小学数学“解构教材”的基本路径

朱旭平

小学数学“解构教材”包含两层含义：一是解读小学数学教材；二是在解读的基础上，按照数学本身的知识逻辑体系，根据学生的年龄特点和认知体系，对教材进行二次构建，从而形成教学设计思路。所以，对教材的“解”与“构”是互为依存，不断递进的一组概念。解读教材是实现教材二次建构的基础，而教材的二次建构又反过来会深化对教材的理解，两者有着诸多相同的研究视角、途径和策略。本文从具体的课时案例出发，深入阐析了小学数学教材解构的若干基本路径。

一、着眼知识的发展脉络，理清知识的前因后果

2008年12月，全县举行了数学大练课比赛，要求教师用同课异构的形式参赛。我校一位青年教师抽到的是人教版小学数学第十册的内容《因数和倍数》。我们数学研究组在共同解构此课时，碰到的最大问题是：如何出示因数和倍数这一组概念（一般都是从2×6=12中，用规定方式引出），又如何深入理解此课中因数概念和乘积关系中的因数概念有什么关系？

我们带着这样的问题进行了试教。通过对学生进行提问，我们发现很多学生对该课题的第一感知是：因数在乘法中出现过，我们已经学过了。这促使我们进一步从教材变化的角度来思考问题。本课教材将因数、倍数概念从具有整除关系的除法算式中揭示改为从相应的乘法算式na＝b中揭示，将原先命名的约数概念改为因数。这样的变化，就带来了一个疑问：为什么要把原先的约数改为因数，而在小学数学教材中就出现了命名重复的现象呢？这究竟是失误、巧合，还是基于数学本质内涵而作出的规定呢？我们认为：乘积关系中的因数与因倍关系（本课学习的因数和倍数是在整除关系中揭示的一组概念，因教材的改变，在此暂且将这种关系称为因倍关系）中的因数，两者不是蕃薯与毛芋各不相干的关系，而是蕃薯与薯条的关系。从知识的发展体系来看，两个因数的本质内涵是一致的，它们都可以表示数与数之间的关系，即都可以说2是12的因数，只是在不同的关系背景下其概念外延不同。在乘积关系中，因数可以表示任何数；在因倍关系中，因数只能表示非0整数。而到中学，公因数、公倍数等概念中，其研究范围又回归到任何数。因此，我们在解构这节课时，采用旧知迁移方式来出示因数、倍数这一组概念，并着力于在数论背景中进行刻划。

基于这样的思考，因数、倍数概念的出示方式具体设计如下。先顺向迁移因数概念，出示飞机图（如右图），列出算式2×6=12，让学生说算式中各部分的名称（板书：因数、因数、积），再让学生说说2是谁的因数？6呢？进而进行逆向提问：12是谁的积？ 12是2的什么呢？（板书：12是2和6的倍数，12是6的倍数。）然后，请学生说说因数和倍数之间的关系。教师总结：因数和倍数是一组相互依存的概念，有着互逆关系。

我们认为，在解构一节课时，应以一种整体、开放、联系的视角，把教材内容纳入整个知识发展脉络之中，理解编者意图，理清整个知识发展脉络分布的基本结构、知识的前因后果和来龙去脉，找准新旧知识的关联与生长点；明确每节课所学的知识点、知识块在整个单元、整册教材、整个小学阶段所处的地位、作用，明确每节课的重点、难点和关键，从而帮助学生完善认知结构，并建立完整的知识体系，理清知识的前因后果，即要回过头来看看前面的教材，明确学生对于现学内容的认知基础；要放眼于后面的乃至中学教材中的内容，明确现学内容的高位知识是什么，以便为建构现学内容找到迁移的落脚点、巩固的深化点，为后面内容的学习扫清障碍、埋下伏笔。同时，还要以此为背景，充分考虑知识的形成线索与学生的认知线索，在此基础上对教材内容进行适当的补充、修改、调换和删减等。

二、理清知识之间的关系，实现知识的串联与整合

在解构人教版小学数学第一册《6和7的加减法》一课时，我们碰到的最大问题是：此课教学内容蕴含着加法、减法两大块并列知识（如左图）。加法或减法知识内部都有生活原型、意义、算理、计算技能、书写规范等各个层次表征，而如何理清加减法及内部横纵向各个层次表征之间的关系，实现知识的串联与整合，糅合各层次表征的力量，促进加减法知识模块的建构，还需要深入的思考。

