基于PIFOWA算子的直觉模糊信息集结方法

陈志敏，梁 霞

(曲阜师范大学管理学院，山东日照 276826)

1 引言

多属性决策的实质是在多个候选方案中，选择一个最满足一组评价指标的方案.在现实生活中，决策者往往不能提供对决策方案的精确偏好信息，而存在一定的犹豫度或表现出一定程度的知识的缺乏，Atanassov在1983年提出的模糊集［1－2］，可以更细腻的刻画客观事物的模糊性本质，利用它所增加的非隶属度函数，可以同时表示出决策者支持和反对的程度，在处理模糊性和不确定性方面更具灵活性和实用性.因此，研究直觉模糊环境下的多属性决策问题在理论和实际应用中都有重要意义.

关于直觉模糊信息的集结，徐泽水和Yager提出了直觉模糊加权几何(IFWG)算子［3］和直觉模糊有序加权几何(IFOWG)算子.2007年徐泽水又把OWA算子拓展到直觉模糊集上，提出了直觉模糊加权平均(IFWA)算子［4］，直觉模糊有序加权平均(IFOWA)算子［4］和直觉模糊混合平均(IFHA)算子［4］，并给出了基于这些直觉模糊信息集结算子的决策方法。利用直觉模糊集结算子进行信息集结时，属性间是公平的，是完全可以补偿的，而实际决策问题中常常存在属性间不容易补偿的情况.例如，航空公司在燃料的耗费和飞行安全之间做决定时，显然不能用节省燃料的费用来弥补飞行的安全上的缺失，安全性的优先权大于燃料费用的优先权.针对这类属性间不容易补偿的情况，2004年Yager研究了属性间具有优先级别关系的多属性决策问题［5］，指出具有较低优先权的属性的重要性应建立在方案对较高优先权的属性的满足程度的基础上.2008年，Yager给出了四种属性间具有优先级别关系的集结算子［6］，即PS (prioritized scoring)算子，PA(prioritized averaging)算子，PRI－AND算子，PRI－OR算子.2009年，Yager提出了POWA(prioritized ordered weighted averaging)算子［7］.本文针对属性值为直觉模糊数的多属性决策问题，在IFOWA算子的基础上，将POWA算子拓展到直觉模糊集的情形，提出属性间具有优先级别关系的直觉模糊有序加权平均(PIFOWA)算子，最后给出了实例分析.

2 直觉模糊集与IFOWA算子

定义1［1－2］设X是一个非空集合，则称A={〈x，μA(x)，vA(x)〉|x∈X}为直觉模糊集，其中μA(x)和vA(x)分别为X中元素x属于A的隶属度和非隶属度，即

且满足条件:0≤μA(x)+vA(x)≤1，x∈X.此外，πA(x)=1－μA(x)－vA(x)，x∈X表示X中元素x属于A的犹豫度或不确定度.

定义2［3］称α=(μα，vα)为直觉模糊数，其中μα∈［0，1］，vα∈［0，1］，μα+vα≤1.且设Θ为全体直觉模糊数的集合，显然，α+=(1，0)为最大的直觉模糊数，α－=(0，1)为最小的直觉模糊数.

定义3［3］直觉模糊数的运算法则:

对任一直觉模糊数α=(μα，vα)，Chen和Tan［8］定义其得分函数s(α)=μα－vα，s(α)∈［－1，1］.Hong和Choi［9］定义其精确函数为h(α)=μα+vα，h(α)∈［0，1］.为了比较两个直觉模糊数的大小，基于以上两个函数，徐泽水［4］在2006年提出了比较两个直觉模糊数大小的方法.

定义4［3］设α1=(μα1，vα1)，α2=(μα2，vα2)为直觉模糊数，s(α1)=μα1－vα1和s(α2)=μα2－vα2分别为α1和α2的得分值，h(α1)=μα1+vα1和h(α2)=μα2+vα2分别为α1和α2的精确度，则

若s(α1)＜s(α2)，则α1小于α2，记为α1＜α2;

若s(α1)=s(α2)，则

1)若h(α1)=h(α2)，则α1和α2相等，即μα1=μα2，vα1=vα2，记为α1=α2;

2)若h(α1)＜h(α2)，则α1小于α2，记为α1＜α2;

3)若h(α1)＞h(α2)，则α1大于α2，记为α1＞α2.

定义5［4］设αj=(μaj，vaj)(j=1，2，…，n)为一组直觉模糊数，直觉模糊有序加权平均(IFOWA)算子是一个映射:IFOWA:Θn→Θ:

3 PIFOWA算子

对于某一多属性决策问题，设属性集C={c1，c2，…，cn}，属性权重未知且属性间具有优先级别关系c1＞c2＞…＞cn，即当i＜k时，有ci的优先权大于ck的优先权，设方案x在属性cj下的属性值cj(x)为一组直觉模糊数cj(x)=αj=(μαj，vαj)(j=1，2，…，n).

