负电容在主－被动混合压电振动控制中的应用*

马小陆 裘进浩 季宏丽 李生权 朱孔军

(南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，江苏南京210016)

压电材料作为一种智能材料，以其良好的机电耦合特性在结构振动控制领域具有广泛的应用．当前的压电振动控制方法主要分为被动控制、主动控制和半主动控制．压电被动控制方法是一种压电分流阻尼技术，它利用压电材料的正压电效应，将结构振动的机械能转化为电能，再通过一个外接的分流电路，将电能转化为电阻上消耗的热能，从而产生压电分流阻尼，起到抑制结构振动作用．被动控制方法具有实现容易、结构简单、可靠性高和鲁棒性好等优点，但缺少灵活性，对突发性环境变化适应差［1-3］．压电主动控制方法是一种由压电传感器、压电驱动器和控制算法组成的闭环控制方法．它由压电传感器检测到结构的振动信号，使用主动控制策略经过实时计算得到所需的控制信号，从而驱动压电片对结构的振动进行抑制．压电主动控制方法具有很强的灵活性和环境适应能力，可控频率宽且响应速度快，但其控制系统复杂，需要较高的输入功率，存在潜在的不稳定性，鲁棒性差［4-5］．压电半主动控制方法是一种非线性同步开关的压电阻尼技术．它通过一个状态开关控制压电分流电路的开闭，当压电换能器表面因结构振动变形而产生的电荷达到最大值时，开关迅速闭合，使得压电元件上的电能被电路中的一些电子元件快速消耗或实现电压翻转，从而达到振动控制的目的．半主动振动方法控制效果好，所需的外界能量小，鲁棒性好，性能稳定，但目前还未能实现对多模态振动的有效控制，限制了它在实际工程中的应用［6-7］．

近年来出现的主－被动混合振动控制方法，是将被动控制技术与主动控制技术有机结合在一起的控制方法，这种控制方法具有被动控制稳定性好、功率需求低的优点，又具有主动控制性能高的特点．目前，对主－被动混合振动控制的研究主要是基于电感压电分支电路的被动压电阻尼子系统与主动控制子系统之间的混合［8-10］，对基于其它类型压电分支电路的被动压电阻尼子系统与主动控制子系统结合的研究较少．文中将负电容压电分支电路［3］和小波变换域最小均方误差(LMS)主动控制相结合，通过将被控结构的振动能转换成电能并消耗于RpCr负电容分支电路中，对被控结构的振动进行被动控制;同时采用传感器将被控结构的振动信息反馈到小波变换域LMS控制器中，控制器发出控制信号，通过电压源经由负电容分支电路驱动压电片，对被控结构的振动进行主动控制．文中推导了这种主－被动混合振动控制方法的控制原理，分析了振动幅值与负电容参数之间的关系，并进行了仿真和实验研究．

1 主－被动混合振动控制原理

1．1 理论建模

基于负电容分支电路的主－被动混合振动控制结构如图1所示．

图1 基于负电容分支电路的主－被动混合振动控制结构Fig．1 Structure of active-passive hybrid vibration control based on negative capacitance branch circuits

利用哈密顿原理可以推出图1所示系统的数学模型［9，11］:

式(1)为被控结构的数学模型，m、c、k分别为结构的质量(被控结构和压电元件的质量之和)、阻尼及刚度(被控结构和压电元件的刚度之和);q为广义位移;Fm为结构所受的外部激励力;式(2)为压电分支电路的数学模型，Cr、Rp、Cp分别为被动分支电路的负电容绝对值、电阻及压电元件的等效电容;Q为压电元件上的电荷;Uc为控制器经电压源发出的控制电压;式(3)为压电传感器电路的数学模型;Us为压电传感器测得的电压，与被控结构的振动位移成正比;kc为被控结构与分支电路之间的机电耦合系数．

压电片两端电压为

对方程(1)和(2)两边进行拉氏变换，并令K1=得

将Q=CpUa代入式(4)，并对其两边进行拉氏变换，得

设压电元件两端短路时结构的固有频率ωn=，阻尼比广义机电耦合系数ξ=频率调节参数 Ω=ω/ωn，电阻调节参数r=Rpωn/K1，代入式(6)、(7)，得

1．2 负电容参数对被动控制的影响

根据文献［12］可知，分析压电分流电路参数时，可忽略结构本身阻尼的影响，式(10)可转化为

图2 振动幅值随ξ的变化(r=5)Fig．2 Variation of vibration amplitude with ξ(r=5)

