与广义欧拉函数有关的方程

俞洪玲，沈忠燕

(浙江外国语学院科学技术学院，浙江杭州310012)

与广义欧拉函数有关的方程

俞洪玲，沈忠燕*

(浙江外国语学院科学技术学院，浙江杭州310012)

利用初等方法，研究与广义欧拉函数有关的方程φ2(n)=2ω(n)、φ2(φ2(n))= 2ω(n)的可解性，并获得方程的所有正整数解.

广义欧拉函数;方程;正整数解

1 引言

为了将Lehmer同余式从模素数的平方推广到模任意整数的平方，蔡天新［6］等定义了如下的广义欧拉函数.

定义 广义欧拉函数

定理1方程的所有正整数解为n=5，8，15，20，24，60.

定理2方程的所有正整数解为n=11，17，25，32，51，55，62，65，68，75，77，80，82，88，93，96，99，100，104，112，122，124，144，165，170，195，204，220，231，238，240，246，260，264，280，286，300，306，308，310，312，336，350，360，366，372，396，450，510，660，714，780，840，858，924，930，990，1050，2310.

2 引理

为了完成定理的证明，我们需要引入一些引理.

引理2 方程φ2(n)=1的正整数解为n=2，3，4，6.

由引理1得

a)当α=β=0时，方程显然无解;

b)当α≠0，β=0时，φ(n)=φ(2α)=2α－1=2，则α=2，即n=4;

c)当α=0，β≠0时，φ(n)=φ(3β)=3β－12=2，则β=1，即n=3;

d)当α≠0，β≠0时，φ(n)=φ(2α3β)=2α－13β－12=2，则α=β=1，即n=6.

综上可得，方程φ2(n)=1的正整数解为n=2，3，4，6.

引理3 方程φ2(n)=2的正整数解为n=5，8，10，12.

证明 由φ2(n)=φ(n)得φ(n)=4，则n的素因数小于等于5，令

由引理1得

a)当α=β=0，γ≠0时，φ(n)=φ(5γ)=5γ－14=4，则γ=1，即n=5; b)当γ=β=0，α≠0时，φ(n)=φ(2α)=2α－1=4，则α=3，即n=8; c)当β≠0，α=γ=0时，φ(n)=φ(3β)=3β－12=4，方程显然无解;

d)当γ=0，α≠0，β≠0时，φ(n)=φ(2α3β)=2α－13β－12=4，则α=2，β=1，即n=12; e)当β=0，α≠0，γ≠0时，φ(n)=φ(2α5γ)=2α－15γ－14=4，则α=γ=1，即n=10;

f)当α=0，β≠0，γ≠0时，φ(n)=φ(3β5γ)=3β－15γ－18=4，方程显然无解;

g)当α=β=γ=0时，方程显然无解;

h)当α≠0，β≠0，γ≠0时，φ(n)=φ(2α3β5γ)=2α－13β－15γ－18=4，方程显然无解.综上可得，方程φ2(n)=2的正整数解为n=5，8，10，12.

引理4 方程φ2(n)=4的正整数解为n=15，16，20，24，30.

证明 由φ2(n)=4可知φ(n)=8，则n的素因数小于等于5，令

用引理3的方法可得方程φ2(n)=4的正整数解为n=15，16，20，24，30.

引理5 方程φ2(n)=8的正整数解为n=17，32，34，40，48，60.

证明 由φ2(n)=8可知φ(n)=16，则n的素因数小于等于17，由16的因子可以令

用引理3的方法可得方程φ2(n)=8的正整数解为n=17，32，34，40，48，60.

引理6 方程φ2(n)=16的正整数解为n=51，64，68，80，96，102，120.

证明 由φ2(n)=16可知φ(n)=32，则n的素因数小于等于17，由32的因子可以令

用引理3的方法可得方程φ2(n)=16的正整数解为n=51，64，68，80，96，102，120.

引理7 方程φ2(n)=5的正整数解为n=11，22.

证明 由φ2(n)=5可知φ(n)=10，则n的素因数小于等于11，由10的因子可以……