浅析条件概率

严小宝

（丽水职业技术学院 浙江 丽水 323000）

浅析条件概率

严小宝

（丽水职业技术学院 浙江 丽水 323000）

条件概率是概率论基础知识中的一个基本概念,是积事件概率和全概率公式的基础,但这一概念往往不被学生所重视,以至于影响到后面的教学效果。本文就这一概念教学进行了初步研究,并给出条件概率P（A/B）中,当P（B）=0时的一些有趣结论，旨在开阔学生的视野。

条件概率；概率；随机试验；事件；抽签

在多年的概率论教学过程中,笔者感觉到学生难以清楚地理解条件概率、积事件概率、全概率公式等概念,特别是在求解有关问题时,往往无处着手,出现思维障碍,从而影响了学生的学习积极性。究其原因，基本上是对条件概率概念没有很好地理解;在教学过程中，教师也没有引起重视,一笔带过,而把重点放在全概率公式上,学生处于被动的学习状态。笔者拟就这一问题的教学作如下研究。

首先，有必要弄清楚 P（A/B），P（AB），P（A）这三者之间的区别与联系。

一是条件概率P（A/B）与概率P（A）的区别。

每一个随机试验都是在一定条件下进行的。设A是随机试验的一个事件，则P（A）是在一定条件下事件A发生的可能性的大小。而条件概率P（A/B）是指在原条件下又添加“事件B发生”这个条件时，事件A发生的可能性大小，即P（A/B）仍是概率，P（A）与P（A/B）的区别在于两者发生的条件不同，它们是两个不同的概率，在数值上一般也不相等。（注：“事件B发生”特指读者已经知道事件B发生，而实际上事件B往往在事件A发生之前发生，但也可以在事件A发生之后发生，如例1中求P（A1/A2A3），只是读者还不知道事件A已发生，用P（A/B）来估计事件A发生可能性的大小。

二是条件概率P（A/B）与概率P（A）的数量关系。

条件概率P（A/B）是在原随机试验条件下又添加“事件B发生”这个条件时事件A发生的可能性大小，是否一定有P（A/B）≥P（A）呢？

1.当 A、B 互不相容时，A 发生时 B 不发生，则 P（A/B）=0≤P（A）；

2.当 A⊂B 时，P（AB）=P（A），P（A/B）=≥P（A）；

3.当A、B既不是互不相容，又不是包含关系时，因P（A/B）=大于、等于、小于 P（A）三种可能都有，如 P（A）=0.5,P（B）=0.4,当 P（AB）=0.30 时，P（A/B）=0.75＞P（A）；当 P（AB）=0.20时，P（A/B）=0.5=P（A）;当 P（AB）=0.10 时，P（A/B）=0.25＜P（A）。

三是条件概率P（A/B）与积事件的概率P（AB）的区别。

这两个概念从形式上看是容易区分的，但对于初学者来说很容易混淆，有必要强调一下。条件概率P（A/B）是指事件B发生这个条件下事件A发生的概率，而P（AB）是指A、B同时发生的概率。因而“事件B发生”在P（A/B）中是作为条件，而P（AB）中是作为结果，所以两者不相同。

例2：某班有男学生40人，女学生20人，通过英语六级者有15人，其中有女学生10人。在该班级中任意抽取一人，分别计算：

1.求所取的学生为女学生并且已通过英语六级的概率；

2.已知所取的学生为女学生，求其通过英语六级的概率。

解：设A=｛所取的学生已通过英语六级｝，B=｛女学生｝，则（1）为求事件 A、B 的积事件的概率（2）为求在事件B发生条件下事件A发生的条件概率

其次，要深刻理解当 P（B）＞0 时,条件概率公式 P（A/B）=的意义。

一是要从理论上推出该公式非常困难，但从事件A、B的文氏图可直观地解释一下该公式，把P（A）看成为A的面积与必然事件Ω的面积的比值，那么，P（A/B）为在B发生条件下A发生的概率，可理解为AB的面积与B的面积的比值，分别除以Ω面积，即得条件概率公式可以让学生从心理上接受它并加深印象，而公式本身已证明是成立的，只要加以说明就行，这样可起到降低难度的作用。公式给出了计算条件概率的一种方法。

例3：某种品牌的彩色电视机使用寿命10年的概率为0.9,而使用寿命15年的概率为0.5,试求某台电视机已经使用10年的情况下，能再使用5年的概率。

解:设B=｛电视机使用寿命10年｝，A=｛电视机使用寿命15年｝，则 P（A）=0.5，P（B）=0.9 因为 A 发生必然导致 B 发生，即B⊃A，P（AB）=P（A）=0.5，P（A/B）=

二是该公式的作用不仅仅用来计算条件概率，而且条件概率往往也可以直接算得，更重要的作用是用来计算积事件AB的概率，P（AB）=P（B）P（A/B）这就是我们所说的乘法公式。

再次，条件概率公式为全概率公式的计算奠定了基础，从而解决了事件概率的计算问题。

一般教材都给出条件概率 P（A/B）中P（B）必须大于 0，那么当 P（B）=0 时，P（A/B）是否有意义呢？

显然条件概率公式是不能用了，当A、B所在的事件空间Ω中的基本事件个数为有限个时，由P（B）=0，可得B所包含的有利事件个数为0个，由P（A/B）的含义得A的有利事件个数也为0个，所以，这时规定P（A/B）=0较妥当。而当Ω为无限集时，情况比较复杂。现举例如下：

当A、B所代表的事件互不影响时 （具体情况时容易判断的），规定 P（A/B）=P（A）；当 B⊂A 时，B 发生可推出 A 发生，这时P（A/B）=1；当A、B是互斥事件时，B发生时，推出A不发生，得 P（A/B）=0；当 B为不可能事件时，讨论 P（A/B）实际上是无意义的，在不可能事件B发生条件下A发生的概率，这句话本身就是相悖的，但为统一起来，可定义P（A/B）=0； 当 A、B是互不包含事件时，情况比较怎复杂，视具体情况而定。

例5：质点 M随机地均等抛掷到﹝-1，+1﹞区间上，记 A=｛质点落在﹝0，1﹞区间上｝，B=｛质点恰好落在点处｝，B1=｛质点落在-1，0，，1 这四点处｝，B2=｛质点落在﹝0，1﹞区间上的有理数点处｝，则 P（A/B）=1，P（B/B1）=，P（B1/B2）=0。

[1]杨义群.初等概率教学中定义条件概率的二个问题探讨[J].教学与研究（中学数学）,1984,（4）:3.

[2]谢国瑞.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2002.

[3]王潘玲.应用高等数学[M].杭州:浙江科学技术出版社,2004.

[4]曹之江.现代数学优教原理探索[J].数学教育学报,2004,（2）:1-2.

G710

A

1672-5727（2011）04-0118-02

严小宝（1959—）男，浙江奉化人，丽水职业技术学院副教授，主要从事数学教学。

（本文责任编辑：尚传梅）