由图2可见，在共振频率附近，广义机电耦合系数ξ越大，负电容绝对值Cr越接近于压电电容Cp，被动控制效果越好．

1．3 负电容参数对主动控制电压的影响

图3 电压放大随ξ的变化(r=5)Fig．3 Variation of voltage amplification with ξ(r=5)

由图3可见，广义机电耦合系数ξ越大，负电容绝对值Cr越接近于压电电容Cp，电压放大的效果越好，且在整个频带都有电压放大效果．

2 小波变换域LMS主动控制

主动振动控制是当前振动工程中的一个研究热点，而基于最速下降原理的以最小均方误差为准则算法的线性横向滤波器，因LMS算法易于实现和计算量小而在实际中经常被采用．但LMS算法的收敛速度和稳定性主要取决于系统输入信号的自相关矩阵，当自相关矩阵为病态矩阵时，LMS算法的收敛速度会大大降低，甚至出现发散的情况，因而其应用受到了限制．小波变换作为时频分析联合方法，通过尺度的伸缩与平移，可实现信号的时频分解与定位，具有较好的去相关能力．文中主－被动混合控制的主动控制是把小波分析理论和LMS算法结合起来，采用了小波分解的LMS自适应振动控制和Mallat快速算法，提高了小波自适应算法的实时性．其控制原理如图4所示．

图4 基于小波变换域LMS算法的主动振动控制原理Fig．4 Active vibration control principle based on wavelet transformation LMS algorithm

图4中:n=0，1，…，N －1;Us(n)为输入的传感信号;Uc(n)为输出的控制电压信号;d(n)为参考信号;e(n)为偏差信号;rj(n)为小波滤波器;WJ(n)=(w0(n)，w1(n)，…，wJ－1(n))，为自适应滤波器权值向量;vj(n)为小波变换后的信号，

rj(l－ n)为 ψj，k(n)的对偶小波函数．

因此小波变换域LMS输出的控制电压为

更新自适应滤波器权值

其中μ为收敛步长，VJ(n)为小波变换后的信号向量．

3 仿真分析

仿真中自适应滤波器长度和收敛系数分别为32和0．01，自适应滤波器初始权值为0，系统的输入信号为Matlab中的信号发生器生成的30．23 Hz单频正弦信号，采样频率为10kHz．

不同负电容值(无控制，ξ=0．1;Cr=121．60nF，ξ =0．2;Cr=97．28nF，ξ=0．4;Cr=93．80nF，ξ=0．6)下的控制效果与ξ的关系如图5所示．

实际的压电智能结构可简化等效成文献［6］中所述的质量弹簧阻尼系统，采用Simlink进行仿真，仿真参数如下:短路共振频率f0=30．27 Hz，开路共振频率 f1=30．33 Hz，开路阻尼系数 ζ=0．0069，压电元件固有电容C0=91．20 nF，开路电压与位移响

图5 被动控制效果与ξ的关系Fig．5 Relationship between passive control effect and ξ

由图5可见，负电容参数值越接近于压电片电容值(91．20nF)，广义机电耦合系数ξ越大，被动控制效果越好．

当小波变换域LMS算法的输出电压大小固定为200V时，压电片两端电压随广义机电耦合系数ξ的变化如图6所示．

图6 不同ξ下压电片两端的电压Fig．6 Voltages of piezoelectric film with different values of ξ

由图6可见，负电容参数值越接近压电片电容值(91．20nF)，主动控制电压放大效果越好．

基于负电容的主－被动混合振动控制与单独的负电容被控制动或小波变换域LMS主动控制的效果比较如图7所示，为更好地比较，仿真中负电容分支电路参数和小波变换域LMS主动控制参数保持不变，Cr=97．28nF，ξ=0．4，Rp=1.0kΩ．

由图7可见，在负电容分支电路参数和小波变换域LMS主动控制参数保持不变的条件下，基于负电容分支电路的主－被动混合控制效果优于单独的被动或主动控制．

图7 主－被动混合控制与单独被动或主动控制的仿真效果比较Fig．7 Comparison of simulation effects among active-passivehybrid vibration control，the individual active control and passive control

