广义凸性假设下的集合最优化解的性质＊

李毛亲， 李杉林

(1．太原师范学院数学系，山西太原 030012;2．台州学院数学系，浙江临海 317000)

0 引言

集合最优化问题依赖于集合之间的序关系，这种序关系最早由Young［1］于1931年提出．1984年，Nishniandze［2］在研究集值映射的不动点时用了这种序关系;1997年，Kuroiwa等［3-6］在此基础上定义了集合之间的6种序关系，并应用其中的2种序关系定义了具有集值映射的多目标最优化问题的最优集和最优解的概念，研究了解的存在性及对偶问题．从此，集合最优化(set optimization)的概念被大家接受，并越来越多地受到关注．文献［7］讨论了集合最优化的共轭对偶问题;文献［8］通过定义集簇的Kl-半紧性和Ku-正则性，得到了最优集和最优解存在的充分和必要条件，其结论的特殊情况就是经典的向量最优化问题有效解的存在性结论;文献［9-10］定义了集合最优化问题的弱最优的概念，分别讨论了Lagrange对偶和数值化的问题;文献［11］探讨了集合最优化的外稳定性问题，得到了外稳定的条件．

设X，Y是拓扑线性空间，K⊆Y是内部非空的尖闭凸锥，导出Y中的向量之间的偏序为:

对于向量最优化问题

其中:φ≠M⊂X;F:M→2Y是集值映射．称x0∈M为(VP)的有效解(弱有效解)，若存在y0∈F(x0)使得

若将F(x)看作参加国内CBA联赛的篮球队，x为该队教练，负责队伍的组织和训练．由向量最优化有效解的定义可以看到:若在某支球队F(x0)中有一个全国最佳运动员y0，则不管该队的成绩如何，该队教练都是一个最优的教练．这显然与事实不符．一个球队除了这个最佳运动员外，如果其他运动员都不会打球，挑选出这样队伍的教练员作为最佳教练是很难让人接受的．这个问题的关键是在选择最优解时用到的序关系是向量之间(即运动员之间)的序关系而不是集合之间(即球队之间)的序关系．正是基于这样的原因，集合之间的序关系被提出．于是，上述问题就可以在球队之间进行比较，从而选出最佳队伍及最佳教练，这至少在某些方面更接近于现实，也为多目标最优化问题提供了一个新的研究途径，就像Jahn［12］所说，集合最优化为多目标最优化研究打开了一个新的更广阔的领域．这也是集合最优化越来越受到关注的原因之一．

1 概念及记号

现介绍集合之间的序关系．设P0(Y)=2Y{φ}，即Y的所有非空子集所成之集簇，A，B∈P0(Y)．若

则称≤l为集合之间的下关系，≤u为集合之间的上关系．

定义P0(Y)上的关系～l为:A～lB⇐⇒A≤lB且B≤lA，则～l是一个等价关系．在此等价关系下，包含集合A的类记作［A］l．类似地，若A～uB⇐⇒A≤uB且B≤uA，则～u也是P0(Y)上的一个等价关系．在此等价关系下，包含集合A的类记作［A］u．

关于集合最优化问题极小集的定义，还可以作如下的表述:

2 与集合的序关系相关的性质探讨

接下来给出集合的序关系及极小集的的一些基本性质．

命题1［6，9-10］关于上节定义的2个等价关系，有如下结论:

1)［A］l=［B］l⇐⇒A+K=B+K;

2)［A］u=［B］u⇐⇒A-K=B-K;

3)若［A］l=［A1］l，［B］l=［B1］l，则［A+B］l=［A1+B1］l;

4)若［A］u=［A1］u，［B］u=［B1］u，则［A+B］u=［A1+B1］u;

5)若［A］l=［B］l，则 A+int K=B+int K;

6)若［A］u=［B］u，则 A-int K=B-int K．

命题 2［9］

1)若 A⊂B+int K 且 B⊂A+int K，则［A］l=［B］l;

