利用导数探究f（x）是否穿过x轴单调的策略

武增明

在高中数学中，有一类函数问题需要利用导数方法探究函数f（x）在区间D上是否穿过x轴单调递增或单调递减.对此类问题，许多学生找不到突破口，甚至束手无策.以下结合实例探讨判断函数f（x）在区间D上是否穿过x轴单调递增或单调递减的策略.

1判断函数f（x）的值的符号

例1已知a∈R，关于x的方程xx2+x+2=a最多有（）个实数解.

A.1B.2C.3D.4

解析原题可转化为函数f（x）=xx2+x+2与y=a的交点问题.对函数f（x）=xx2+x+2求导后得f′（x）=2-x2（x2+x+2）2，由此可得，f（x）在（-∞，-2]，[2，+∞）上单调递减，f（x）在[-2，2]上单调递增.

下面我们要关心的问题是，f（x）在（-∞，-2]，[2，+∞）上单调递减是穿过x轴单调递减吗？

图1

因为x取一切实数，x2+x+2>0

恒成立，所以x∈（-∞，-2]时，

f（x）<0；x∈[2，+∞）时，f（x）>0，

故f（x）在（-∞，-2]，[2，+∞）上

都不是穿过x轴的单调递减，其模拟图象如图1，

于是直线y=a与函数y=f（x）最多有2个不同的交点，故选B.

评注此题用极限思想也可以判断函数f（x）在单调区间（-∞，-2]，[2，+∞）上的图象的走向.

2判断函数f（x）的值的符号与极限思想并用

例2已知关于x的方程lnxx=a有且只有一个实数根，求实数a的取值范围.

解析原题可转化为函数f（x）=lnxx与y=a的交点问题.因为f′（x）=1-lnxx2，注意到定义域是（0，+∞），所以由此可得，f（x）在（0，e]上单调递增，f（x）在[e，+∞）上单调递减.

下面我们要关心的问题是，f（x）在（0，e]上是否是穿过x轴的单增？f（x）在[e，+∞）上是否是穿过x轴的单减？

因为f（e）=1e>0，f（1）=0，且x=0时，方程lnxx=0无实根，即函数f（x）=lnxx无意义（不存在），所以f（x）在（0，e]上是穿过x轴的单增，且x=0（y轴）是函数f（x）的图象的一条渐近线.

图2

因为f（e）=1e>0，在[e，+∞）上，

f（x）>0，所以f（x）在[e，+∞）上是没有穿

过x轴的单减，且y=0（x轴）是函数f（x）在区间

[e，+∞）上的图象的一条渐

近线，如图2，于是由函数f（x）=lnxx的

图象与直线y=a有且只有一个交点得

a≤0.故实数a的取值范围是a≤0.

评注……