半导体超晶格高频放大效应的研究＊

胡 波， 黄仕华

(浙江师范大学凝聚态物理研究所，浙江金华 321004)

0 引言

由于布洛赫振荡存在，直流偏压下，人们在单微带超晶格半导体中观察到了负差分电导现象［1］，并预测在负差分电导的条件下，对于均匀分布的电场，在太赫兹频率下超晶格半导体应该有一个较强放大．因此，直流偏压下的超晶格成为微小、稳定，并且能在室温下操控的潜在的太赫兹辐射源．但是强场域的形成使得超晶格在出现负差分电导的地方不稳定，从而破坏了长周期超晶格高频布洛赫放大．为了稳定在超晶格中的电场，最近有很多新的纳米设计方法被研究［2-3］．

最近，有文献［4-5］报道了在假定动量弛豫时间和能量弛豫时间相同的情况下采用动力学平衡方程分析了用一个外加微波频率下交流光电场取代直流电场可以在长周期超晶格上实现高频放大，在亚赫兹频率ω2=nω1(n是偶数)的探测光电场很强时负吸收的存在．本文更普遍地从理论上说明了直流电场下也可实现探测光电场的高频放大，并发现探测光电场的高频放大效应与负差分电导不一定有直接关系．用一个外加交流光电场取代直流的情况下，在某些特定的探测光电场和外加光电场下，探测光电场的高频放大效应是可以发生的，特别是在低频弱探测光场下，这时高频放大效应也一直存在．

1 基本理论

假设长周期超晶格半导体势垒宽度比较小，在紧束缚近似下，在它生长方向(设为z)单微带的色散关系为［6］

式(1)中:kz是沿z方向的波矢;d是超晶格的周期;Δ是微带宽度．在微带超晶格中电子在z方向上的速度为

假设一个与时间有关的电场E(t)=Edc+Eac(t)作用于电子上，采用在近弛豫时间近似下的经典的玻尔兹曼输运方程描绘电子的动力学过程［7］

式(3)中:f(q，k，t)是超晶格电子中的分布函数;τe和τi分别是电子唯象的能量弛豫时间和弹性散射弛豫时间．存在杂质、界面粗糙、结构无序散射等主导着弹性散射弛豫，声子散射等非弹性散射主导着能量弛豫．

假定超晶格中的电子平衡时满足玻尔兹曼分布．超晶格除了在z方向形成微带外，电子在超晶格平面内是自由运动的，因此电子的总能量是

式(4)中:m*是电子的有效质量;kx和ky分别是平面内的波矢．超晶格平衡时电子密度为

式(5)中:A是玻尔兹曼分布的待定系数;I0是零阶虚宗量贝塞尔数．

超晶格电子达到平衡时电子的平均能量为

式(7)～式(8)中:J(t)是电子的电流密度;ε(t)是电子的平均能量．动量

2 计算与分析

考虑作用在电子上的电场为E0+E1cos(ω1t)+E2cos(ω2t+φ)，其中E1cos(ω1t)是一个外加太赫兹光电场，E2cos(ω2t+φ)是一个外加交流光探测场，φ是相对相位．定义在超晶格微带中交流探测光场的吸收为

式(9)中，＜J(t)cos(ω2t+φ)/Jpeak＞t表示超晶格中电子达到稳态时，在一个时间周期为2π/ω2内的时间平均值．当A＜0时，则表示产生的频率为ω2的谐波与驱动探测光场反相，能量将由超晶格转移给探测交变光场，交变光场将被放大，所以，可以说高频放大对应A＜0．与A有关的吸收α(cm-1)［8］为

式(10)中:κ0和c分别是真空介电常数和真空中的光速;nr是超晶格材料的折射率．在超晶格中产生的功率密度P为

为了能计算吸收和产生功率，对一个长周期的GaAs/AlAs超晶格采用如下参数［9］:周期长度Tsu 最大平均电流 Jpeak=qneqΔd/［4ħI1(Δ/2kBT)/I0(Δ/2kBT)］，Esaki-Tsu 临界电场为 Ec=ħ/(qdτ)，其

下面讨论在超晶格中探测光场的高频放大效应，分如下情况进行:

1)作用在超晶格上的外加电场只有直流电场(E1=0)，数值求解上述动力学平衡方程．图1是在高频率为ω2=3/τ弱振幅探测光场的作用下，直流电流J0/Jpeak与电场E0/Ec之间的关系．由图1可见，在布洛赫频率ωB=ω时出现直流共振峰．图2给出了当直流电场E0/Ec=1～5时，吸收α与频率ω2的依赖关系，它表明对低频ω2τ≪1，负吸收存在．对于满足E0/Ec≫1的直流工作电场，与放大共振对应的频率很容易被估算出来．很明显，当处于工作状态的直流电场选择在直流共振峰的右侧部分时，最大高频放大值是可以实现的．这种放大共振也揭示了布洛赫共振的量子耗散本质，即散射造成了在发射和吸收过程中的不对称性，但是与负差分电导相关的不稳定性造成了高频放大的可行性［10］．

