数学教学知识测试工具简介及其相关应用

邵珍红，曹一鸣

（北京师范大学 数学科学学院，北京 100875）

数学教学知识测试工具简介及其相关应用

邵珍红，曹一鸣

（北京师范大学 数学科学学院，北京 100875）

密西根大学LMT项目组基于舒尔曼PCK的概念，通过收集教师在教学中所用到的数学知识，开发了一套测试数学教学知识的测试工具，覆盖K—8年级基本的数学教学内容，并对美国4—8年级数学教师进行了大规模随机抽样试测，发现此测试工具具有较好的效度和信度．MKT测试工具的开发不仅能在实践层面上去测量教师个体或群体的数学教学知识水平，而且还能研究教师的这类知识对于学生学业成就及教师教学质量的影响，后续研究表明教师的数学教学知识对于学生学业成就预测是显著的．在测试题目的编写过程中还探索了数学教学知识的内涵及其成分．

数学教学知识；MKT；测试工具

教师知识是影响教师教学的重要因素之一，对学生学习的影响是显著的[1~2]，自舒尔曼提出教学内容知识（PCK）的概念后，研究者们从两个方面对教师知识进行研究，一方面是影响教学的教师知识的分类的理论发展，另一方面通过发展测试工具去研究教师知识．在数学学科领域，数学教育界的研究者沿着PCK的定义从实践层面的数学教学知识的测量到数学教学知识的理论的发展，以及教师的数学教学知识与课堂教学其它因素之间的关系等．对教师知识的研究也引起了中国学者的注意，研究者对各个年级层面的新手教师、职前教师、优秀教师等从教学内容知识、数学教学内容知识的内涵、构成、特征、发展途径等方面进行了研究，以及对教学、教师专业发展及教师培训的启示等[3~9]．密西根大学的研究团队不仅从理论的方面对数学教学知识（Mathematical Knowledge for Teaching，简记成：MKT）的框架进行研究，而且还设计出MKT的测试工具去测量教师的数学教学知识，根据测试工具在大量样本试测的心理统计学结果去验证和修正MKT的理论模型．

文章从数学教学知识的内涵，数学教学知识测试工具的研制与开发，数学教学知识测试题的特征及数学教学知识的主要研究成果等几个方面介绍数学教学知识测试工具及其相关研究．

1 数学教学知识

密西根大学的Deborah Ball教授及其团队也在舒尔曼的研究的基础上，关注教师日常的工作所需要的数学知识，收集教师录像、课堂录音、手稿、学生课上练习、家庭作业、学生测试及教师的教学计划、笔记、反思等材料，对教师要做“数学教学”这项工作所需的数学知识进行研究．教师必须非常熟悉所教的学科内容知识，但同时，对于教学来说，教师仅仅熟悉所教的学科的内容知识还不够；另外教师还必须从别的途径去了解数学，使教师有益于了解学生工作的数学意义以及选取有利于学生理解的合适的教学方法，所以仅了解高等数学并不能满足教学的要求，还需要对教师的数学教学知识进行研究和测量．她们认为数学教学知识由两部分组成：学科知识（Subject matter knowledge）及教学内容知识（见图1）．学科知识包含一般内容知识（common content knowledge，简记为：CCK）和特殊内容知识（specialized content knowledge，简记为：SCK）及水平化知识．教学内容知识包含关于内容和学生的知识（knowledge of content and student，简记为：KCS），关于内容和教学的知识（knowledge of content and teaching，简记为：KCT）及关于教材的知识．一般内容知识指受过良好教育的成人所具有的数学知识；特殊内容知识指教学所特需的数学知识；当教师选择一个例子或者布置一个任务时，要预测学生是否有兴趣或者有动力参与，要知道什么样的学生能参与以及这些任务对于他们的难易程度等这些知识都属于关于内容和学生的知识范畴；教学设计中如何选择例子让学生能够更深入地理解知识等这些知识属于关于内容和教学的知识范畴．在Ball教授的数学教学知识的模型中，还有两块知识有待后续研究，一个是关于教材的知识，另一个是水平知识．总之，数学教学知识只针对数学学科，对数学教师为了教数学所需的数学知识从教师日常教学实践的角度研发测试工具，再通过大样本测量数据的统计分析结果和教学实践相结合，对数学教学知识的结构特征及其概念进行理论研究．数学教学知识的含义是为了教数学所需要的数学知识，出发点是教学而不是教师本身[10]．

