三正弦定理、三余弦定理的应用
——以2023 年高考甲乙卷几何题为例

云南师范大学数学学院(650500)何月 张勇

1 三余弦定理

三余弦定理(又称最小角定理或者爪子定理):设点P为平面α上的一点,过点P的斜线在平面α上的射影为BO,BC为平面α上的任意直线,那么∠PBC,∠OBC,∠OBP三角的余弦关系为:cos ∠PBC=cos ∠OBC·cos ∠OBP即斜线与平面一条直线的夹角β的余弦值等于斜线与平面所成角γ的余弦值乘以射影与平面内直线夹角α的余弦值:cosβ=cosγ·cosα,如图1 所示:

图1

三余弦定理证明:如图,过点P作BC的垂线交于点C,ΔPOB,ΔPCB,ΔOCB均为直角三角形,易知cosβ=cosγ·cosα,证毕.

三余弦定理解释了线线角与线面角之间的大小关系,由定理可知,这三个角中,角β余弦值最小,其度数最大,等于另外两个角的余弦值之积.斜线与平面所成角α是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角.

2 三正弦定理

三正弦定理(又称最大角定理):如图2 所示,设二面角M-AB-N的度数为γ,在平面M上有一条射线AC,它和棱AB所成的角为β,和平面N所成的角为α,则sinα=sinβ·sinγ.

图2

三正弦定理证明与三正弦定理类似.

三正弦定理解释了线面角与面面角的大小关系,由定理可知,α＜γ,所以二面角的半平面M内的任意一条直线与另一个半平面N所成的线面角不大于二面角,即二面角是线面角中最大的角.

3 三余弦定理的应用

例1(2023 年全国高考甲卷第11 题) 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,AB=4,PC=PD=3,∠PCA=45°,则ΔPBC的面积为()

解如图3 所示,设P点在底面的射影为H,连接HC,设∠PCH=θ,∠ACH=α,且α∈ (0,π2),则∠HCD=45°-α,或∠HCD=45°+α,由余弦定理易知则根据三余弦定理可得:所以,所以,所以,或tanα=又因为,所以,从而,

图3

图4

图5

评注在这道题需要计算ΔPBC的面积,又因为题目已知条件给出了BC和PC的长度,因此求∠PCB的正弦值是关键,该法分别利用了三次三余弦定理,首先利用三余弦定理列出关于线面角和地面线线角的二元一次方程组,然后再利用三余弦定理计算出∠PCB的正弦值,从而问题得以解决.

例2(2023 年高考甲卷第18 题) 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,A1C⊥底面ABC,∠ABC=90°,A1到平面BCC1B1的距离为1.

(1)证明:AC=A1C;

(2)若直线AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.

解(1) 略.(2) 取BB1的中点E,连接DE、A1E,过点A作A1D的平行线交C1C的延长线于点F,过点A作A1E的平行线交BB1的延长线于点G,连接AB1、B1F.由(1) 得A1D⊥BCC1B1,A1D=1 且点D为CC1中点,因为,A1C⊥底面ABC,∠ABC=90°,所以,BC⊥平面ACC1A1,BC⊥C1C,又因为,D,E分别为C1C,BB1中点,所以,DE⊥CC1,故CC1⊥平面A1DE,所以A1E⊥B1B,由直线AA1与BB1距离为2 得:A1E=AG=2,从而易求得C1F=3,B1G=3,所以从而由三余弦定理可得,cos ∠AB1G=cos ∠AB1F·cos ∠FB1G,AB1与平面BCC1B1所成角∠AB1F的余弦值:因此,AB1与平面BCC1B1所成角∠AB1F的正弦值:

评注事实上该题计算出AB1和B1F的长度,又因为AF平行且等于A1D,所以AF=1,从而利用余弦定理即可求出AB1与平面BCC1B1所成角的余弦值,因此需要注意公式定理的合理利用,从而避免将问题的复杂化.

4 三正弦定理的应用

例3(2023 年全国乙卷理科数学第9 题)已知ΔABC为等腰直角三角形,AB为斜边,ΔABD为等边三角形,若二面角C-AB-D为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为()

解由ΔABC为等腰直角三角形、ΔABD为等边三角形可知:若记O为线段AB中点,连接CO,DO,则可得二面角C-AB-D为∠COD=150°.设CA=a,则CB=CA=a,AB=AD=BD=

根据余弦定理可得:

故

由三角形全等,易知∠BCD=∠ACD,且∠ACB=90°,记CD与平面ABC线面角为φ,∠BCD=∠ACD=α,∠ACB=90°=β,二面角D-BC-A为γ,故利用二面角公式可得:再利用三正弦定理可得:

评注在本题主要利用了余弦定理、二面角公式以及三余弦定理,由此我们可知,在解题过程中需要注意公式或定理的结合应用.

5 总结

立体几何中的位置关系是课标和高考要求重点考查的内容.在解决几何对象的形状、大小与位置关系的相关问题时,除可以用空间向量等方法来解决之外,很多立体几何中的位置关系问题还可以用三正弦定理、三余弦定理解决,特别是对于空间夹角问题,其能够实现线线角、线面角和面面角之间的相互转化.