基于分数阶控制器的PMSM恒速控制*

王瑞萍 史步海 皮佑国

(华南理工大学自主系统与网络控制教育部重点实验室∥自动化科学与工程学院，广东广州510640)

比例积分微分(PID)控制作为线性最佳控制在工业过程控制中得到了广泛的应用．PID控制器依据对象模型进行设计，方法规范成熟，简单实用，因而得到广泛的应用．然而，控制对象的现有模型往往是忽略许多时变、非线性等因素而简化得到的．对于高性能的控制系统，上述因简化被忽略的因素将直接影响系统的性能．人们一般通过建立更加贴近实际对象的模型和改变控制器的适应性对系统的高性能控制进行研究［1-6］．

文献［1］中认为实际系统通常大都是分数阶的，采用分数阶控制器控制有分数阶特性的对象是一种有效的控制方法．对于分数阶PI控制器，除了比例系数Kp、积分系数Ki和微分系数Kd对系统性能有影响外，微分阶次μ和积分阶次对调节系统性能也起到重要的作用，由于微分、积分阶次可以是整数也可以是分数，使得分数阶控制器比整数阶PID控制器调节自由度更大，所以分数阶PI控制器对系统的控制要比整数阶PID控制器灵活［2］．另外，分数阶 PI控制器对本身的控制参数和被控对象参数在一定范围内变化不敏感，能很好地控制系统，加强了系统的鲁棒性．由分数阶微、积分的记忆性质可知，控制器能够保证系统的控制精度［3］．

运动控制系统是以速度、加速度等运动学物理量为被控制量的控制系统．在实际中，运动控制系统可分为恒值控制系统和随动控制系统．文中主要研究恒值控制系统的抗扰性能．恒值控制系统中被控制量设定值一般不变化或变化很缓慢，在外界扰动下控制量受到的影响较小或在系统控制作用下设定值能快速恢复［7］．文中以三相交流永磁同步电机(PMSM)为控制对象，研究分数阶比例积分(FO-PI)速度控制策略．将电流环校正后的对象作为等效对象，研究该系统的速度抗扰性能，并与采用按照时间乘以误差绝对值积分(ITAE)的最优化性能指标设计的整数阶比例积分(IO-PI)控制器的速度控制系统的抗扰性能进行比较．

1 控制对象、控制器和设计准则

1．1 控制对象

交流永磁同步电机通常采用矢量控制策略，令直轴电流id=0后，转速－转矩控制为典型的电流、转速双闭环控制．电流环经电流调节器校正后，简化的转速环系统结构如图1所示．图中E(s)为输入，P(s)为被控对象的传递函数(含电流内环)，C(s)为速度控制器的传递函数，F(s)为扰动(负载力矩)，Y(s)为系统的输出．

图1 简化的转速环系统结构Fig．1 Simplified structure of the speed-loop system

文中采用的交流永磁同步电机的参数如下:相电枢电阻 R=0．29Ω，转矩常数 KT=1．83N·m/A，电气性时间常数T1=19ms，转子惯量J=0．00341kg·m2．电流环采用PI调节器，参数整定后得到电流闭环等效的惯性环节的时间常数为T=0．00112 s，进而得到控制对象的等效模型为

由于式(1)中的系统增益K可以转移到控制器的Kp中而不影响整个控制系统的系统增益，故不失一般性，将对象(1)中的系统增益规范化为1．

1．2 FO-PI和 IO-PI控制器

FO-PI控制器有如下形式:

IO-PI控制器有如下形式:

式中，Kp1和Ki1分别为比例增益和积分增益．

1．3 设计准则

假定截止频率ωc和相位裕度φm已知．为了满足系统稳定性和鲁棒性的要求，由截止频率和相位裕度的基本定理［8］得到关于开环传递函数G(s)的相位和幅值的准则如下［9］:

(1)相位裕度准则

(2)系统增益变化的鲁棒性准则

在给定截止频率处，相位的导数为0．也就是说，相位伯德图在对应截止频率处是平的，即系统对开环增益变化的鲁棒性好，而阶跃响应的超调量应几乎不变．

(3)幅值准则

2 FO-PI控制器的设计方法

由式(1)可知，控制对象的相位和幅值分别为

2．1 分数阶控制器的设计

根据文献［9］提出的设计准则，FO-PI控制器的频域表达式可写为

其相位和幅值分别为

开环传递函数为

由式(7)和(10)得到G(jωc)的相位为

由式(13)可得Ki和之间的关系:

根据准则(2)可得

由式(15)可建立关于Ki和之间的另一关系式:

根据准则(3)可得到关于Kp的方程:

显然，由式(14)、(16)和(17)可以解得 Ki和Kp．

2．2 设计步骤

根据式(14)和(16)，采用作图的方法来求解Ki和．具体步骤如下:

(1)设定系统截止频率ωc=100rad/s和期望的相位裕度φm=60°;

