基于混合优化的运载器大气层内闭环制导方法

崔乃刚，黄盘兴，韦常柱，傅 瑜，程 超

基于混合优化的运载器大气层内闭环制导方法

崔乃刚1，黄盘兴1，韦常柱1，傅 瑜2，程 超1

（1. 哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 150001；2. 北京宇航系统工程研究所，北京 100076）

针对运载器大气层内最优闭环制导问题，研究了一种将求解最优控制问题的间接法与直接法相结合求解最优上升轨迹的轨迹在线规划与闭环制导方法。该方法采用高斯伪谱法求解基于间接法推导的最优上升轨迹两点边值问题，能以较少的离散节点获得较高的求解精度，并具有较高的求解效率。为了进一步保证制导的实时性与飞行安全要求，提出了轨迹在线规划与闭环制导策略。最优上升轨迹求解结果表明，在同等的求解精度条件下，混合优化算法的离散节点个数仅为间接法的25%～40%，计算效率提高了50倍左右。建立导航模型进行闭环制导蒙特卡洛打靶仿真，制导算法满足实时性与过程约束要求，关机点高度、速度、弹道倾角及轨道倾角的最大偏差分别为-8.93 m、-3.35 m/s、0.015°、0.0018°，算法具有较高的制导精度。

运载器；大气层内；最优闭环制导；间接法；高斯伪谱法；混合优化

运载器在大气层内上升飞行过程中，由于同时受到地球引力、发动机推力及气动力作用，运动数学模型较为复杂，存在飞行约束。采用闭环制导存在较大的计算量与难度，且对于具备真空段闭环制导能力的运载器，大气层内开环制导造成的偏差可以通过真空段的高精度制导方法进行消除。故传统运载器大气层内上升段采用开环制导方案：射前根据预测的风场模型离线设计参考轨迹，飞行中根据装订的姿态指令进行导引。该方法缺乏自主性，为了保证运载器的飞行安全，需要在射前进行大量的任务设计与分析工作。除了设计与验证一条可行飞行轨迹外，还需设计好应对突发事件的处理程序，如发动机故障处理、应急返回等，以保证任务不能被环境条件、突发事件（如临近发射时任务目标或约束的改变）而导致发射延误或失败。若实际风场与用于设计的预测风场存在很大差异时，将取消发射或延迟发射。开环制导方案存在耗时长，设计成本高，不能处理紧急发射任务，任务适应性差，制导精度低等缺点[1]。

为了解决传统运载器大气层内开环制导存在的问题，并实现未来先进运载器快速、自主、高精度、低成本的发展目标，学者们开始研究基于最优控制的运载器大气层内轨迹在线规划方法。该方法根据运载器的当前状态，在线计算出满足过程约束及终端约束要求的最优飞行轨迹及参考指令，实现最优闭环制导。由于模型的复杂性，如何保证最优飞行轨迹求解的实时性是实现运载器大气层内最优闭环制导的关键。目前，研究较热的是基于间接法的最优闭环制导技术[2-8]，其基于最优一阶必要条件将带约束的最优上升轨迹问题转换成两点边值问题，采用有限差分法进行求解，并应用真空解析解初值及密度同伦技术，以保证算法的可靠收敛。大量的数值仿真结果表明，该方法可满足最优飞行轨迹求解的实时性要求，是一种可行、有效的运载器大气层内最优闭环制导方法。然而，该方法存在不能同时保证较高的求解精度与求解效率的缺陷，其求解精度与求解效率是相互矛盾的，二者不可兼得。

针对间接法在求解精度与求解效率相冲突的问题，本文研究了一种采用Gauss伪谱法求解基于间接法推导出的大气层内最优上升两点边值问题的混合优化方法：采用统一的插值函数同时对协态变量与状态变量进行离散，将两点边值问题模型转化为代数方程组，并采用改进牛顿法进行数值求解。同时，提出了满足制导实时性与飞行安全要求的轨迹在线规划与闭环制导策略，包括合理选择轨迹在线规划周期与离散区间数目、在线串行优化、自适应反馈更新、强路径约束与导引指令变化率约束等。最后进行了运载器的大气层内上升段轨迹优化设计对比仿真分析及基于蒙特卡洛打靶的闭环制导仿真验证。

