基于二次B样条的广义差分法

秦丹丹， 冯 雪， 左 平

（空军航空大学基础部，吉林长春 130022）

0 引 言

广义差分法从微分方程的积分守恒形式出发，通过选取试探函数空间为有限元子空间，检验函数空间为相应于对偶剖分的分段低次多项式函数空间来导出计算格式。文中介绍了基于二次B样条的广义差分法。B样条函数具有很多优良性质，如:有明确的表达式，具有有限支集、对称性和良好的光滑性等。因此，B样条函数作为试探函数空间的基函数可以保证系数矩阵的对称性、正定型和稀疏性。二次B样条广义差分法既保持了差分法的简单性，又兼具有限元的精确性。

1 B样条函数

m阶B样条函数Sm（x）[1]定义如下:

其中S1（x）为[0，1]上的特征函数。值得注意的是B样条函数的卷积定义式有下面的等价形式[2]:

由以上定义式可以得到三阶二次B样条函数的表达式:

显然，m阶B样条是分段m-1次多项式，且具有紧支集suppSm（x）=[0，m];此外，m阶B样条还具有如下性质:

1）Sm（x）是以 x=为对称轴的单峰值山丘状函数;

B样条性质的证明详见文献[2-3]。

2 基于B样条的广义差分法

考虑二阶常微分方程:

其中，p∈C（I），p≥0，f∈C（I），I=[a，b]。

对区间[a，b]进行均匀剖分，网格节点为a= x0＜x1＜…＜xn=b，且在区间[a，b]外分别扩充两点:x-2，x-1和 xn+1，xn+2，相邻节点间的距离记为h，记Ii=[xi-1，xi]。

构造基函数

则函数组{φi（x）}为区间[a，b]上以{xi}为节点的二次样条的一组基。

为方便处理边值条件，将前两个函数换成线性组合[4]:2φ-2（x），φ-1（x）-φ-2（x）。同时将最后两个基函数换成:φn-2（x）-φn-1（x），2φn-1（x）。变换前后基函数对应的函数空间是等价的。改换后的基函数称为变形的二次B样条基函数，仍记为{φi（x）}。在左端点处满足φ-2（x0）=1，φi（x0）=0（i≠-2），在右端点处满足φn-1（xn）=1，φi（xn）=0（i≠n-1）。……