4 实验分析

以工程中常见的薄板结构为例，搭建的实验装置如图8所示，其原理示意图如图9所示，利用上述主－被动混合振动控制方法对薄板一阶振动进行抑制，并通过实验来验证该方法的正确性，讨论负电容参数值对控制效果的影响．

四边固支的铝镁合金薄板的外型尺寸及压电片的粘贴方案如图10所示，薄板和压电片的厚度分别为1．0 和0．2mm，合金薄板密度为2．68g/cm3，杨氏模量为68GPa．实验前利用MSC．Nastran结构分析软件对薄板进行模态分析，计算出合金薄板各阶共振频率大小及相应的应变最大位置．经模态分析知道，压电片1贴于第一阶模态的应变最大位置，可用来控制结构的一阶振动;压电片5用作激励片，因为它的位置离前三阶振动模态的最大应变位置都很近，用它激励薄板可将薄板前三阶振动模态都激发出来;压电片6作为传感片，用于产生主动控制的输入信号．压电片尺寸为 30．0 mm ×30．0 mm ×0．2 mm，压电片电容值为61．80nF．

图8 实验装置Fig．8 Experimental apparatus

图9 实验原理示意图Fig．9 Schematic diagram of experimental principle

图10 压电薄板外形及压电片粘贴方案(单位:mm)Fig．10 Piezoelectric thin plate shape and piezoelectric film paste program(Unit:mm)

激励信号选用频率与需要控制的模态共振频率相等的正弦信号，经激励功放连接压电片5激励四周固支薄板的振动．对于一阶模态控制，压电片6或位移传感器将传感信号经DSpace的AD输入至控制算法的输入口，控制算法的输出经负电容分支电路连接至压电片1，用于控制薄板的振动，负电容电路如图11所示．

图11 负电容电路Fig．11 Circuit of negative capacitance

此时，负电容构造电路的等效负电容值为

实验中，R1=2000Ω，可变电阻R2的范围为0～500Ω，Cg=1μF，只要调节可变电阻 R2的大小，即可得到不同的负电容值，最大负电容可达到250 nF．薄板的一阶共振频率为81．81 Hz．主－被动混合振动控制效果与负电容值的关系如图12所示，其控制效果如表1所示．

由运算放大器的虚短和虚断可知，图11中电路的阻抗为

表1 主－被动混合振动控制效果Table 1 Effect of active-passive vibration hybrid control

由表1可以看出，负电容参数值越接近于压电片电容值，即广义机电耦合系数越大，主－被动混合振动控制效果越好．

单独的主动控制是指主－被动混合控制方法中，去掉负电容分支电路，即图9中小波变换域LMS主动控制器输出经DA端口直接连接至压电片1;单独的被动控制是指主－被动混合控制方法中，去掉主动控制器，即图9中只有负电容分支电路直接连接至压电片1．

为方便比较，实验中3种控制方法的负电容分支电路参数和控制器参数保持不变．小波变换域LMS主动控制器的收敛系数、自适应滤波器波长和自适应滤波器初始权值分别为0．01、32和0，负电容分支电路中电阻Rp为1.5kΩ，负电容Cr为93．50nF;被动控制中，负电容分支电路中电阻Rp为1.5 kΩ，负电容 Cr为 93．50nF．

主－被动混合控制与单独被动和主动控制的实验效果如表2和图13所示．

图12 主－被动混合控制振动效果与负电容的关系Fig．12 Relationship between active-passive hybrid vibration control effect and the negative capacitance

表2 3种控制方法的实验效果Table 2 Experimental effects of three control methods

由表2可见，在负电容分支电路参数和控制器参数相同的条件下，主－被动混合控制效果比单独的主动或被动控制好，与理论分析及仿真结果相吻合．

图13 主－被动混合控制与单独的被动和主动控制实验效果比较Fig．13 Experimental comparison of effects among activepassive hybrid vibration，the individual active control and passive control

5 结语

文中研究了一种含有负电容分支电路的主－被动混合控制系统，并对这种系统的振动抑制效果与负电容参数关系进行了探讨．仿真和实验结果表明，负电容的引入可以增大主－被动混合控制系统的机电耦合系数，即可以提高被动控制的阻尼，又可以放大主动控制的电压，其控制效果优于单独的主动控制或被动控制．将负电容引入主－被动混合振动控制对研究其它类的分支电路的主－被动混合振动控制系统具有重要的指导意义．

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