为了破解这个问题，我们首先认真研读教材，仔细分析了加减法本身的特点及关系。具体情况如下：

1.从书本情境（如左图）分析，加减法有各自的生活原型，每一幅生活原型中分别可以得到两道算式，数学上简称为“一图两式”。我们认为：加法易于从图中得出两道互逆的算式，而减法不易从图中得出两道互逆的算式。

2.从加减法各自的两式内在关系来看，两道加法算式关系很明显，学生已初步掌握，能从一道加法算式想到与之互逆的另一道加法算式；而两道减法算式关系则不清晰，学生基本没有这方面的认知基础，还不能从一道减法算式想到与之互逆的另一道减法算式。

3.从计算算理来看，两者都是以数的组成来阐析计算算理，但减法比加法更难理解；从计算技能来看，减法比加法更难掌握。

基于这样的分析，我们认为本节课的教学重点是：掌握计算6、7的加减法计算方法，形成计算技能，能从一幅图中列出两道相应的算式；教学难点是：通过操作和观察活动，让学生在活动中发现一图两式的内在规律。在建构教学时，我们作了如下处理：

（1）生活原型：课始用加法生活原型引入，明晰了抽象线路：从苹果实物（具体）——圆片图（半具体、半抽象）——两个算式（抽象）；在课尾呈现减法生活原型，使学生在掌握减法意义、计算方法的基础上，反过来解决生活问题，为下节课作铺垫。

（2）意义算理。本节课是计算课，以算理为主，意义为辅。算理阐述以半具体、半抽象的组成图（如下图）实现图式结合，以组成突破计算方法。不单纯阐述意义，将算式意义揉合于算理和两道互逆算式的对比分析之中，使算式意义为理解算理服务。

（3）教学方式。加法以引导发现为主，减法以自主探究为主，减法教学时间比加法略多一些。

所以，教师在解构一节课时，要能透过教材从情境、例题、习题等方面解剖出所蕴含的知识点；要从哲学的高度厘晰各个知识的特点、主次关系及各知识点的逻辑关系，明确教学的落足点；要根据教材的广度和深度、学生的认知基础和心理特点，明确哪些内容比较抽象，不易被学生理解，哪些内容纵横交错，比较复杂，哪些内容本质属性比较隐蔽，哪些内容在新旧知识衔接上呈现出较大的差距，等等。从而促使解构者有效地把握主体知识，破解主要矛盾，落实教学的重难点，实现知识的有机串联与整合，从而形成教学设计的整体构架。

三、分析教材编排目的，处理、挖掘学习素材

在解构人教版一年级第二册《两位数加一位数进位加法》一课时，我们对教材主题图（见下图）进行了分析，认为“咱们班有33人，每人一瓶够吗？”通过生活原型问题，激起学生寻求解决生活问题的策略，训练学生在生活背景中学会数学推理，进而抽象为数学问题“一共有几瓶矿泉水？”激发学生对计算的需求，这是新课程在计算课中渗透“算用结合”的一大亮点。但从试教效果来看，“咱们班有33人，每人一瓶够吗？”这一现实问题没有引起学生足够的思维冲突和深层次思考。究其原因，学生的原有认知是一位数加一位数的进位加法，整十数加两位数等，有一半以上的学生都能马上答出24+9=33（瓶），这就冲淡了他们对现实问题（“咱们班有33人，每人一瓶够吗？”）的数学推理思索。

基于这样的分析，我们认为，如何突显对这一生活问题的数学推理和产生计算需求，体现教材的编排目的，是本节课所面临的最大挑战。我们从学生的认知基础出发，对主题图的呈现采用化明为暗的手法，即将上面主题图中的一箱矿泉水去掉数量24瓶，零散的9瓶把它紧密地摆放在一起，使学生数不清瓶数。这一小小的改动，使这个现实问题更具有实际思考价值，更忠实于生活问题的思考原形。如分发矿泉水的学生及班级中的同学，是在看到一堆矿泉水，不知总瓶数的情况下，而产生了问题：“每人一瓶，够不够。”这样就使学生把思考点放在“够还是不够”上，而不在“24+9=？”的计算层面上，从而把“够与不够”这一现实问题推向了讨论的焦点，激起学生对总瓶数和总人数进行比较的策略，呈现出以33瓶为基点的思维方式，即33瓶、多于33瓶都够了，而32瓶、小于32瓶都不够。实现了学生对“咱们班有33人，每人一瓶够吗？”这一现实问题的完整建构，也激起学生想知道“究竟总共有多少瓶”的欲望，凸显了数学推理和数学计算的现实价值。

