注重基础 提高综合实践应用能力

广东省惠州市华罗庚中学(516005) 袁东升

党的二十大报告指出,落实立德树人根本任务,培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人.新高考要能顺应形势发展的需要,加强学生综合素质的培养,进一步提高学生的学习能力和实践能力.

2023 年的高考数学,全面考查了学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算与数据分析的数学核心素养,突出了对基础知识、基本概念的深入理解与灵活掌握,注重考查学科及学科间知识的综合实践应用能力,落实中国高考评价体系中“四翼”的考查要求[1],进一步考查理性思维,充分发挥了数学学科在人才选拔中的重要作用.

一、注重基础

2023 年的高考数学试题,进一步突出了基础性的要求,强化了对基础知识的考查.学生对基础知识的理解,基本能力的发展,以及基本态度和价值观的养成,一起构成了学生未来发展,乃至终身发展的基础,这也是增强基础性的主要方向[2].

基础性,不仅包括学科内容的基本性,还包括学科内容的通用性.深化基础性就是要加强对基本概念,基本原理,基本方法的考查,引导学生重视基础,并将所学的知识内化为能力与素养[3].基础性在考查中表现为深刻理解基础知识,掌握基本技能,学会实际应用.要求考生能比较深刻地理解基本概念与基本原理,能整体把握学科研究的对象,研究内容与研究方法等[1].

高考数学试题的选择填空题部分,均设置了多个知识点,全面考查了集合、复数、平面向量、排列组合、三角函数、立体几何、直线与圆等内容,基本实现了对基础知识的全方位覆盖.

例1(2023 年高考新课标Ⅰ卷第4 题)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是()

A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞)

解析本题主要考查指数型复合函数的单调性.要求学生熟练掌握函数的基本性质,尤其是函数单调性的知识.同时,要求学生明确复合函数单调性的判断及求解方法,清楚是由哪几种函数复合而来,以及如何判断复合后函数的单调性.此外,本题还考查了二次函数的基础知识,包括函数图像的开口方向,对称轴,以及单调性.如果学生在平时注重这些基础知识的学习与掌握,解决此类题型相对还是比较轻松的.

解函数f(x)=2x(x-a)可看成是由函数y(u)=2u与函数u(x)=x(x-a) 复合而成.由于复合后的函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,而y(u)=2u在R 上单调递增,则有函数在区间(0,1)上单调递减.因此解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).故选D.

例2(2023 年高考新课标Ⅰ卷第9 题)有一组样本数据x1,x2,···,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则()

A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,···,x6的平均数

B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,···,x6的中位数

C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,···,x6的标准差

D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,···,x6的极差

解析本题考查统计抽样中样本的基本数字特征,考查学生对样本平均数,中位数,标准差,极差等概念的理解与掌握的情况,同时考查学生分析问题与解决问题的能力.本题注重试题的基础性,重在考查学生对基础概念的理解与掌握,将基础知识的考查与能力的考查有机结合在一起.

解选项A:设x2,x3,x4,x5的平均数为m,x1,x2,···,x6的平均数为n,则

因为无法确定2(x1+x6) 与x5+x2+x3+x4的大小关系,从而无法判断m,n的大小.故A 错.选项B:不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,可知x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,···,x6的中位数均为故B 正确.选项C:因为x1是最小值,x6是最大值,则x2,x3,x4,x5的波动性不大于x1,x2,···,x6的波动性,即x2,x3,x4,x5的标准差不大于x1,x2,···,x6的标准差.故C 错.选项D:不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,则x6-x1≥x5-x2,当且仅当x1=x2,x5=x6时,等号成立.故D 正确.故选BD.

例3(2023 年高考甲卷理科第17 题)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.

(1)求{an}的通项公式;

解析本题全面考查了等差数列,等比数列,通项公式,前n项和的求解等知识,都属于基础性考查.其中第一小问通过数列前n项和与通项之间的关系,求解数列的通项公式;第二小问则通过构造一个新数列,考查数列错位相减法求前n项和,重在考查学生的数学运算能力与理性思维素养.这类考查内容相对简单,非常基础,但要注意保证运算的正确性.

解(1) 因为2Sn=nan,当n=1 时,2a1=a1,即a1=0,当n=3 时,2(1+a3)=3a3,即a3=2,当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-1,所以2(Sn-Sn-1)=nan-(n-1)an-1=2an,化简得(n-2)an=(n-1)an-1,当n≥3 时,即an=n-1,当n=1,2,3 时都满足上式,所以an=n-1,n∈N*.

