区间数指标权重确定的熵值法改进

郭秀英

0 引言

多指标决策问题广泛存在于经济、管理、工程和军事等领域中。而多指标决策中合理确定指标权重是一个非常重要的工作，因为其关系到方案优选或排序的可靠性和准确性[1]。因此，研究多指标决策问题指标权重的确定，具有重要的理论意义和实际应用价值。指标权重的确定方法主要有两大类[2]：一类是主观赋权法，另一类是客观赋权法。主观赋权法是由专家根据经验对实际问题主观判断合理确定各指标相对重要性程度，并通过数学处理获得反映指标实际重要程度的近似权重。这类方法已有成熟的研究成果，如：Delphi法、AHP法、最小平方和法、特征向量法等。其显著的特点是确定的指标权重能反映指标实际重要程度的顺序情况，但主观随意性大。适用于根据指标本身含义确定权重，或决策者进行多指标决策时定性指标较多且对各指标有偏好的指标权重的确定。客观赋权法是根据决策矩阵中某指标下各方案指标值差异的大小来确定其权重，各方案指标值差异越大，该指标权重越大，反之，该指标权重越小。其显著的特点是确定的指标权重具有绝对的客观性，无主观影响，但确定的权重有时与实际相悖，即最不重要的指标可能具有最大的权重，最重要的指标却不一定具有最大的权重。因为最重要的指标不一定使所有决策方案的指标值具有最大的差异，最不重要的指标却有可能使所有决策方案的指标值具有最大的差异。实际决策中，各方案指标值无差异的指标不予考虑。因此，该类方法适用于决策者进行多指标决策时定量化指标较多且对各指标无任何偏好的指标权重的确定。多指标决策问题的指标权重客观确定已引起专家、学者的广泛关注，取得了一些研究成果。指标值为精确数的指标权重客观确定方法主要有：（1）离差最大化方法[3]—[6]。文献[3]依据指标下各方案指标值的极差或均方差的大小确定各指标的权重，不太合理，因为某指标下各方案指标值的极差或均方差大，不一定其各方案指标值间的离差就大；文献[4]、[5]依据各方案的加权规范化指标值间的偏差最大确定各指标的权重，计算烦琐，且要求权重满足单位化约束条件，这有别于人们的习惯用法——权重满足归一化约束条件，求得的权重不能充分反映各指标提供信息的重要程度大小；文献[6]综合指标值的离差最大化和指标值权重信息熵最大化确定各指标权重，其权重信息熵最大化有悖于多指标决策的思想。因为，权重信息熵越大，权重信息的无序度越高，权重可利用程度越低[7]，而求解多指标决策问题一般期望各指标的权重区分度越高越好，即决策中权重的利用程度越高越好。（2）理想方案偏离法[8]—[10]。依据各方案的加权规范化指标值与理想方案的偏差最小，或与负理想方案的偏差最大确定各指标的权重。不太符合客观赋权法的基本思想，因为：①未充分利用指标值的客观信息；②各方案指标值与理想方案指标值的差异不能反映各方案指标值间的差异状况。因此，求得的指标权重只是反映各方案与正理想方案指标值偏差最小，与负理想方案指标值偏差最大的指标权重，不能反映指标值提供的决策信息的重要程度[11]。（3）熵值法[12]。利用多指标决策问题各指标下各方案指标值提供的信息熵来确定指标权重，是多指标决策的较成熟的一种客观赋权法。指标值为区间数的指标权重客观确定方法，借助于指标值为精确数的指标权重客观确定方法的思想，增加区间数指标值偏差的处理，也主要有三类研究成果：（1）离差最大化方法[13]—[15]。思想同文献[4]、[5]。但指标值规范化标准不统一。（2）理想方案偏离法[16]—[19]。思想同文献[8]—[10]。但文献[17]的理想方案不合理，并要求权重向量满足单位化条件，不符合人们的习惯用法；[16]、[18]、[19]指标值规范化标准不统一。（3）熵值法[20]。以各方案区间数指标值与理想方案区间数指标值的相离度序列信息熵确定各指标权重。不太符合客观赋权法的基本思想，因为此相离度序列信息熵，不能充分反映各方案指标值间的偏差程度。另外，此三类方法在区间数指标值偏差处理中，除[13]、[14]外，均存在区间数相离度或距离的定义与精确数相离度或距离的定义不符。综上分析，离差最大化方法、熵值法符合客观赋权法的基本思想和原理，是较好的客观赋权方法论。但离差最大化赋权和区间数指标熵值法赋权存在一定的不足，有必要对其进行进一步的研究，以完善客观赋权法的理论与方法。本文仅针对区间数指标熵值法赋权的不足进行研究，综合利用区间数指标值上、下界序列的信息熵，合理衡量各方案区间数指标值间的差异，提出一种新的区间数指标客观赋权的熵值法。