(2)根据式(14)、(16)画出 Ki关于的曲线，如图2所示;

(3)通过曲线交点得到Ki和的图解值;

(4)根据式(17)计算Kp．

图2 Ki与的关系Fig．2 Kiversus

图3 采用FO-PI控制器的系统伯德图Fig．3 Bode diagram of the system with FO-PI controller

3 仿真实验

对于分数阶PI?控制器，分数阶算子s?采用Oustaloup递推滤波器近似［10］．假设需要逼近的频段为(ωb，ωh)，m= ωh/ωb，滤波器的阶次为 2N+1，将s视为一个连续的滤波器，则用Oustaloup算法近似的传递函数为

永磁同步电机伺服控制系统的结构如图4所示，主要包括PMSM、空间电压脉宽调制(SVPWM)、电流调节器(ACR)、速度调节器(IOC/FOC)等．实验设备采用电动机－发电机机组，发电机由PMSM伺服驱动，发电机负载是一个电阻箱．ia、ib和ic为三相电流，θ为电机转子通过位置传感器时的实测角度．

图4 PMSM伺服控制系统的框图Fig．4 Block diagram of PMSM servo control system

文中按照ITAE性能指标来设计整数阶PI控制器，因为按照该指标可设计出具有高负载扰动抑制的控制器，在最大限度地减少系统超调的同时能保持系统的鲁棒性［11］．其数学表达式为

式中，t为时间，e(t)为误差．依据该准则，得到整数阶 PI控制器的参数为 Kp1=2．3 和 Ki1=33［12］．

控制系统在稳态运行中，电动机负载的变化、电网电压的波动等，都会引起系统输出量的变化，经历一段动态过程后，系统总能达到新的稳态，这就是系统的抗扰过程［13］．其中电压波动可用比例系数Kp来描述，而Kp的变化反应了系统参数变化对系统的影响，即系统的鲁棒性．据此，文中通过突加及突减负载来考察外界干扰对系统的影响，通过改变比例系数Kp来考察控制对象参量的变化对系统的影响．

在Matlab/Simulink环境下，按照实际的永磁同步电机模型建模与仿真，采用相同的电流内环，分别通过突加和突减负载来考察采用FO-PI控制器和IO-PI控制器的系统抗扰性能．如图5所示，在t=1s处突加一个负载(幅值为2的一个阶跃响应)，在t=2s处去掉该负载．当开环增益在±10%范围变化时，采用IO-PI和FO-PI控制器的系统鲁棒性能如图6所示．

图5 抗扰性能仿真结果Fig．5 Simulation results of disturbance resistance

图6 Kp变化时系统的阶跃响应Fig．6 Step responses of system with Kpchanges

从图5可以看出，采用IO-PI控制器的速度输出波形在加负载和去负载时都有一个明显的波动，需要一定的恢复时间才能再次达到稳定状态，对应的动态降落ΔCmax和恢复时间tv(见表1，恢复时间是指从阶跃扰动作用开始，到输出量基本恢复稳态所需的时间)比较大;而采用FO-PI控制器的速度输出波形基本保持不变．从输出的结果可以看出，采用FO-PI控制器的系统的抗扰性能要优于采用IO-PI控制器的系统．从图6可以看出，当系统开环增益在±10%范围变化时，采用IO-PI和FO-PI控制器的系统的超调量及过渡过程时间、动态速降及恢复时间都基本保持不变，这意味着闭环控制系统对开环增益变化是鲁棒的，但采用FO-PI控制器的系统的阶跃响应和扰动响应的超调量均比采用IO-PI控制器的系统小．仿真结果表明，FO-PI控制器可以提高控制系统的抗扰性能，采用FO-PI控制器的系统具有较强的鲁棒性．

表1 两种控制器的抗扰性能的仿真结果Table 1 Simulation results of disturbance resistance of the two controllers

4 实验验证

实验装置如图7所示，控制对象为电动机－发电机机组，电动机为日本三洋公司P6伺服电机．具体是通过驱动器控制三相永磁同步电机带动一台发电机，发电机负载为电阻箱．伺服驱动装置为实验室自制，其中同步电机采用SVPWM控制策略，控制器采用DSP2812芯片．

图7 实验装置Fig．7 Experimental setup

Kp是整个控制系统的比例增益，实验中经计算得到控制器的增益为Kp=6．6．文献［14］给出了分数阶PI?控制器的数字实现算法，文中通过将FO-PI控制器算法和IO-PI控制器算法及其参数在驱动装置的DSP中编程来实现速度控制器．电流环采用PI控制，其参数经过一定调试后在整个实验过程中保持不变．