两式相减得

反思与策略今年是新教材、新高考、新课标背景下的第二年高考,试题中没有出现怪题,也没有出现偏题,甚至不回避老师们反复强调的“必考题”.考生感觉题型熟悉,考的基础,给人一种看似简单,但做起来却往往需要花费较多时间去计算.学生们在备考过程中应注重对基础知识的学习和理解.通过系统性学习数学的基本概念、公式和定理,建立起扎实的数学基础.同时,平时要不断加强演练,针对某类题型反复操练,提高运算能力,达到熟能生巧,保证做到在有限的时间内能快速而准确地完成试题,拿到高分,更好地应对高考数学的挑战.

二、提高综合实践应用能力

2023 年的高考数学,在注重考查基础知识的同时,彰显了综合实践应用的要求.综合性是高考中重要的考查要求.它要求考生面对复杂的问题情境时,能梳理相关的知识与原理,综合运用知识、能力和素养,去合理地解决问题[1].

高考试题常常会将学科内不同章节的知识点,甚至是跨学科的知识融合在一道题目里面,考查学生综合运用知识解决问题的能力.高考试题还可以通过创设实际的应用情境,将生活中司空见惯的现象,考生们曾经历过的事,曾参加过的比赛活动等,经简化提炼后直接作为题设的背景,需要考生根据所学的基础知识,融汇贯通地灵活运用.进一步考查考生综合实践应用的能力,考查考生思维的灵活性与创造性,考查考生在现实情境下运用数学知识分析解决实际问题的能力.

例4(2023 年高考乙卷理科第10 题) 已知等差数列{an} 的公差为,集合S={cosan|n∈N*},若S={a,b},则ab=()

解析这是一道综合题,它融合了集合、数列、三角函数等章节的知识,考查了集合的概念、等差数列的通项、三角函数的周期性等内容.考生根据所学的知识,在清楚理解题意的情况下,根据给定的等差数列,写出通项公式,再结合余弦型函数的周期及题设给定的集合S只有两个元素进行分析作答.当然也可借助数形结合的方法进行求解.

解依题易得等差数列{an}中,an=a1+(n-1)·=显然函数y=的周期为3,而n ∈N*,即cos an最多有3 个不同取值,又{cos an|n ∈N*}={a,b},则在cos a1,cos a2,cos a3中,cos a1=cos a2̸= cos a3或cos a1̸= cos a2=cos a3,于是有即有=2kπ,k ∈Z,解得k ∈Z,所以

例5(2023 年高考新课标Ⅰ卷第10 题)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级.

声源与声源的距离/M 声压级/dB燃油汽车10 60 ～90混合动力汽车10 50 ～60电动汽车10 40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则()

A.p1≥p2B.p2＞10p3C.p3=100p0D.p1≤100p2

解析本题通过对声压级的研究,全面考查对数及其运算的基础知识.根据给定的声压级公式,我们发现声压级增加20 分贝,声音强度增加到原来的10 倍.需要考生在理解题意的基础上,正确运用对数函数,对数运算法则等知识去分析解决问题.题目比较综合,进一步考查学生的综合应用能力.

解由题意可知:Lp1∈[60,90],Lp2∈[50,60],Lp3=40.选项A:可得Lp1-Lp2=因为Lp1≥Lp2,则Lp1-Lp2=即≥0,所以且p1,p2＞0,可得p1≥p2,故A 正确.选项B:可得Lp2-Lp3=因为Lp2-Lp3=Lp2-40 ≥10,则且p2,p3＞0,可得当且仅当Lp2=50 时,等号成立,故B 错误.选项C:因为可得即p3=100p0,故C 正确.选项D:由选项A 可知:Lp1-Lp2=且Lp1-Lp2≤90-50=40,则即可得且p1,p2＞0,所以p1≤100p2,故D 正确.故选ACD.

例6(2023 年高考新课标ⅠⅠ卷第12 题)在信道内传输0,1 信号,信号的传输相互独立.发送0 时,收到1 的概率为α(0 ＜α＜1),收到0 的概率为1-α;发送1 时,收到0 的概率为β(0 ＜β＜1),收到1 的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1 次,三次传输是指每个信号重复发送3 次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1)()

A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到l,0,1 的概率为(1-α)(1-β)2

B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1 概率为β(1-β)2

C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1 的概率为β(1-β)2+(1-β)3

D.当0 ＜α＜0.5 时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0 的概率大于采用单次传输方案译码为0 的概率

解析本题将现实通信中的信号传输作为情境,考查考生对独立事件、互斥事件的概率计算,考查二项分布及其应用.试题设置了传输信号0 和1 时的误码率,设计了两种传输方案:单次传输和三次传输,依次研究各种传输方式得到正确信号的概率.各个选项是在同一条件下进行的推理和计算,可以相互启发和借鉴.利用概率加法公式及乘法公式求概率,把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和,相互独立事件的积是解题的关键.试题考查考生对新概念、新知识的理解和探究能力,考查考生利用所学的数学知识解决实际问题的综合应用能力.