2)若 A⊂B-int K 且 B⊂A-int K，则［A］u=［B］u．

命题 3［10］

命题4

证明 只证明2)和4)，1)和3)的证明类似，故略．

由命题3和4可以直接得到推论1．

推论1

1)设［A］l=［B］l，若 B≪lA，则 A≪lB;

2)设［A］u=［B］u，若 B≪uA，则 A≪uB．

3 广义凸性假设下的集合最优化问题(SPl)和(SPl(W))的解的基本性质

凸性在最优化中起着重要的作用，接下来将讨论当目标函数和约束集合具有某种凸性时集合最优化问题最优解的性质．首先给出一些有关凸性的概念．

定义1 设M是凸集，集值映射F:M⊂X→2Y称为K-凸映射，若对于任意的x，y∈M，λ∈(0，1)，

即

称 F 为 K-严格凸的，若对于任意的 x，y∈M，x≠y，λ∈(0，1)，

即

记号K-WminF(x0)表示对集合F(x0)求向量最优化弱极小点，具体定义见文献［12-14］．

命题 5 设 M是凸集，F:M→2Y是 K-严格凸映射．若 x0∈l-WminF，F(x0)是凸集，且K-WminF(x0)≠φ，则 x0∈l-minF．

由x0∈l-WminF得 F(x0)≪lF(x)，于是有 F(x0)≪lF(x0)，即 F(x0)⊂F(x0)+int K．再考虑到K-WminF(x0)≠φ，取 y0∈K-WminF(x0)，则存在 y∈F(x0)，k∈int K，使得 y0=y+k．这与 y0∈K-WminF(x0)矛盾．所以 x0∈l-minF．

推论2 设M是凸集，F是K-严格凸的凸值映射．若对于任意的x∈M，K-WminF(x)≠φ，则

证明 因为l-minF⊂l-WminF，再由条件及命题5知l-WminF⊂l-minF，所以结论成立．

命题6 设M是凸集，x0∈lL-WminF是F在M上的局部l-弱最优解．若存在x0的邻域U使得U∩M是凸集且F在U∩M上是K-严格凸映射，F(x0)是凸集，且K-WminF(x0)≠φ，则x0∈lL-minF是局部l-最优解．

证明 若x0∉lL-minF，则存在x1∈U∩M，使得F(x1)≤lF(x0)，但F(x0)≤/lF(x1)．由于F(x)在M上是K-严格凸的映射且F(x0)是凸集，取充分小的λ，令x=λx1+(1-λx0)，则 x∈U∩M，于是

由x0∈lL-WminF及x∈U∩M得F(x0)≪lF(x)，于是F(x0)≪lF(x0)．再由条件 K-WminF(x0)≠φ，得到矛盾．命题6证毕．

命题7 设M是凸集，x0是F在M上的局部l-最优解．如果F是K-严格凸的，F(x0)为凸集，且K-WminF(x0)≠φ，则x0是F在M上的全局l-最优解．

证明 设 x0∈lL-minF．若 x0∉l-minF，则存在 x1∈M，使得 F(x1)≤lF(x0)，［F(x1)］l≠［F(x0)］l．对x0的任意邻域U，取充分小的λ，使得x=x0+λ(x1-x0)=λx1+(1-λ)x0∈U，由F的K-严格凸性及F(x0)是凸集得

由 x0∈lL-minF 得 F(x0)≤lF(x)，所以有 F(x0)≤lF(x)≪lF(x0)，F(x0)⊂F(x0)+int K．由条件知K-WminF(x0)≠φ，取 y0∈K-WminF(x0)，存在 y∈F(x0)，k∈int K，使y0=y1+k．这与 y0∈K-WminF(x0)矛盾．命题7证毕．

推论3 设M是凸集，F是M上K-严格凸的凸值映射．若对任意的x∈M，K-WminF(x)≠φ，则

证明 与推论2的证明类似，故略．

命题8 设M是凸集，x0∈lL-WminF是F在M上的局部l-弱最优解．如果F是K-凸的，F(x0)为凸集，K-WminF(x0)≠φ，则x0∈l-WminF是F在M上的全局l-弱最优解．

