商务楼租赁合约的偏微分方程定价模型

顾锋娟 ，岑仲迪

（1.上海财经大学 金融学院，上海 200433；2.浙江万里学院 计算机与信息学院，浙江宁波 315100）

0 引言

随着我国经济持续快速发展，社会对商务楼的需求日益增加，形成了一个庞大的商务楼租赁市场。而且商务楼租赁合约包含的条款内容也越来越丰富，出现了“租售同步”[1]、“租金可调整”、“可提前终止”[2]等形式的租赁条款。一种常见的有停租条款的商务楼租赁合约包含如下主要内容：（1）商务楼租赁双方约定一定的租赁期限；（2）承租方按约定的单位时间（例如，一个月、一个季度或一年）向出租方交纳固定房产租金；（3）承租方可以提前终止租赁合约，但需向出租方交纳约定的违约金（出租方可以提前收取房产出租押金形式来保证违约金条款的实施）。由于房产租赁市场价格的变化，从承租人对合约的执行情况看有两种方式：继续持有合约直至合约终止；违约。

此商务楼租赁合约与固定利率抵押贷款合约有较多相似之处：（1）都是按约定时间支付固定款额方式来履行合约；（2）由于风险资产市场价格的变化，合约持有人要么违约，要么持有合约直至合约终止。李少华和韩丰锐[2]应用处理障碍期权的方法对这类含停租条款的商务楼租赁合约进行了定价分析。本文应用定价固定利率抵押贷款合约的思路来构建商务楼租赁合约定价模型，并应用基于自适应的有限差分法进行数值计算，得到相应的租赁合约价值。

1 定价模型

下面从承租人角度建立商务楼租赁合约的偏微分方程定价模型。首先给出模型的基本假设：

（1）市场是无套利的，无摩擦的，存在风险中性的鞅测度；

（2）无风险利率r＞0是常数；

（3）商务楼租赁合约敲定的固定月租金为m（单位面积商务楼的月租赁价格）；

（4）商务楼租赁期为[0,T]；

（5）商务楼租赁的市场价格St（单位面积商务楼的月租赁市场价格）遵循几何Brown运动

其中μ为期望回报率，σ为波动率，μ和σ均为大于零的常数，Wt是标准Brown运动。由于商务楼租赁量日益增大，尤其在较发达的城市和地区，因而假设商务楼租赁价格服从几何Brown有其合理性[1，2]；

（6）承租人如果提前终止租赁合约，需要支付单位面积商务楼的违约金E（出租方可以提前收取房产出租押金形式来保证违约金条款的实施）。

由于合约的支付日相对合约生命期来说比较密集，所以可以近似地认为承租人是连续支付商务楼租金的。则t时刻商务楼租赁合约持有到期还需要支付的租金余额为

商务楼租赁合约的市场价格

依赖于商务楼租赁的市场价格St和时间t。下面利用Δ-对冲技巧，给出商务楼租赁合约市场价格的定价模型（其主要思想方法可参见文献[3，4]）。为此构造如下投资组合Π

其中Δ待定。考虑[t,t+dt]时段内投资组合的改变量

而且这个组合是无风险的，并且是无套利机会，那么资产回报率必为r，故有

对（3）应用Ito引理可得

将式（1）、（4）和（6）代入（5）可得

由于等式（7）右边是无风险的，因此随机项dWt前的系数必定为0，即只能取时等式才成立。将它代入式（7）中，消去dt，可知商务楼租赁合约市场价格满足如下微分方程

如果商务楼租赁的市场价格上升，高于租赁合约约定的租赁价格，那么承租人拥有的租赁合约价值得到提升，承租人将继续持有租赁合约；如果商务楼租赁的市场价格下降，低于租赁合约约定的租赁价格，那么承租人拥有的租赁合约价值下降，当需要支付的租金余额减去违约金还足以重新租赁，那么承租人将毁约。因此由承租人行为可把商务楼租赁问题分割为以下两个部分：