定义6 设{α1，α2，…，αn}为一组直觉模糊数，则属性间具有优先级别的直觉模糊OWA(PIFOWA)算子是一个映射:PIFOWA:Θn→Θ，使得

其中αind(j)为(α1，α2，…，αn)中第j大的元素，w=(w1，w2，…，wn)T是与PIFOWA算子相关联的加权向量，满足

下面我们给出与PIFOWA算子相关联的加权向量的具体求法:

3)应用确定OWA算子权重的BUM函数来确定PIFOWA算子的权重w=(w1，w2，…，wn)T.设αind(k)为属性值(α1，α2，…，αn)中第k大的元素，rind(k)为αind(k)对应的属性权重，令R0=0，Rj=kΣ=

j1rind(k)，j =1，2，…，n，则:

其中f:［0，1］→［0，1］是一个BUM函数.

4)若IFOWA算子权重w=(w1，w2，…，wn)T已知，此权重向量只对集结属性值的位置加权，并没有考虑属性间的优先级别关系，为使集结更合理，我们用Torra给出的方法对该权重向量进行了修正.

Torra(1997)［10］、Torra和Narukawa(2007)［11］给出了一个分段线性函数，令:

则修正后的权重为:

然后再利用PIFOWA算子进行集结:

PIFOWA算子具有的性质有:

性质1 设αj=(μαj，vαj)(j=1，2，…，n)为一组直觉模糊数，若所有直觉模糊数αj(j=1，2，…，n)是相等的，即αj=α(j=1，2，…，3)，则:

性质2 设αj=(μαj，vαj)(j=1，2，…，n)为一组直觉模糊数，且α－=(mjin{μαj}，mjin{vαj})，α+= (mjin{μαj}，mjin {vαj})，则:

例3.1 设属性集为c={c1，c2，c3，c4}，属性间有优先关系:c1＞c2＞c3＞c4，方案x在各属性下的属性值为直觉模糊数:α1=(0.5，0.3)，α2=(0.1，0.4)，α3=(0.8，0.1)，α4=(0.3，0.4).

先求与PIFOWA算子相关联的加权向量，根据步骤1)可得:

取β=0.5，根据步骤2)得由优先关系确定的属性权重向量r=(r1，r2，r3，r4)T，其中

由此可得归一化的属性权重

r1=0.4892;r2=0.2935;r3=0.1150;r4=0.1023.

由得分函数得:s(α1)=0.3，s(α2)=－0.3，s(α3)=0.7，s(α4)=－0.1，由此可得:α3＞α1＞α4＞α2.因此，ind(1)=3，ind(2)=1，ind(3)=4，ind(4)=2;αind(1)=(0.8，0.1)，αind(2)=(0.5，0.3)，αind(3)=(0.3，0.4)，αind(4)=(0.1，0.4);rind(1)=0.115，rind(2)=0.7892，rind(3)=0.1023，rind(4)=0.2935.

取BUM函数为f(x)=x2，由R0=0，R1=rind(1)=0.115，R2=rind(1)+rind(2)=0.6042，R3=rind(1)+ rind(2)+rind(3)=0.7065，R4=rind(1)+rind(2)+rind(3)+rind(4)=1及公式(1)得与PIFOWA算子相关联的权重:w1=0.0132，w2=0.3519，w3=0.1342，w4=0.5009.

故方案x的综合属性值为:

若已知IFOWA算子的权重为w=(0.155，0.345，0.345，0.155)T，利用(2)式得分段函数:

由R0=0，R1=0.2642，R2=0.6645，R3=0.6805，R4=1得:

由公式(3)式得修正后的权重为:w1=0.1746，w2=0.5524，w3=0.0221，w4=0.2509.

故方案x的综合属性值为:

4 基于PIFOWA算子的直觉模糊多属性决策方法

研究的直觉模糊多属性决策问题描述为:设属性集C={c1，c2，…，cn}，属性权重未知且属性间具有优先级别关系c1＞c2＞…＞cn，即当i＜k时，有ci的优先权大于ck的优先权，设方案x在属性cj下的属性值cj(x)为一组直觉模糊数cj(x)=αj=(μαj，vαj)(j=1，2，…，n).

基于PIFOWA算子的直觉模糊多属性决策方法与步骤可归纳如下:

第一步:结合所给的数据信息，根据实际情况预先选定参数β，根据第3节中的步骤1)、2)、3)，计算与集结算子PIFOWA相关的权重向量w.若PIFOWA算子权重已知，则利用步骤4)进行修正.

第二步:根据PIFOWA算子定义计算方案xi(i=1，2，…，n)的综合评价值c(xi)(i=1，2，…，n)，得到的综合评价值仍为一个直觉模糊数.

第三步:利用得分函数计算方案xi(i=1，2，3，…，n)的综合评价值的得分值s(xi)，对方案xi(i=1，2，3，…，n)进行排序并择优(如果有两个方案xi和xj的得分值相等，即s(xi)=s(xj)，则需要根据精确函数计算其精确度h(xi)和h(xj)，然后利用h(xi)和h(xj)对方案xi和xj进行排序).

5 结论

本文解决了在直觉模糊环境下，属性间有优先关系的多属性决策问题.给出了PIFOWA算子的定义，并给出了确定该算子权重的方法，在计算属性权重rj时可发现r1≥r2≥…≥rn，符合属性间的优先级别关系.利用该算子集结直觉模糊数的基本思想是:具有较低优先级别的属性其权重由方案在较高优先级别属性下的属性值来确定，这样可使方案的集结结果充分考虑属性间的优先级别关系，使集结结果更合理.

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