解选项A:依次发送1,0,1,则依次收到l,0,1 的事件是发送1 接收1、发送0 接收0、发送1 接收1 的3 个事件的积,它们相互独立,所以所求概率为(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)(1-β)2,故A 正确.选项B:三次传输,发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到l,0,1 的事件,是发送1 接收1、发送1 接收0、发送1 接收1 的3 个事件的积,它们相互独立,所以所求概率为(1-β)·β·(1-β)=β(1-β)2,故B 正确.选项C:三次传输,发送1,则译码为1 的事件是依次收到1,1,0;1,0,1;0,1,1 和1,1,1 的事件和,它们互斥,由选项B 知,所以所求的概率为故C 错误.选项D:由选项C 知,三次传输,发送0,则译码为0 的概率P=(1-α)2(1+2α),单次传输发送0,则译码为0 的概率P′=1-α,而0 ＜α＜0.5,因此P-P′=(1-α)2(1+2α)-(1-α)=α(1-α)(1-2α)＞0,即P＞P′,故D 正确.故选ABD.

例7(2023 年高考新课标Ⅰ卷第21 题)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1 次投篮的人选,第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2 次投篮的人是乙的概率;

(2)求第i次投篮的人是甲的概率;

(3) 已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P((Xi=1))=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,···,n,则记前n次(即从第1 次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).

解析本题以考生比较熟悉的篮球投篮活动作为情境,设计新颖巧妙,将概率问题很自然地融入到两人的连续投篮练习中.它将事件的分解、概率的加法与乘法公式、等比数列的构造及数列前n项和的求解等知识有机地融合在一起,综合考查考生的逻辑思维能力,考查考生对实际问题的分析转化能力.本题的设计非常贴近生活,能较好地激发学生对篮球运动的兴趣,引发学生思考运动中的概率问题,隐含地告诉学生数学在生活中是无处不在的,要学会用数学知识去分析解决现实生活中的实际问题.

解(1)用Ai表示“第i次投篮的人是甲”,用Bi表示“第i次投篮的人是乙”.则有

(2)设P(Ai)=pi,依题可知P(Bi)=1-pi,则

即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2,构造等比数列{pi+λ},设pi+1+λ=(pi+λ),解得则是首项为,公比为的等比数列,即即

反思与策略注重基础知识的学习是提高综合实践应用能力的关键.高考数学试题往往涉及到学科内多个主题知识点,甚至是跨学科知识点的综合应用,而这些知识点的掌握离不开对基础知识的扎实掌握.因此,学生在备考过程一定要重视对基础知识的学习和理解,提高综合实践应用能力.

第一,建立良好的数学思维习惯.数学思维是培养学生综合应用能力的基石.教师要积极引导学生培养逻辑思维、抽象思维和创造性思维能力,循序渐进,通过求解简单基础的题目,经过对题设条件的不断变形、演绎与扩充,逐步引导学生去尝试解决复杂的数学问题,培养学生的分析和推理能力.同时,教师要引导鼓励学生学会从多个角度思考问题,用多种方法去解决问题,培养学生思维的灵活性与创新性.

第二,积极开展综合性实践活动,培养数学建模能力.综合性实践活动可以帮助学生将学到的数学知识应用到实际情境中,提高他们的综合应用能力.数学建模是将现实问题转化为数学问题,通过数学方法进行分析和求解的过程.实际问题的求解往往要综合数学学科内多个章节的知识,甚至涉及到跨学科知识的应用.

教师要指导学生积极开展综合实践活动,参与研究性课题学习.现行教材里面有大量的阅读材料、应用问题、实习作业以及研究性学习课题,供学生实践研究,以期能更有效地培养学生的兴趣,增强探究意识,解决现实生活中的一些问题[4].当我们在教学或复习完相关章节或知识点后,可以相应地布置一些类似表1 所示的研究性课题,让学生进行课外扩展提升.

表1 研究性学习参考课题

此外,我们还可以通过组织开展数学建模类的比赛、实验探究、实地调研等活动,让学生亲身参与到实际问题的解决过程,学会将抽象问题具体化,将实际问题数学化,通过建立相应的数学模型来描述、分析与解决问题,进一步提高他们的综合实践应用能力.

三、小结

总之,高考数学试题落实党的二十大精神,全面贯彻党的教育方针,落实立德树人根本任务,根据高考内容改革的要求,深化基础性与综合性[1].教师要认真引导学生牢固掌握基础知识,培养学生良好的解题思路与方法,学会分析问题,解决问题,提高综合实践应用能力,争取在考场上取得更好的成绩.