图1 数学教学知识

2 数学教学知识的测试工具的研制与开发

教师的数学教学知识往往通过数学课堂得以体现，教师知识与其课堂实践有时候是脱节的，教师知道多少并不等于他能用多少，所以从问卷调查和深度访谈或者观察教师们所使用课程材料等角度，并不能真实地反映教师在数学教学过程中所需的数学知识．教师的数学教学知识必须从教师的教学实践中提取出来．MKT测试工具是密西根大学团队在Ball教授的带领下，从教师的日常工作入手，关注开展数学教学工作所需要的知识，在2001年开始编写．最初主要针对小学数学教师的数学教学知识编写，后来发展到中学数学教师的MKT的测试工具的开发．那么如何编写题目去捕捉数学教学知识呢？密西根团队首先明确，测试题目主要针对教师在教学中用到的数学知识，而非教师所教的内容；其次挑选项目围绕所有教师在教数学的时候有可能面对的问题；最后确定从3个方面综合组织项目：数学内容（如数的概念、代数、几何、概率统计等）、教数学课的一般任务（如组织学生的讨论、评价学生的工作、评价课程材料等）、教学中的数学任务（如利用定义、运算的表征、各个表征策略之间的连接等）．编写测试题目的专家包含教师教育工作者、教学领导、数学家、课程编写人员、数学教育方面的研究人员及心理测量方面的专家等．每两年所有的编写人员参加一个“项目编写夏令营”，集中讨论编写．

项目组最初编制的110个题目，内容方面包括数的概念、运算、模式、函数和代数、几何5个方面，教数学课的一般任务和教学中的数学任务与这些内容区域相交叉．这些项目共组成3套试卷对加利福尼亚州近一千五百名教师进行了试测[5]，利用项目反映理论、因子分析等统计学的方法，对这套测试问卷的信度和效度进行了检测．从2005年开始，LMT项目组加入中学数学4—8年级的数/运算和代数部分，对全美国抽样试测．研究者先从国家教育统计中心数据库用分层抽样方法在不同的区域选取公立小学和中学，然后再对选取的公立学校及教师进行随机抽样．每套测试题的试测样本是400—500名4—8年级的数学教师，为了保证测试的效度，每个参加试测的教师得到50美元的报酬．到目前为止，密西根团队已经拥有数与运算（K—6，6—8年级），模式、函数与代数（K—6，6—8年级），几何（3—8年级）等的MKT的测试工具；他们还设计了4—8年级的特殊模块的MKT测试工具：有理数、比例推理、几何、概率统计[11]．

3 数学教学知识测试题目特征

（2）测试题目内容覆盖广泛，包含数的概念、运算、模式、函数和代数、几何等，几乎涵盖了K—8年级数学的主要内容．在测试过程中，并不针对特定教师抽出该教师所教年级对应的数学内容进行测试．而且测试题目主要测试数学教学知识的4部分：一般内容知识、特殊内容知识、关于学生和内容的知识及关于内容和教学的知识．比如下面的两个例子，一道题目是测试特殊内容知识，另一道题目测试关于内容和教学的知识．

（3）测试工具的研制与开发经由教育、教学、数学等各方面的专家一起合作发开，且每一套试卷均通过对至少400位4—8年级的数学教师的试测，有很好的信度和效度[12]．

（4）当前学术论文使用的测试题目及教师水平资格考试题目不仅测试教师的高等数学知识，而且还测试一般教学法知识．但数学教学知识的测试题目并不是简单地将一般教学法知识、课程知识、数学知识、教育理论知识等分别进行测量，而是将测试题目从数学内容（如数的概念、代数、几何等）、教数学课的一般任务（如组织学生的讨论、评价学生的工作、评价课程材料等）、教学中的数学任务（如利用定义、运算的表征、各个表征策略之间的连接等）3个方面整合而成，测试教师为了教学的数学知识．