所以，我们认为在解构一节课时，要注重处理、挖掘学习素材，要从两个维度进行对比分析。一是从教材的编排意图和学生的认知特点等维度进行思考，以明确各个部分学习素材应承担哪些功能，要达成怎样的效果。二是对教材中现有的学习素材维度进行分析，要求教师透过各个素材的表面现象，深层次分析它已经具有的功能是否符合学生的认知特点，将会达成怎样的效果。解构者要在两者对比中明晰差距，从中找到处理、挖掘学习素材的方向与策略，从而有效地对教材中的问题情境、教学课例、教学顺序、配套练习及呈现方式等进行二次建构。

四、挖掘知识背景，渗透数学思想方法

人教版小学数学第九册数学广角中的《身份证号码》一课，一般教法只是停留于对身份证号码表层含义的解读。我们认为突显数学思维是数学广角的本质特点，在解构此课时，完全可以将增厚身份证号码的本质内涵作为关键点。

基于这样的思考，我们对教材进行了深层次的分析，认为《身份证号码》一课教学蕴含着两条线索，明线是身份证结构和各部分数字表征的意义；暗线是身份证的本质内涵——唯一性，这是数字编码的根源，是编码方法的首要思考点。这两个方面都是身份证号码这一知识载体不同侧面的体现。在教学过程中，笔者渗透了集合思想（如下图），形成了三个层次的认知建构，具体阐述如下：

1.子集思想：用运动员号码从年级——班级——学生这样从大到小的编码策略思维，到前6位行政区划代码从省——市——县，7至14位出生日期码从年——月——日的建构迁移。既厘晰了各部分知识结构，又体现出以唯一性为基点的编码策略思维，这个过程是数学思想、方法的具体运用。

2.交集思想：针对某一具体身份证的前14位号码，教师提问：前6位表示什么？它唯一吗？7至14位表示什么？它唯一了吗？它们合在一起又表示什么，它唯一了吗？你认为它的范围在怎么变？这样，使学生进一步理解合在一起的14位号码所表示的意义范围，它其实就是行政区划代码和出生日期码两个表示范围的交集。这个过程深层次阐析了编码策略思维和身份证号码的本质内涵唯一性，产生了编识别码的需求。这个过程体现了数学教学的思想方法性原则，展示了掌握数学思想和方法解决数学问题的优越性，促进学生对数学思想和数学方法的领悟、掌握和运用。

3.并集思想：从整体上解读身份证号码，明确身份证三大部分的结构及各部分数字代码所表示的意义，从而实现身份证号码这一认知对象的整体建构。

我们认为：“数学教学的任务是把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态，将冰冷美丽的数学恢复为火热的思考。”好的数学课堂教学，最不能缺失的是让学生理解数学内容的本质与精神，也就是数学思想方法。数学思想方法是数学的灵魂，解构者要透过数学知识表层，深层次地把握概念的本质内涵，并挖掘出知识背后的数学思想方法。在教学中，渗透数学思想方法与解决数学问题是数学内在本质各个侧面、各个层次的体现。数学思想方法是在解决数学问题的过程中逐步形成的，并得到了人们有意识地提炼和归纳，从而解决数学问题的过程，也就是数学思想方法不断被运用的过程，从而不断推进学生认知体系向更高层次建构，并最终有效地改善数学教学。

总之，解读教材是构建教学的基点，而所建构的教学又是深层次理解、处理教材的具体体现。因此，在解构一节课时，要根据教材内容的特点，抓住数学的本质内涵，明确教材解构的问题与困难，沿着“着眼知识的发展脉络，理清知识的前因后果；理清知识之间的关系，实现知识的串联与整合；分析教材的编排目的，处理、挖掘学习素材；挖掘知识背景，渗透数学思想方法”等路径，实现对教材的有效解构，从而使课堂更加充满生命活力。