1 运载器大气层内最优上升问题模型

1.1大气层内运动数学模型

为了增强数值计算的稳定性和准确性，采用无量纲的运动数学模型。运载器质量()mt由推进剂秒耗量决定，可视为飞行时间的函数，不作为状态量。运载器在发射惯性坐标系下无量纲运动方程为[2,4]

式中：r与V∈R3为无量纲的地心距矢量和速度矢量；T为无量纲的发动机推力加速度；A、N分别为无量纲的轴向、法向气动加速度；1b为运载器体轴方向的单位矢量；1n为位于运载器的纵对称平面内与1b垂直的单位矢量。无量纲化的气动力和推力加速度大小表示为

式中：0R为地球赤道半径；0g为地球赤道引力加速度；0ρ是在0R处的大气密度；()rρ为地心距r处的大气密度；rV为相对地球的无量纲速度大小，

式中：Eω为无量纲的地球自转角速率，wV为无量纲的风速；轴向力、法向力系数AC、NC均为攻角α和马赫数Ma的函数；refS为参考面积；大气层内的推力损失0TΔ≤为地心距r的函数。

运载器采用BTT控制方式，其纵向对称面位于体轴b1与相对地球速度rV组成的平面内，侧滑角为0，有

式中：rV1为rV的单位矢量。

为了保证结构安全，运载器大气层内上升飞行中需满足一定的过程约束。这里考虑气动弯矩约束（攻角及动压的乘积）：

式中：q=ρVr2/2；Qα为允许的最大气动弯矩。终端约束条件一般考虑标准关机条件：地心距、速度、轨道倾角i*及弹道倾角γf*，它们等价于给定半主轴、偏心率、轨道倾角及关机点的真近角。令1N为平行于地球极轴并指向北极的单位矢量，终端约束条件表示为

运载器的初始状态是已知的，则大气层内最优上升问题可描述为：根据当前的初始状态，寻找最优的体轴方向b1及发动机关机时间ft，使运载器的飞行轨迹满足过程约束的同时，在关机时刻达到给定的终端状态，并使某项性能指标最优。一般取飞行时间最短或燃料消耗最少为性能指标，二者是等价的。

1.2最优上升模型

一般采用内、外双层迭代的方法求解运载器大气层内最优上升问题[3]：内层采用最优控制算法求解给定飞行时间的终端能量最优上升轨迹问题，此时不考虑终端速度（或能量）约束；外层则调节飞行时间，使速度（或能量）满足终端的约束条。该最优控制问题与飞行时间最短问题等价，其外层迭代可采用割线法、牛顿迭代法搜索飞行时间，其求解较为简单。复杂内层最优上升轨迹问题的快速、精确求解是实现最优闭环制导的关键，是本文主要的研究内容。

根据上述分析，选取性能指标为根据最优控制理论，哈密顿函数定义为式中：rp和3

VR∈p为协态变量；qαλ为标量乘子，当

协态变量微分方程的展开式比较复杂，可参考文献[2]。根据控制方程，可推导得最优体轴表达式为根据极小值原理，最优解的标准必要条件为

式中：Φ为pV与Vr间的夹角；1pV为pV的单位矢量；攻角α通过求解tan(Φ-α)(T-A+Nα)-(Aα+N )=0得到。根据及发射惯性系与本体系之间的坐标转换关系，可计算出俯仰角、偏航角及滚转角指令。

对于固定飞行时间的能量最优问题，最优控制解必须满足式(7)中的前3个终端约束条件及根据6个横截条件推导得到的如下3个代数约束：

式中：Hf=rf×Vf。式(12)与式(7)的前三个约束构成了6个终端边界条件。

1.3Hamiltonian两点边值问题模型

式中：B0为给定的6个初始状态条件x(t0)；Bf为6个终端边界条件。Hamiltonian两点边值问题描述为：寻找协态变量初值p(t0)，使得系统y˙=f(t,y)在终端满足边界条件Bf=0。

2 高斯伪谱求解算法

式(13)给出的运载器大气层内最优上升Hamiltonian两点边值问题模型较复杂，目前采用的有效求解方法是有限差分法[2-8]，其通过中心有限差分将非线性微分方程组离散成非线性代数方程组进行求解，存在求解精度与求解效率相矛盾的问题。为了满足轨迹在线规划与闭环制导的实时性，需取较少的离散节点个数，以牺牲求解精度来获得较快的求解速度。Gauss伪谱法是求解最优控制问题直接法中的一种新方法，其利用插值代替积分和雅克比矩阵高度稀疏特性，使得能以较少的节点获得较高的最优控制问题的求解精度，且其非线性规划问题的KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件与离散的哈密顿边值问题的一阶最优条件具有一致性，避免了直接法存在的缺陷[9-13]。