例如：2008年LMT项目公开的第2题[13]：

想象一下你的班级正在学习两位数的乘法，在学生的作业中，出现以下的结果：

数学教学知识测试题目有以下的特征：

（1）测试题目是单项选择题，选项一般有3—6个．

你怎么判断这些学生使用的方法可以用于任何两位整数相乘？（请对每个问题分别选择有效、无效或不确定）

此题目是一道由3个小题组成的单项选择题，题目设计的数学内容是两位数的乘法．但此项目并不是直接考试教师如何去计算一个两位数的乘法，而是融合了教师教学过程中学生易出现的问题来考察教师的数学教学知识．在平时的教学过程中，教师会面对各种各样的学生的结果，他们必须弄清楚学生都做了什么，学生的想法在数学上是不是正确的，而且学生的这种方法能不能运用到一般的问题上．普通的数学知识或者一般的教学法知识不能回答这样的问题．这个项目基于教师在两位数乘法教学过程中可能遇到的问题，教师不仅要回答学生的每种方法在数学思维是不是正确，而且还需要判断这3种方法对于一般的两位数的乘法是否适用．可以看出这是数学教学中一个非常经典的教学法案例，而且这个例子表明数学教师所具备的一般的数学内容知识不足以去解决两位数乘法问题怎么去教的问题．因此知道怎么去问和怎么去回答这样的数学上的问题对于数学教师在教学上的判断是必要的．

再例如2008年LMT项目公开的第24题[13]：

王老师的课堂正在做一个关于如何计算三角形未知内角度数的作业，其中一个学生一直利用直角三角形的性质，将未知内角放入直角三角形中，从90减去已知的角度得出未知的角度．例如：

王老师认为这个学生在解决更一般三角形中未知角的个数方面可能会出现困难，以下哪个问题可以最大程度地帮助学生澄清这个问题（单选题）

a) “当你90 + 62 + 28时得到什么?”

b) “为什么从90中减去62可以得到未知内角的度数？”

c) “你怎样找一个等腰三角形的未知角的度数？”

d) “你怎么知道这是一个正确的三角形？”

e) “如果这个角是17°而不是62°会怎么样？”

此项目设计三角形内角和的知识，涉及到教师选择什么样的教学方式能够让学生理解数学知识．这道题测量教师几何方向的关于内容和教学的知识，本题给出的答案是b，答案b的提问能够引导学生在求解三角形中未知角度数的时候用到三角形的内角和为180°这个关键数学知识．

总之，MKT测试工具主要测试教师在教学中需要用到的数学知识，而不是教师教了什么．

4 数学教学知识的主要研究成果

自从密西根大学团队提出数学教学知识的概念，研究者主要从4个方面对数学教学知识的发展进行介绍．

（1）密西根大学团队从研究小学教师在日常教学中所需要的数学知识的质性分析入手编制数学教学知识测试题目，并在题目编制的过程中辅助运用大尺度测量的心理统计学知识探索数学教学知识的内涵及其成分[10,12,14]，到目前为止，密西根大学团队拥有了K—8年级的MKT的测试工具．其他学者也对数学教学知识结构模型是否能运用到大学及高中数学教师身上做了研究[15]．

（2）Hill教授还研究了教师的数学教学知识水平与学生学业成就及教师特征之间的关系进行了研究，结果显示教师的数学教学知识水平在统计意义上对于学生成绩的预测是显著的[16]，但影响学生成绩的因素不仅仅是教师的数学教学知识，而且还有教师的教学方式[17]，课堂教学中使用的任务认知水平[18]等；教师的教学经验也跟教师的数学教学知识水平有一定的相关关系[19]．

（3）教师的课堂教学与教师MKT之间的关系也引起了很大的兴趣．Hill及其团队对参加MKT测试的数学教师的课堂录像进行编码分析，发现教师的MKT与课堂的教学质量之间有显著关系[20]．学者Morris等从职前教师角度分析教师的MKT与课堂教学计划及实施的关系[21]；还有学者采用个案分析的研究方法说明教师的MKT与课堂教学之间的关系[22]；还有部分学者将MKT模型结构运用到具体的数学领域如“证明”[22]、“可导”[23]、“分数”[24]等．

（4）MKT测试工具也被在别的国家广泛运用．虽然MKT的测试工具是由美国研究者基于美国数学教师开发研制，但数学教师的数学教学知识是每个国家的研究者所关心的问题，爱尔兰、挪威、印度尼西亚、加纳、韩国纷纷引入MKT测试工具，研究本国教师的为了教学的数学知识[25~29]．