证明 设x0∈lL-WminF．若 x0∉l-WminF，则存在 x1∈M，使得 F(x1)≪lF(x0)，但 F(x0)≪/lF(x1)，即［F(x1)］l≠［F(x0)］l．对于 x0的任意邻域U，取充分小的 λ，使得 x=λx1+(1-λ)x0∈U，由于 F 是K-凸映射，F(x0)是凸集，故

由x0∈lL-minF推知F(x0)≪lF(x)，得F(x0)⊂F(x0)+int K．由K-WminF(x0)≠φ，故可用类似于命题5的证明方法得到矛盾．命题8证毕．

推论4 设M是凸集，F是M上K-凸的凸值映射．若对任意的x∈M，K-WminF(x)≠φ，则

证明 与推论2的证明类似，故略．

4 广义凸性假设下的集合最优化问题(SPu)和(SPu(W))的解的基本性质

接下来讨论与序关系≤u相关的集合最优化问题的解的性质，将得到弱最优解与最优解的关系及局部最优解和全局最优解的关系．

定义2［3］设M是凸集．称集值映射F:M⊂X→2Y为u-凸映射，若对于任意的x，y∈M，λ∈(0，1)，有

即

称 F 为 u-严格凸的，若对于任意的 x，y∈M，x≠y，λ∈(0，1)，有

即

在以下的命题中，记号K-WmaxF(x0)表示对集合F(x0)求向量最优化的弱极大点，具体定义见文献［13］．

命题9 设M是凸集，F:M→2Y是u-严格凸映射．若x0∈u-WminF，F(x0)是凸集，且K-WmaxF(x0)≠φ，则 x0∈u-minF．

证明 设x0∈u-WminF．若 x0∉u-minF，则存在 x1∈M，使得 F(x1)≤uF(x0)，且［F(x0)］u≠

由x0∈u-WminF得 F(x0)≪uF(x)，于是有 F(x0)≪uF(x0)，即 F(x0)⊂F(x0)-int K．再考虑到K-WmaxF(x0)≠φ，取 y0∈K-WmaxF(x0)，则存在 y∈F(x0)，k∈int K，使得 y0=y-k．这与 y0∈K-WmaxF(x0)矛盾．所以 x0∈u-minF．

推论5 设M是凸集，F是u-严格凸的凸值映射．若对于任意的x∈M，K-WmaxF(x)≠φ，则

证明 因为u-minF⊂u-WminF，再由条件及命题9知u-WminF⊂u-minF，所以结论成立．

从如上过程可以看出，命题9及推论5的证明与命题5和推论2的证明非常类似，接下来几个命题的证明也与相应命题的证明类似，故只给出命题，不加以证明．

命题10 设M是凸集，x0∈uL-WminF是F在M上的局部u-弱最优解．若存在x0的邻域U使得U∩M是凸集且F在U∩M上是u-严格凸映射，F(x0)是凸集，且K-WmaxF(x0)≠φ，则x0∈uL-minF是局部u-最优解．

命题11 设M是凸集，x0∈uL-minF是F在M上的局部最优解．如果F是u-严格凸的，F(x0)为凸集，且K-WmaxF(x0)≠φ，则x0是F在M上的全局u-最优解．

推论6 设M是凸集，F是M上u-严格凸的凸值映射．若对任意的x∈M，K-WminF(x)≠φ，则

命题12 设M是凸集，x0∈uL-WminF是F在M上的局部弱最优解．如果F是u-凸的，F(x0)为凸集，且K-WmaxF(x0)≠φ，则x0∈u-WminF是F在M上的全局弱最优解．

推论7 设M是凸集，F是M上u-凸的凸值映射．若对任意的x∈M，K-WmaxF(x)≠φ，则

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