紧扣“三个半径”　突破“天体运动”的难点

黄俊杰

(南京航空航天大学附属高级中学，江苏　南京　210007)

紧扣“三个半径”突破“天体运动”的难点

黄俊杰

(南京航空航天大学附属高级中学，江苏南京210007)

摘要：在高中物理“天体运动”的教学中，由于天体运动的模型比较灵活，万有引力公式和向心力公式也比较繁琐，对学生而言是一个的难点.如何引领学生深刻理解天体运动和匀速圆周运动模型的关系，理解好“三个半径”的概念将对突破“天体运动”这一教学难点起到重要的作用.

关键词：天体运动；引力半径；轨道半径；星球半径

“天体运动”是高中阶段非常重要的章节，其中既包含了万有引力的知识，还包含了之前所学的牛顿运动定律、曲线运动等知识点，是综合性很强的一个章节.笔者在教学中发现，学生对行星运动、卫星变轨、双星运动等的理解上感觉比较困难.其原因在于学生对天体运动中的“三个半径”的理解不够准确.这里的三个半径是指：引力半径、轨道半径和星球半径.本文就如何紧扣这“三个半径”、突破“天体运动”的这一教学难点，谈一谈个人的体会.

1“三个半径”的界定

第三，高中阶段的天体一般都近似看成球体，所以不同的星体还有各自的不同的球体半径，我们称该半径为星体半径(下文中用R表示).这三个半径在天体运动中即彼此区别，又相互关联.

2紧扣“三个半径”，突破“天体运动”的难点

2.1　辨析“轨道半径”和“星球半径”，避免低级错误

很多学生会将星球半径R与r轨混淆，只有在卫星近地飞行时R与r轨才相等，一般情况下R与r轨的关系为：r轨=R+h(h为卫星到星球表面的距离).

例1火箭在高空某处所受的引力为它在地面某处所受引力的一半，则火箭离地面的高度与地球半径之比为().

图1

2.2　辨析引力半径和轨道半径，突破“变轨模型”

变轨问题是天体运动中学生感觉比较困难的知识点.举个例子，一颗卫星在距离地球中心为R的轨道上匀速圆周运动(如图1)，当到达a点时实施变轨，如何分析在变轨前后卫星在a点的线速度、角速度以及向心加速度的变化情况？

图2

例2发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图2所示，则卫星分别在轨道1、2、3上正常运行时，下列说法正确的是().

A. 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B. 卫星在轨道3上角速度的小于在轨道1上的角速度

C. 卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度

D. 卫星在轨道2上经过P点时的加速度小于它在轨道3上经过P点时的加速度

常见错误分析：错选D.主要原因是不清楚卫星位于椭圆轨道上的P点和圆轨道上的P点时，加速度都是由万有引力产生的，因此加速度相等.不清楚椭圆轨道和圆轨道在同一个点的曲率半径不相等，盲目套用圆周运动的公式导致错解.

2.3　辨析引力半径和轨道半径，突破“双星问题”

例3神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时,发现了LMCX-3双星系统,它由可见星A和不可见的暗星B构成.两星视为质点,不考虑其他天体的影响,A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动,它们之间的距离保持不变(如图3).引力常量为G,由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.求：可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为M′的星体(视为质点)对它的引力,设A和B的质量分别为M1、M2,试求M′(用M1、M2表示).

图3

分析：“双星问题”的难点在于两个构成双星的天体相互之间的万有引力提供了各自的向心力，且两个天体运行的圆形轨道是同心圆(如图3)，且运行的角速度相同.所以两个天体各自的轨道半径之和才是两星之间的引力半径，即：r轨1+r轨2=r引.学生只要在本题中建立起像图3一样的模型，并分清引力半径和轨道半径的区别和联系，“双星问题”就自然攻克了.

虽然“双星模型”中的两个轨道都是圆形轨道，但和一般的卫星绕恒星转动的问题有着本质的区别.“双星模型”中的轨道半径和引力半径并不是完全一样的，如果学生辨析清楚了两者之间的区别与联系，自然也就突破了这个难点.

综上所述，在“天体运动”中牢牢的扣住“三个半径”的辨析进行教学，可以帮助学生更好的理解万有引力公式、向心力公式和牛顿运动定律公式之间的联系，熟练地利用这些公式解决不同的模型，提高学习的效率.