为了能在获得较快求解速率的同时保证较高的求解精度，采用高斯伪谱法能以较少的离散节点精确逼近微分方程系统的特性，基于Gauss伪谱法求解运载器大气层内最优上升Hamiltonian两点边值问题。

2.1两点边值问题转化成代数方程组约束

首先采用公式t=[(tf-t0)τ+(tf+t0)]2把时域t∈[t0,tf]转化到高斯点的分布区间τ∈[-1, 1]上。此时，式(13)变为

然后，用初始端点01τ=-与N个高斯点12,,ττ ...,Nτ(Legendre-Gauss点)上的离散状态构造全局Lagrange插值多项式去近似真实状态。需同时对状态变量与协态变量进行离散：

式中：y(τ)为实际的状态变量与协态变量时间历程；Y(τ)为近似的状态变量与协态变量时间历程；Y (τi)为离散点上的状态值；Li(τ)为Lagrange插值基函数：

最后，分别对式(15)中的()τy、()τY进行求导，并让其导数相等，可得12N个代数方程：

式中，kiD为常值矩阵，

式(17)的代数约束均在Legendre-Gauss点上，还缺少两个边界点的状态约束。起始边界点的状态约束为0B，终端边界点的状态可由高斯求积公式得到：

根据终端边界点状态可形成终端边界约束Bf。定义=[,]T，Hamiltonian两点边值问题变成12(N+1)个非线性代数方程组E=(,...)T根X=(,...)T∈R12(N+1)的求解问题。

2.2带松弛因子的改进牛顿数值求解算法

牛顿法求解非线性方程组具有收敛快、稳定性好、精度高等优点。为了保证序列{E(Xj)}单调递减，采用带松弛因子的改进牛顿法来求解非线性方程组E。从初始猜想值Y0开始，迭代公式为

式中：i≥0，0＜σj≤1，0＜β＜1；σj为松弛因子。当E(Xj)小于给定的允许值时，即认为收敛。第j次迭代的搜索方向dj为

3 轨迹在线规划与闭环制导策略

采用混合优化算法进行运载器大气层内上升段的轨迹在线规划，并实现闭环制导的过程为：在每一个轨迹规划周期的起始时刻，根据导航系统给出的运载器当前状态，在线计算出满足路径约束与终端约束的最优上升轨迹，更新程序角与发动机关机指令，运载器根据新生成的导引指令飞行。如何保证最优上升轨迹在线求解的实时性是实现运载器大气层内闭环制导的关键，同时生成的最优导引指令也应满足运载器的飞行安全要求。为了进一步保证在线制导的实时性及运载器的飞行安全，提出如下的制导策略：

① 合理选择轨迹规划周期。根据轨迹优化算法的求解速度，取合适的轨迹规划周期。如果轨迹规划周期较小，算法实时性不能保障；如果规划周期太长，在外界干扰作用下，进行重规划时运载器的状态与上一次规划的状态偏差较大，算法求解效率也会降低。

② 合理选取离散节点数目。在满足制导精度要求的条件下，可适当减小离散节点的数目，采用较少的未知量获得较高的求解速率。随着剩余飞行时间的逐渐减小，求解精度会逐步提高。

③ 在线串行优化。当前轨迹规划的解作为下一次轨迹规划的初值，不再进行密度同伦，即离线规划的最优上升轨迹的收敛解作为第一次轨迹在线规划的初值，每一次轨迹在线规划的收敛解作为下一次轨迹在线规划的初值。

④ 自适应反馈更新。某个轨迹在线规划耗时已超出规划周期时若还未得到最优解，可继续使用之前计算得到的导引指令，下一个规划周期再重新计算，直至取得最优解，更新制导指令。

⑤ 强路径约束。干扰条件下，根据标称模型在线优化得到的导引指令不能保证导引运载器飞行时仍能满足路径约束，可以根据反馈的运载器状态实时修正导引指令。

⑥ 导引指令变化率约束。为了减小最优控制模型的复杂性，运载器大气层内上升轨迹的最优控制模型不考虑攻角、倾侧角与俯仰角、偏航角、滚转角等角度的变化率约束。因此，还需对轨迹在线规划出的参考指令进行变化速率约束，以保证飞行安全。

