对发现式数学教学的思考

赵丽军

摘 要：发现式数学教学就是将数学课堂变为发现与创造的课堂，因此教师既要重视演绎推理，更要重视合情推理，使学生能够体验到发现与猜想过程中的兴趣，激发学生的好奇心与创新激情。

关键词：发现式 数学教学 演绎推理 好奇心 创新激情

在数学教学中采用发现式教学法，是指教师不直接把现成的知识传授给学生，而是引导学生在教师事先精心设计、周密组织安排的一系列学习活动中，通过自主探索、合作交流，像数学家那样去自己发现数学事实、主动获取数学知识的一种教学方法。这样教师不仅要教会学生演绎推理，更要教会学生合情推理，培养学生的好奇心及创造激情，从而让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。

一、教会学生掌握演绎推理的基本方法与规律

推理是从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。如果大前提正确，并遵守推理的基本规律，那么演绎推理得到的结论一定正确。它是证明数学结论、建立数学理论体系的重要推理方法。然而，有的学生在推理过程中，对作为大前提的已有定理、定义断章取义，忽视某些条件，因而导致错误结论。

例如，判断函数?（x）=1g（x-1）+1g（x+1）的奇偶性。有的学生将函数变形为，?（x）=1g（x-1）（x+1）=1g（x2-1），由?（x）=1g（-x）=1g[（-x）2-1]=1g（x2-1）=?（x），于是得出错误结论，?（x）是偶函数。事实上，?（x）的定义域是﹛x|x>1﹜，对任意x∈﹛x|x>1﹜时，而-x﹛x|x>1﹜，因此并不满足偶函数的定义：对定义域中的任意X都有?（-x）=?（x）。

在教学中针对定理、定义中的条件，特别是隐含条件，都要通过典型例题，让学生从错误中揣摩、理解，让学生发现前提中每个条件的必要性、不可或缺性，避免学生头脑中产生虚假前提。

在解决问题时，学生遇到的最大困惑是没有解题思路，找不到解题的切入点。这就要求我们在教学中不仅要重视定理等结论的教学，更要重视分析问题解决问题的方法与思想教学、重视解决问题过程教学。在数学中常用的数学思想方法有综合法、分析法、逆向思维方法、数形结合思想、转化思想、构造思想方法、特殊值法等。只要教师精心设计好发现步骤，引导学生逐步发现，学生必然会兴致勃勃地去探索。有些数学问题，采用通常的思路很难解答，这时就需要我们发散思维，采取特殊的思想和方法。

例如，已知a，b，c，d，e皆为实数，且满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求证：。很多学生见到问题后感到茫然，不知从何下手。然而，我们从函数思想出发，构造出二次函数f（x）=4x2+2（a+b+c+d）x+（a2+b2+c2+d2+e2），配方后得，?（x）=（x+a）2+（x+b）2+（x+c）2+（x+d）2。学生很容易发现，?（x）≥0，又二次函数二次项系数为正，所以根的判别式?≥0，据此可推得要证结论。

由此可见，数学中的奇思妙想，转化与变通，有时能够起到拨云见日、破解迷思的奇效，它是智慧的积累、是经验与灵感的结晶。只有通过大量训练，日积月累，掌握各种数学思想方法，久而久之，就会运用自如。

二、教会学生合情推理

合情推理是指运用观察、实验、归纳、类比、推广、限定、猜想等一套自然科学常用的探索方式的方法进行的推理。我国的理科教学，历来较多强调逻辑推理，而对科学发现的合情推理有所忽视，导致我们培养的学生动手能力较差、创造性不强，极大地影响了创造性人才的培养，因此，加强对合情推理能力的培养已是刻不容缓。

1.在归纳猜想中培养学生的创新素质

归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理。归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围，由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明。因此，它不能作为数学证明的工具，但通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

例如，求和：13+23+33+43+…+n3。可先启发学生从简单事例归纳，13+23=？（9=32），13+23+33=？（36=62），13+23+33+43=？（100=102），13+23+33+43+53=？（225=152），学生通过计算、观察、概括，可以猜想到13+23+33+43+…+n等于某个自然数的平方。3、6、10、15、…有什么规律呢？带着这一问题，同学们考试讨论、尝试，教师再适时启发1+2+3+4+…+n=？，很快同学们就会归纳、并猜想到13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+…n）2=。

我们可以通过数学归纳法证明上述猜想是正确的。没有经过证明的猜想可能是错误的。如著名的费尔马猜想：对一切非负整数n，形如的数都是素数就是错的。即便是错误的猜想，也会产生积极的意义，这在数学发展史上并不鲜见。归纳、猜想活跃了学生思维，调动了学生的学习积极性与创造性。

2.在类比中激发学生潜能

类比是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，类比推理是由特殊到特殊的推理，是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性。类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧认识为基础，类比出新的结果。类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能。例如，在教学中，将集合的运算与实数的运算类比，将对数函数的研究方法与指数函数的研究方法：数形结合，由图形到性质类比，将函数的极限运算性质与数列的极限运算性质类比。这样一方面，促进了学生联想与知识迁移，加强了新旧知识间的联系，有利于学生建立起知识结构体系，另一方面，学生类比的过程也是学习科学研究方法的过程，有利于学生的发展。

因此，合情推理既是科学的探究方法，也是一种发现式教学方式。在教学中，我们要努力创造一种宽松的教学环境，鼓励学生大胆猜想、既动手又动脑，培养学生发现的习惯与兴趣，提高解学生分析问题和解决问题的能力。

三、激发学生好奇心与创造激情

好奇心是人类的天性，教师应当创设满足学生好奇心的环境，设计合理的问题来激起学生的求知欲好奇心。

例如，学习等比数列前n项和公式时，可向学生讲一个故事：古印度国王为了奖赏象棋的发明者，决定答应他的任何要求，而发明者提出的要求是：“请在棋盘的第一格上放1粒小麦，在第二格上放2粒小麦，在第三格上放4粒，第四格上放8粒，就这样每次增加1倍，一直到第64格为止” 。国王刚开始觉得很好笑，但很快就发现他国库里的小麦已经搬光了，还到不了棋盘上的第50格。请问，棋盘上64个格子小麦的总数是多少？折算为重量，大约是多少？在好奇心的驱使下，学生开始列式、计算，发现需要计算等比数列的前64项和，怎么计算呢？这就将学生的注意力吸引在了课题上。此时教师要创造民主、和谐、平等的教学氛围保护学生求知欲，允许学生课堂插话，低声议论等，鼓励学生敢于质疑，大胆想象，要善于发现学生的闪光点，并及时予以肯定和鼓励，增强学生的自信心。开展多种教学活动来满足学生的好奇心。对于一些重点难点问题，除了课堂教学外，我们开展各种丰富多彩的教学活动，如组织辩论赛，搞数学竞赛，相互测验，数学家故事会，分析古今中外数学趣题 、一题多解、一题巧解等。通过活动激发学生的学生热情与创新激情，提高学生发现创新的综合素质。

发现式数学教学不仅重视数学知识，更重视培养学生的思维能力、培养学生的数学思想方法，培养学生发现创新的兴趣和能力。

参考文献：

[1]徐光考.数学探究性课堂教学的探索[J].数学通报，2005（10）.

[2]丁石孙.数学与创造[M].大连：大连理工大学出版社，2008（7）.

（作者单位：唐山师范学院玉田分校）endprint