巧用轴对称知识解决实际问题

陈佩山

摘要：本文研究了“轴对称变换法”在求线段和的最小值、求线段差的最大值问题中的应用与意义，并从原理上进行了理论性分析，同时对应用中出现的两种情况——“最大值、最小值问题”进行了分类归纳与总结。

关键词：特殊方法；轴对称知识；解决方法

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)07-0143

求线段和的最小值和线段差的最大值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单地解决。下面通过几个典型的例题来说明轴对称知识在解决问题中的作用。

轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。也就是说，在轴对称图形或两个成轴对称的图形中的两个对应点到对称轴上任意一点的距离都相等。

一、利用轴对称性求线段之和的最小值

例1. 如图，草原上两居民点A，B在笔直河流L的同旁，一汽车从A处出发到B处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在图中画出这一点。

分析：将这一问题转化为数学问题，即已知直线L及同侧的点A和点B，在L上确定一点C，使AC+BC最小。

首先，我们思考若点A和B点分别在直线L的两侧，则点C的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C应是AB与直线L的交点，如图(2)，这就是说，设线段AB交L于点C，点C′是直线上异于点C的任意一点，总有AC+BC

解：如图(3)，作点A关于直线L的对称点A′，连接A′B交L于点C，则点C的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C处可使行驶的路程最短。……