在实验中电机转速或电流采用标么值(p．u．)表示．p．u．=1 表示转速为 1 500 r/min 或电流为60A，实验中给定额定转速为750r/min．在相同电流内环的基础上，通过突加和突减负载来考察采用FO-PI控制器和IO-PI控制器的系统抗扰性能．实验结果如图8所示．当开环增益在±10%范围内变化时，采用FO-PI控制器的系统的阶跃响应曲线如图9所示．

图8 抗扰性能实验结果Fig．8 Experimental results of disturbance resistance

图9 Kp变化时采用FO-PI控制器的系统阶跃响应Fig．9 Step responses of system using FO-PI controller with Kpchanges

由图8可以看出，两种控制器的抗干扰能力都很好，但由FO-PI控制器调节得到的转速波形在负载变化时无明显的波动，而由IO-PI控制器调节得到的速度波形在突加负载和突减负载时会有明显的波动．从图8(d)可以看出，在负载变化时，采用FOPI控制器的系统的速度误差曲线没有出现大的波动，并且采用FO-PI控制器的系统稳态误差要小于采用IO-PI控制器的系统稳态误差，表明采用FO-PI控制器的系统具有比采用IO-PI控制器的系统更强的抗干扰能力．表2更加直观地比较了其抗扰性能的优劣．从图9可以看到，采用FO-PI控制器的系统对开环增益变化具有很强的鲁棒性．

表2 两种控制器的抗扰性能的实验结果Table 2 Experimental results of disturbance resistance of the two controllers

5 结语

文中研究了交流永磁同步电机的分数阶速度控制问题，在同等实验条件下，基于相同结构的控制器和相同的设计准则，通过突加和突减负载，对采用FO-PI与IO-PI控制器的速度控制系统的抗扰性能进行了仿真和原型实验研究，并通过改变系统增益来考察系统的鲁棒性．理论分析和实验结果都表明:对于相同的负载扰动，采用FO-PI控制器的系统的恢复时间和动态降落均比采用IO-PI控制器的系统小，说明采用FO-PI控制器的系统的抗扰性能要优于采用IO-PI控制器的系统;当系统开环增益在±10%范围变化时，FO-PI控制器依然能够有效地控制速度，说明其具有很强的鲁棒性，适于在抗扰性能要求更高的速度控制系统中作为速度控制器．

［1］ Torvik P J，Bagley R L．On the appearance of the fractional derivative in the behavior of real material［J］．Applied Mechanics，1984，51(2):294-298．

［2］ Podlubny I．Fractional-order systems and controllers［J］．IEEE Transactions on Automatic Control，1999，44(1):208-214．

［3］ 薛定宇，陈阳泉．高等应用数学问题的 MATLAB求解［M］．2 版．北京:清华大学出版社，2008．

［4］ Vinagre Blas M，Chen Yang-quan．Fractional calculus applications in automatic control and robotics［C］∥Proceeding of the 41st IEEE CDC2002 Tutorial Workshop．Las Vegas:IEEE，2002:145-174．

［5］ Luo Ying，Li Hong-sheng，Chen Yang-quan．Fractional order proportional and derivative controller synthesis for a class of fractional order systems:tuning rule and hardware-in-the-loop experiment［C］∥Proceedings of the 48th IEEE Conference on Decision and Control and the 28th Chinese Control Conference．Shanghai:IEEE，2009:5460-5465．

［6］ Chen Y Q，Dou H F，Vinager B M，et al．A robust tuning method for fractional order PI controllers［C］∥Proceedings of the 2nd IFAC Workshop on Fractional Differentiation and Its Applications．Porto:Hindawi Publishing Corporation，2006:19-21．

［7］ 陈伯时．电力拖动自动控制系统——运动控制系统［M］．北京:机械工业出版社，2003:52-64．

［8］ 胡寿松．自动控制原理［M］．北京:科学出版社，2001:170-204．

［9］ Li Hong-sheng，Luo Ying，Chen Yang-quan．A fractional order proportional and derivative(FOPD)motion controller:tuning rule and experiments［J］．IEEE Transactions on Control Systems Technology，2010，18(2):516-520．

［10］ Oustaloup A，Sabatier J，Lanusse P．From fractional robustness to CRONE control［J］．Fractional Calculus and Application Analysis，1999，2(1):1-30．

［11］ Awouda A E A，Bin Mamat R．Refine PID tuning rule using ITAE criteria ［C］∥Proceedingsofthe 2nd International Conference on Computer and Automation Engineering．Singapore:IEEE，2010:171-176．

［12］ Dorf R C，Bishop R H．Modern control systems［M］．Upper Saddle River:Pearson Prentice Hall，2005:270-278．

［13］ 郁建平．机电综合实践 ［M］．北京:科学出版社，2008．

［14］ Chen Yang-quan．Impulse response invariant discretization of fractional order integrators/differentiators compute a discrete-time finite dimensional(z)transfer function to approximate srwith r a real number［DB/OL］．http:∥www．mathworks．com/matlabcentral/matleexchange/loadFile．do objectId=21342 objectType=FILE．