1 区间数指标权重确定的熵值法原理与算法

定 义1[21]设 非 负 序 列 X={x1,x2,…,xm} ，且。则称:

为序列X的信息熵。规定：0ln0≡0

可见，信息熵 E≥0；当 x1=x2=…xm=1/m时，E=1。因此，0≤E≤1，E值越大，序列X越趋于常数列，即序列X中的元素偏差程度越小；E值越小，序列X中的元素偏差程度越大。即序列X的信息熵E是反映序列X中元素的偏差程度的。

设多指标决策问题有m个可行方案：A1、A2、…、Am，n个评价指标：G1、G2、…、Gn，可行方案 Ai在评价指标Gj下的指标值为非负区间数，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n。决策矩阵为：。评价指标Gj的权重为 wj（ j=1,2,…,n）未知，并且

由客观赋权法的原理，评价指标Gj下各方案指标值偏差越大，则该评价指标对方案优选或排序的作用越大，该评价指标的权重也应越大；反之，则该评价指标对方案优选或排序的作用越小，该评价指标的权重也应越小。

评价指标Gj下各方案区间数指标值序列的偏差体现在其上界值序列的偏差和下界值序列的偏差。而定义的序列信息熵能准确度量评价指标Gj下各方案区间数指标值的上界值序列偏差程度和下界值序列偏差程度。

评价指标Gj下各方案区间数指标值的下界序列信息熵E-j：

目前，地铁轨道建设规模已经成为衡量城市水平的一个重要标准，发达的地铁轨道可以提升人们的出行速度，降低交通压力，提升城市效率。我国的地铁轨道建设项目规模不断增大，其质量安全问题必须得到充分的关注。加强施工中的重点难点分析，并提出科学合理的应对措施对提高地铁轨道项目的质量至关重要，对延长工程项目的使用寿命、降低工程成本有很大的作用。

其中：

上界序列信息熵E+j：

其中：

因此，评价指标Gj下各方案区间数指标值序列的偏差程度，可以其下界序列信息熵E-j和上界序列信息熵的平均值反映。

称Ej为评价指标Gj下各方案区间数指标值序列的信息熵。

熵值Ej越大，Gj指标下各方案区间数指标值间的偏差越小，也即Gj对方案优选或排序的重要程度越小，则Gj指标的权重越小；熵值Ej越小，Gj指标下各方案区间数指标值间的偏差越大，也即Gj对方案优选或排序的重要程度越大，则Gj指标的权重越大。

因此，Gj指标对方案优选或排序的重要程度dj为：

区间数指标Gj的权重为：

综上所述，熵值法确定区间数指标权重的算法：

（3）按式（6）计算各方案区间数指标值序列信息熵Ej（j=1,2,…,n）。

（4）按式（7）计算Gj指标对方案优选或排序的重要程度 dj（ j=1,2,…,n）。

（5）按式（8）计算Gj指标的权重 wj（ j=1,2,…,n）。

2 实例分析

新产品开发投资方案评价问题[15][20]。为开发新产品，拟定了5个投资方案 A1、A2、A3、A4、A5，各方案的4个评价指标值如表1所示。试根据各方案评价指标值信息确定各评价指标的权重。

下面用本文给出的熵值法求4个评价指标的权重。

（1）各方案指标值的下界决策矩阵：

表1 各方案指标值

由式（2）、（3）计算出各方案区间数指标值的下界序列信息熵：

（2）各方案指标值的上界决策矩阵：

由式（4）、（5）计算出各方案区间数指标值的上界序列信息熵：

（3）由式（6）计算各区间数指标值序列信息熵：

（4）由式（7）计算各指标对方案优选或排序的重要程度：

（5）由式（8）计算各评价指标的权重：

此计算结果与文献[15]的结果相近，并且权重的大小顺序完全一致。说明本文的方法是有效可行。

3 结论

针对指标值为区间数的多指标决策中指标权重确定的客观赋权问题，本文提出了一种基于评价指标下各方案区间数指标值的差异程度确定区间数指标权重的分析方法。该方法中，依据客观赋权的原理和序列信息熵的含义，利用各指标下各方案区间数指标值的上、下界序列的信息熵，反映各方案指标值的偏差程度，给出了确定各区间数指标权重的一种熵值法。该方法简捷合理，计算量小，可操作性强。实例分析表明，该方法分析思路清晰，能充分运用多指标决策问题各指标值的信息，合理有效，简单实用。因此，本文的研究对完善权重信息未知的区间数多指标决策问题的权重客观确定，有一定的理论意义和实用价值。

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