有限元方法在“电动力学”教学中的应用研究

张红霞,杜永胜,张雪峰

(内蒙古科技大学数理与生物工程学院,内蒙古 包头 014010)

0 引言

“电动力学”课程的研究对象是电磁场的基本属性、它的运动规律以及它和带电物质之间的相互作用[1］。在“电动力学”教学中,电磁问题具有几种严格的求解方法。而实际问题中由于几何形状、边界条件等的复杂性以及非线性等因素,只有很少一部分问题可用数学解析方法获得精确解。现在,数值计算方法得到了迅猛的发展,如有限元法、有限容积法和有限差分法等,使电磁问题的求解方法有了更多的途径。近年来,有限元方法作为一种设计工具,各种综合性软件(如ANSYS)已经成为设计师应掌握的常用工具。有限元模型的建立常用的方法有直接法、加权余数法和变分法等。其中变分法可将电场或磁场中的储能选为目标函数,从而该方法的物理含义更为明确。

本文针对“电动力学”课程概念抽象、公式推导繁杂及实际问题理论求解困难的特点,引入“电动力学”的有限元数值计算环节。我们从“电动力学”教学实际出发,首先针对“电动力学”中两类典型的微分方程:拉普拉斯方程和泊松方程,利用变分法中的里海—里兹算法进行这两类电磁场问题的数值求解,使学生对有限元方法有初步了解。本文以平行板电容器为例,使用有限元软件ANSYS得到数值解。

1 拉普拉斯方程的数值求解

考虑一个典型的一维静电场问题,设一个两极间距为a的电容器,板间加有10V的直流电压,该电场的描述方程为

将电场或磁场中的储能选为目标函数,由于物理上能量总是趋于最小,则与储能有关的一个泛函定义为

利用边界条件,近似解可简化为

对上式确定的泛函求关于待定系数C1和C2的偏导数,令其为零满足能量最小化,从而确定近似解φ=10x/a,与理论解相同。

2 泊松方程的数值求解

如果一个静电场受到电荷的激励,这种有源静态场由泊松方程及相应的边界条件来描述。一个典型的一维静电场问题可以用下列方程表示

取方程近似解为 φ=C1(x-x3)+C2(x2-x3)。利用边界条件,求解可得C1=0.5,C2=-0.5。从而近似解 φ(x)=(x-x2)/2。

3 平行板电容器的有限元求解

有限元法是建立在变分原理及区域剖分和插值的基础上,首先将求解区域离散化,将变分原理应用于离散化后的每个子区域中,然后通过分区插值,把二次泛函的极值问题化为一组多元线性代数方程来求解。有限元方法需要很强的数学计算能力,而有限元软件ANSYS即可避免繁杂的计算,同时又可得到直观形象的矢量图解,加深学生对物理问题本质的认识,尤其是在“电动力学”等理论性强的课程中引入ANSYS可得到较好的教学效果[2］。如在静电场和恒定磁场中引入ANSYS数值求解,可以直观形象地展示场的分布,有助于学生对场概念的理解和掌握[3］。ANSYS处理实际问题的步骤主要包括建立模型、网格划分、加载边界条件、结果后处理等步骤。图1是求解得到的平行板电容器内某一截面电势分布图,所得结果与精确解非常接近。

图1 平行板电容器电势沿截面分布示意图

4 结语

由于“电动力学”中大多数问题很难得到精确的解析解,有限元方法及其相应软件在处理相关问题中非常有效,既可避免复杂的理论推导,又可培养学生解决实际问题的能力,因而值得关注。

[1］郭硕鸿.电动力学(第二版)[M］.北京:高等教育出版社,1997

[2］杜永胜,张红霞.ANSYS在电动力学教学中的应用研究[J］.北京:高等教育与学术研究,2009,5:8-10

[3］黄辉,王毅.ANSYS在“工程电磁场”教学中的应用[J］.南京:电气电子教学学报,2005,27(4):88-91