继续持有区域满足Lv=m；违约区域：满足Lv＜m，

这里

从而可得商务楼租赁合约市场价格v(S,t)满足如下线性互补问题：

注1：文献[2]将违约金设定为合约到期时间的减函数，即离合约到期时间越远，给出租方带来的不利影响越大，需要支付的违约金越高；离合约到期时间越近，给出租方带来的不利影响越小，需要支付的违约金越低。这样设定违约金有其合理性。考虑到实际租赁合约中大多约定固定违约金，因此本文假设承租人毁约支付固定违约金。

2 有限差分策略

对线性互补问题（8）～（12）进行数值求解时，需要截断空间无穷定义区域(0,+∞)成有限区间(0,Smax)。基于Wilmott等人[5]的估计，资产价格的上界一般是三倍或四倍的执行价，因此这里取Smax=4m。一般地，这样的无穷截断产生的误差是比较小的，有关的误差估计可参见文献[6]。因此下面我们求解如下线性互补问题：

我们应用文献[7]中的基于自适应网格的有限差分策略来求解线性互补问题（13）-（17）。为避免出现数值计算的非物理震荡，我们将空间定义区域[0,Smax]剖分成一个分片一致网格ΩN：

我们将时间定义区域[0,T]等分成K个小区间，记此等距网格为ΩK。易知空间网格步长hi=Si-Si-1和时间网格步长τj=tj-tj-1分别满足

在分片一致网格ΩN×ΩK上对Black-Scholes微分算子L采用中心差分离散格式：

则线性互补问题（13）～（17）的离散策略为

通过区分不同网格点集，在相应的网格点集上应用极大模原理，由文献[8]可知，此有限差分策略对于任意波动率和任意利率都是稳定的，并且是关于风险资产价格二阶收敛的。

应用迭代投影法[8]来计算离散线性互补问题（18）-（22）。首先计算

这样保证了约束条件（19）和（20）都是满足的。

某商务楼租赁合约的各个参数取值分别为：σ=0.3，r=0.04，T=25，m=1，E=2，Smax=4，N=K=128。应用迭代投影法可计算得到各个市场价格和各个时间所对应的商务楼租赁合约价值（如图1所示）。

图1 租赁合约价值

3 结论

本文分析了一类商务楼租赁合约的期权特性。通过分析发现商务楼租赁合约与固定利率抵押贷款合约有较多相似之处，因此本文应用定价固定利率抵押贷款合约的思路来构建商务楼租赁合约定价模型。应用Δ对冲方法及Ito引理，在风险中性意义下，建立了商务楼租赁合约的偏微分方程定价模型。应用基于自适应的有限差分法对定价模型进行数值计算，得到相应的商务楼租赁合约价值。此定价方法也可用于诸如售房养老计划，家电期权、人寿保险合约等带有分期付款特征的期权定价，以获得相应的期权价值。

[1]姜礼尚，徐承龙，任学敏，李少华等.金融衍生品定价的数学模型与案例分析[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]李少华，韩丰锐.商务楼租赁合约的定价[J].上海师范大学学报（自然科学版），2010，39（4）.

[3]袁桂秋，姜礼尚，罗俊.固定支付利率的抵押贷款定价理论——限于在支付日提前支付或违约[J].系统工程理论与实践，2003，23（9）.

[4]坚雄飞，易法槐.分期付款购房模型及其抛物障碍问题[J].数学物理学报，2007，27（6）.

[5]Wilmott P,Dewynne J，Howison S.Option Pricing:MathematicalModels and Computation[M].Oxford：Oxford Financial Press,UK,1993.

[6]Kangro R,NicolaidesR.FarField Boundary Conditionsfor Black-Scholes Equations[J].SIAM Journal on Numerical Analysis,2000,38(4).

[7]Cen Zhongdi，Le Anbo.A Robust Finite Difference Scheme for Pricing American Put Options with Singularity-Separating Method[J].Numerical Algorithms，2010,53(4).

[8]Brennan M J,Schwartz E.The Valuation of American Put Options[J].Journal of Finance,1977,32(2).