关于高等数学中分段函数的讨论

费彦宏，李 茜

(山西运城农业职业技术学院，山西 运城 044000)

1 分段函数的定义

有时一个函数要用几个式子表示，这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数.

若分段函数在点x0两侧的表达式不同，则将点x0称为分段点，也可称为分界点.

例如，函数

函数

注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数.

2 分段函数在点x0处的函数值

结论：要求分段函数在点x0处的函数值，应先确定点x0所在的自变量的取值范围，再按相应的表达式进行计算.

例1 设函数

解：显然，f(0)=1

∵-1<0,∴f(-1)=(-1)2=1

∵1>0,∴f(1)=2×1+3=5

3 分段函数在点x0处的极限

结论：要求分段函数在点x0处的极限，应首先判断x0是否为分段点

(Ⅰ)若x0是分段点，则应先求出x0处的左、右极限，再根据极限存在的充 要条件，从而得出在x0处的极限

(Ⅱ)若x0不是分段点，有两种情况[1]94-95：

a.先确定x0所在的自变量的取值范围，再利用相应的表达式求出在x0处的极限

b.直接利用极限的定义求

例2 函数

解：(Ⅰ)显然，x0=0是分段点

(Ⅱ)显然，x0=-1不是分段点

(Ⅲ)显然，x0=1不是分段点

例3 设函数

解：显然，x0=0不是分段点

4 分段函数在点x0处的连续性与可导性

由上述定义可得以下结论[2]35-37

可导与连续的关系：若函数y=f(x)在点x0处可导，则在该点必连续.

另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.

由可导与连续的关系，可得下面结论，

结论：要讨论函数f(x)在点x0处的可导性与连续性，可先判断在x0处的连续性，再判断可导性. 具体如下：

(Ⅰ) 若在x0处不连续，则在x0处不可导.

例4 讨论例2中函数f(x)在x=0处的可导性与连续性

例5 讨论例3中函数f(x)在x=0处的可导性与连续性

∴f(x)在x=0处可导.

例6 讨论函数

解：显然，f(x)在x=0处连续，而x=0是分段点，

5 分段函数的不定积分

结论：要求分段函数的不定积分，应先分别求出自变量的各取值范围上的不定积分，再根据连续性确定各积分常数.

6 分段函数的定积分

结论：要求分段函数的定积分，应先进行分段积分，然后相加.

解：

=1-(-1-1)-(-1)

=4

[1] 王晓东. 分段函数在教学过程中的问题探析[J]. 漯河职业技术学院学报，2008，7(2).

[2] 何 波,岳卫芬. 试论分段函数的特征[J]. 高等函授学报(自然科学版)，2004，17(6).