5 讨 论

研究者对于数学教学知识的研究起点是PCK的提出，舒尔曼认识到教学需要一种特殊的学科内容知识，值得研究者们对具体学科做深入的调查研究．Ball教授及其团队对于数学教学知识的贡献来源于教师的教学实践，而且明确了教师的数学教学知识的成分，并开发了测量教师数学教学知识的测试工具．数学教学知识测试工具开发的目的不仅从理论上探索数学教学知识的内涵及其成分[4，7]，而且在实践层面去测量教师数学教学知识的水平，了解教师数学教学知识现状，而且还希望能测量这类知识对于学生学业成就的影响及对教师教学质量的影响．后续的研究表明教师的MKT对于学生学业成就预测是显著的，而且和教师的教学质量呈现正相关[6]．这意味着提高教师的数学教学知识水平不仅能提高教师的教学质量而且还能提高学生的学习成绩．这一有效且可信的测试工具大样本测量得出的结论对于教育政策制定者提供决策依据．所以数学教学知识是一个值得继续深入研究的课题．

（1）如何研发测量中国教师的数学教学知识的测试工具．中国和美国的基础教育从课程的理念、课程的目标、课程的内容等方面都不尽相同，课堂教学是带有文化色彩的活动[30]，所以中美两国教师的日常教学实践也有所不同．现有MKT的测试工具及其相关研究结果基于美国教师的日常教学实践，研制开发出测试美国教师个体或群体的测试工具．那么如何借鉴美国的数学教学知识的测试工具的研发过程，去研制和开发中国数学教师的数学教学知识的有效且可信的测试工具呢？从而推断中国教师的数学教学知识水平．

（2）教师数学教学知识水平对教师教学、学生学业成就的影响．美国研究表明教师的数学教学知识是影响课堂教学质量的因素之一，它与课堂教学质量有显著的正相关关系，而且教师的数学教学知识对学生学业成绩的预测是显著的．那么对于中国数学教师的数学教学知识水平对教师教学与学生学业成就是怎么样的影响呢？教师的数学教学知识的各组成部分对教师教学又分别有什么样的影响，影响程度如何？教师的数学教学知识的各组成部分对学生的学业成就的影响又如何？

（3）对数学教师的专业发展提供针对性的培训．根据数学教学知识的测试工具，测试在职教师或职前教师的数学教学知识，可以清楚获得教师个体或群体的数学教学知识的水平分布图，依据教师群体的数学教学知识的总体分布情况，进行有针对性的培训，提高在职教师或者职前教师的数学教学知识水平，促进教师的专业发展．

（4）中国教师和别国教师的数学教学知识水平是否有区别．已有几个国家依据自己国家的文化、课程内容等方面的差异，翻译引进密西根大学所开发的数学教学知识测试工具测试本国教师的数学教学知识水平，中国亦可翻译引进有效且可信的相同的测试工具对中国教师的数学教学知识水平进行测试，比较中国教师和别的国家教师的数学教学知识水平的区别，这些区别对中国的数学教学的质量是否有影响，对中国学生的学业成就的影响又是什么？

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Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) Instrument and Its Applications

SHAO Zhen-hong, CAO Yi-ming
(Beijing Normal University, Mathematical Science School, Beijing 100875, China)

Learning Mathematics for Teaching (LMT) developed an instrument to measure teachers’ Mathematical Knowledge for Teaching ability based on the contribution of Shulman’s Pedagogical content knowledge. They collected data what teachers need for teaching mathematics, and piloted the survey with the U.S. mathematics teachers teaching 4-8 grades. The research group also explores the nature of MKT through the development of the instrument, and the relationships among MKT, teaching practice and students’ achievements. Other countries adopted and translated MKT instrument to measure their teachers’ mathematical knowledge for teaching.

mathematical knowledge for teaching; MKT; instrument

G420

：A

：1004–9894（2014）02–0040–05

[责任编校：周学智]

2013–11–20

2012年国家自然科学基金项目——用于多级评分认知诊断的统计模型研究（11171029）；美国National Science Foundation —— Cross-National Comparison of School and District Supports for High-Quality Mathematics Instruction in the U.S. and China（DRL-1321828）

邵珍红（1980—），女，河南濮阳人，博士生，主要从事数学教育及数学测量与评价研究．