平行光斜入射光栅（矩孔）的衍射光场

李争路，岑 剡

（复旦大学 物理学系，上海200433）

1 引 言

衍射光栅光栅常量的测定实验要求在测量过程中，平行光垂直光栅入射．如果平行光斜入射光栅会发生怎样的现象？对于这个疑问，本文试图通过理论分析和实验验证来回答，以帮助学生更好地理解实验调节过程中遇到的实验现象．

以光栅建立坐标系，如图1所示（灰色代表不透光部分，白色代表透光部分），垂直入射时，入射光平行于ζ轴．

图1 坐标系的建立

当平行光的入射方向在ζOξ平面内且与ξ轴有一定夹角时，有光栅方程［1－2］

其中，Δr为光程差，d为光栅常量，i为入射角，θ为出射角，k为出射的级次，λ为入射光波长．式中，当两角偏向法线同侧时，为加号；当两角偏向法线异侧时，为减号．

当入射平行光入射方向在ζOη平面内并且与η轴有一定夹角时，则可以看到如图2所示的衍射光斑呈曲线形分布（后文将证明当光栅与接收屏平行时，该曲线为双曲线）．逐渐减小入射平行光与η轴的夹角，曲线的曲率半径将逐渐增大．

图2 斜入射光斑分布情况（单缝衍射）

2 理论分析

采用如下的菲涅尔 －基尔霍夫积分公式［2－5］进行计算

2．1 衍射后光场的计算

在傍轴条件下，且衍射场接收于薄透镜的后焦面时，可对（2）式作近似［2］1，r＝r0＋Δr≈f，其中r0为矩孔原点O出射的光到接收屏的光程，Δr为由其他点出射光与原点出射光的光程差．于是，在接收屏x O′y 上，光程差可表示为［2］：Δr＝－（ξsinθ1＋ηsinθ2），其中θ1和θ2是二维的衍射角（衍射方向的2个方向角的余角）［2］，将上式代入（3）式，有

2．2 衍射前光场的计算

定义入射光方向与ξ轴及η轴夹角分别为γ和δ，利用同样的方法［2］，可得入射前光程差为Δr＝－（ξcosγ＋ηcosδ）．又有平面波方程［5］：U＝U0eikr．令矩孔O点r＝0，把无关的系数并入U0中，可得在矩孔上的光场分布函数为

2．3 最终光场分布的计算

将（5）式代入（4）式，经计算，得

I＝｜U｜2＝

在（6）式中，令γ＝δ＝90°，此时为光线正入射矩孔，（6）式变为

即矩孔正入射时的光场分布［2，4］．所以，（6）式可看作平行光正入射矩孔后光场分．

注意到主极大条纹，满足sinθ1＋cosγ＝0，sinθ2＋cosδ＝0，即θ1与γ互余，θ2与δ互余，由此可得另一个重要结论：出射光主极大方向与入射光一致，这与实际观察一致．

3 实验结果分析及计算机模拟

3．1 光斑在接收屏的分布

利用（6）式和（7）式分析所观察到的现象．

取较为特殊的例子．令γ＝90°，δ≠90°，作单缝衍射，此时平行光入射方向在ζOη平面内且与η轴有夹角δ，从屏上（接收屏与矩孔平面平行）可以观察到如图2现象．由于计算时用矩孔，而矩孔衍射在y方向上也会有光强分布；当变为单缝、多缝或光栅情况时，只需考虑矩孔情况下的在y方向上的主极大，即sinθ2＋cosδ＝0的情况，此时x方向与正入射衍射分布一致，且有

当倾角δ选定后，sinθ2为恒定值．

根据ξOη和x O′y坐标系的定义及两坐标系和透镜位置的关系［4］，有

其中，f为薄透镜的焦距，x为光斑在水平方向延展的距离．对上式变形，得到

光斑的在接收屏坐标上的分布为双曲线的形式．

双曲线的弯曲方向由δ决定：当δ＜90°时，光斑向下弯曲；当δ＞90°时，光斑向上弯曲．假设令δ由90°逐渐向0°变化，在（8）式中，cot2δ逐渐增大，双曲线曲率增大，与观察到的现象一致．

3．2 实验验证与计算机模拟

设计了如下实验．装置如图3所示，使用632．8 nm氦氖激光器作为光源照射单缝．接收屏与单缝所在平面平行，接收屏上固定坐标纸用以描点读数．由于激光的准直性很好，实验中没有使用透镜聚焦，而（6）式是利用透镜来消除透镜后的光程差，此处不使用透镜会导致接收屏上分布与（8）式略有不同，但在接收屏与单缝距离较小时，该误差较小，可忽略．此时（8）式中的f即为单缝和接收屏之间的距离．

图3 实验装置

衍射光斑在接收屏上的位置分布如图4所示，利用（8）式，对x2和y2作线性拟合，得到图5．图5中，拟合曲线为y2＝72．2＋2．348x2，由（8）式，可得到计算值（cot2δ）cal＝2．348，（f2）cal＝30．750．实验中测量得到角度δ＝33．5°，f＝5．54 cm，即有实验值（cot2δ）exp＝2．283，（f2）exp＝30．692，与计算值相差很小，相对误差分别为2．8%和0．2%．由此可以证明（6）式和（8）式的正确性．

图4 衍射光斑在接收屏上的位置分布

利用软件根据（7）式进行单缝衍射光强模拟，得到图6结果，与图2对比，光场分布情况一致．其中，模拟参数选择如下：λ＝632．8 nm，γ＝90°，δ＝60°，f＝10 cm，h＝1 cm，d＝10－4cm，矩孔长宽比为10 000∶1，可看作单缝．

图5 数据处理与拟合

图6 计算机模拟

4 结束语

本文计算了平行光以任意角度入射矩孔后的光场分布公式［（6）式］，并证明了当接收屏与矩孔（光栅）平行时，光斑分布为双曲线．（6）式可看作是各类教科书上平行光正入射矩孔情况的推广．本文通过对光斜入射到光栅上的理论分析和实验验证，使得学生对于衍射光栅光栅常量的测定实验过程当中平行光斜入射产生的实验现象能够给予合理的解释，让学生了解到更为一般性的衍射现象，掌握了更为普遍性的衍射规律．

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