图1 直流电流作为直流电场的函数(E2→0，ω≪1)

图2 吸收 α-ω2τ曲线(E2→0，E0=1，2，3，4，5Ec)

在强振幅探测光场的情况下，高频放大不一定与静态负差分电导联系在一起，因为交流电场也能打开一个新的输运通道，它导致了J0～E0特性的光辅助峰的形成［10-11］．图3是在一个强探测光场频率为ω2=3/τ的作用下，对不同的探测光振幅 E2值，直流电流与电场之间的关系．由图3可见，在E0/Ec=2．5 ～4．0和 E0/Ec=5．5 ～6．5 时，第1 和第2 个光辅助峰的左侧表征了正差分电导区域［10］．为了展示在正差分电导的情况下强信号放大的可行性，笔者分别选择工作直流电场为E0=3Ec和E0=6Ec．图4给出了产生功率密度对频率为ω2=3/τ光探测场的依赖关系．由图4可见，当正差分电导只出现在第2个光辅助峰的左侧时，超晶格能产生高频放大辐射，不同于文献［10］报道的在第1个光辅助峰左侧就出现了高频放大效应．同时，在探测光场处于低振幅下，超晶格中不稳定的电学特性干扰了高频放大的产生．在超晶格能转换到正差分电导之前，探测场振幅必须达到一个阈值，从图4可知这个阈值一直是存在的．但是，如果通过某种方式，小信号的空间电荷不稳定性能被压制的话，对一个非常特殊的超晶格，产生功率密度在频率～8 THz能达到～300 MW/cm3．

图3 直流电流-直流电场曲线

图4 P与E2之间的函数关系

2)作用在超晶格上的外加电场只有交流电场(E0=0)．为了高频放大效应不被外加光场产生的谐波干扰，笔者选择探测光场的频率ω2=2ω1(n为偶数)，主要是因为在没有直流电流的对称超晶格中不可能产生偶次谐波．因此，在偶次谐波的高频放大是值得进一步探讨的．图5是在频率为ω2=2ω1的弱探测光场情况下，对不同外加光电场振幅E1，吸收α对相对相位φ的依赖关系．表明在弱探测场的情况下，依赖于相对相位高频放大总是能达到最大，且在低频ω1≪1/τ条件下，最优化的相对相位为φopt≃π/2或3π/2．图6是对不同的探测场振幅E2，吸收α对相对相位φ的依赖关系．由图6可见，同样在低频ω1≪1/τ条件下，最优化相对相位φopt≈π/2或3π/2，因为当相对相位φ取最优相位时，产生的第2谐波正好与驱动的总交变场反相，能量由超晶格转递给探测交变场最多，这时最有可能放大．

图5 不同E1值时吸收α与相对相位φ的关系

图6 不同E2值时吸收α与相对相位φ之间的关系

图7表示:当φ=φopt时，不同的外加光电场在弱探测光电场下吸收α与外加光频率ω1之间的关系．由图7可见，在ω1＞2/τ的情况下，高频放大将不可能发生，因为，此种情况下外加光电场引起超晶格自身产生了负差分电导，干扰高频放大效应．为了实现高频放大应该避免这一工作点．图8展示了在外加光电场振幅为E1=3～5Ec时，产生的功率密度与探测光电场振幅之间的关系．如果超晶格能实现高频放大，当探测振幅E1=5Ec时，功率密度达～300 MW/cm3．图9显示的是α与ω1τ的关系，表明只有在ω1≪1/τ情况下，偶次谐波频率的探测光场才能都实现高频放大，但二次谐波频率吸收得更多，因为，在高频范围特定外加光电场下，超晶格的不稳定性干扰了高频放大效应的产生．

图7 吸收α作为外加光频率ω1的函数

图8 产生功率密度P作为探测光振幅E2的函数

3 结论

本文中，笔者通过弛豫近似下半经典玻尔兹曼输运理论计算模拟了半导体超晶格中在直流驱动和交流驱动2种情况下的高频放大效应，并分析了利用单频和多频驱动在室温下达到太赫兹放大的可行性．研究和计算也可推广到外加交流和直流同时存在的情况，同时也为下一步半导体超晶格高频放大的实验研究提供了理论依据和参考．

图9 吸收 α-ω1τ曲线

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