

解不妨假设直线AB固定,此时为定值,当A到平面BF1F2的距离最大时,三棱锥A-BF1F2的体积最大,此时二面角A-F1F2-B为直二面角.

设直线AB过长轴于点(m,0)(-a＜m＜a),则直线AB方程为x=ty+m,将其与椭圆C的方程联立得

设A(x1,y2),B(x2,y2),有

当t=0 时等号成立.即三棱锥的最大值为且二面角A-F1F2-B为直角.

评析例6 通过翻折平面上的椭圆,呈现出翻折角度的不确定性以及直线的动态性,要求学生探究三棱锥体积的最大值,相比母题4 仅仅单一考查立体几何知识,融入椭圆后能综合考查解析几何与立体几何,问题情境新颖、复杂,充分考查学生的关键能力与核心素养,探究性与创新性较强.

2.6 双曲线问题

例7双曲线:过原点O的直线交双曲线于A,B两点,现将坐标平面沿x轴折成一个直二面角,连接A,B,当|AB|≤2c时,求平面上的直线AB的斜率的范围.

解设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx.当直线AB与双曲线有两个交点时,即将直线AB与双曲线的方程联立得(b2-a2k2)x2-a2b2=0.则

评析例7 通过翻折平面上的双曲线,将弦长范围与斜率范围进行结合,对逻辑推理、数学运算素养要求较高,综合性较强.

3 研究展望

以上从不同角度创新设计了椭圆翻折问题,从不同层次考查学生的主干知识、思想方法和关键能力.此外,读者还可以通过翻折平面上不同的几何模型,探究翻折后具备的性质,进而创新设计更多试题,充分考查学生的必备知识、关键能力与学科素养.另外,读者还可以通过对不同知识进行交汇,设计新颖、复杂问题情境,设计更多创新试题.