运载器大气层内上升段轨迹在线规划与闭环制导的逻辑结构如图1所示。图1中：FDI为故障检测与隔离模块，检测并识别、隔离故障信息；在每一个规划周期的起始时刻，轨迹在线规划模块采用本文研究的混合优化快速算法求解参考轨迹，给出参考指令，其应用在线串行优化与自适应反馈更新策略；指令合成与输出模型根据轨迹在线规划的参考指令实时给出导引指令，并应用强路径约束与导引指令变化律约束策略对导引指令进行约束。

图1 轨迹在线规划与闭环制导的逻辑结构图Fig.1 Logical structure of trajectory’s online planning and closed-loop guidance

4 仿真验证与分析

为了验证算法的性能，对某运载器大气层内上升段的飞行轨迹进行优化设计。运载器从地面发射后，先垂直上升飞行5.0 s，然后指数攻角转弯25.0 s，接着进入优化轨迹飞行段。需要对运载器飞行30.0 s后的上升轨迹进行优化设计及闭环制导仿真。飞行过程中要求气动弯矩≤0.7 kPa·rad，要求关机点高度为60.0 km，速度为2700.0 m/s，弹道倾角为25.4°，轨道倾角为10.0°。

仿真算法采用C++语言编写，运行环境为CPU主频为2.0 GHz的工控机。

4.1上升轨迹优化设计

为了保证算法可靠收敛，采用真空解析解初值及密度同伦技术，并采用割线法调整发动机关机时间以满足末端速度约束要求[2-5]。根据优化得到的导引指令（发动机关机时间、离散姿态角）对动力学方程进行积分，可得到积分状态量。对积分状态量与优化状态量进行对比分析。其中，对优化得到的离散姿态角进行Lagrange插值，获得积分需要的姿态角。

取不同的离散节点个数，对混合优化法与间接法进行轨迹优化设计对比分析。仿真结果如表1所示。

表1 混合优化法与间接法仿真结果对比Tab.1 Comparison on simulation results for the hybrid method and the indirect method

从表1中可知：①混合优化法与间接法的位置精度和速度精度随着离散节点个数的增加而提高，但求解耗时也随之增大；②离散节点个数为15的混合优化法与离散节点个数为60的间接法的求解精度相当，二者的求解耗时分别为0.134 s、7.022 s；③离散节点个数为25的混合优化法与离散节点个数为80的间接法的求解精度相当，二者的求解耗时分别为0.352 s、21.548 s；④在同等精度条件下，混合优化法的离散节点个数比间接法少60%～75%，计算效率高50～60倍左右。

所研究的混合优化法兼具间接法满足一阶最优必要条件与Gauss伪谱法能以较少的离散区间获得较高求解精度及求解速度快的优点，其求解精度与求解效率均优于间接法。

4.2闭环制导蒙特卡洛打靶仿真

由于干扰作用，运载器上升飞行过程中将偏离设计的标称轨迹。为了保证关机点的状态精度，可采用提出的混合优化算法进行闭环制导。

综合考虑10%轴向力系数偏差、10%法向力系数偏差、8%大气密度偏差、2%推力偏差及风干扰，各项偏差均服从31σ=的正态分布。建立导航模型，对陀螺仪及加表进行误差模拟，考虑常值项、一次项及二次项误差。轨迹规划周期均取5.0 s，制导周期取100 ms，攻角、倾侧角与姿态角的最大变化率为1.0 (°)/s，临近关机时刻不再进行指令更新。高斯点个数取5，进行500次蒙特卡洛打靶仿真。

绘制其中的40条攻角、倾侧角、气动弯矩曲线如图 2至图4所示，从图中可知：每次导引指令更新时攻角、倾侧角呈现出跳变的趋势，这是由干扰导致弹道偏差而引起的，但受角速率约束，攻角、倾侧角变化较为平缓；气动弯矩绝对值的最大值为0.70.7 kPa•rad，满足过程约束要求。

关机点状态偏差的最大值及均值统计结果、散布情况分别如图5、表2所示，从中可知：关机点高度的最大偏差为-8.93 m，偏差均值-0.91 m；速度的最大偏差为-3.35 m/s，偏差均值-0.04 m/s；弹道倾角的最大偏差为0.015°，偏差均值0.0045°；轨道倾角的最大偏差为0.0018°，偏差均值1.3×10-4(°)。基于混合优化的闭环制导算法具有较高的制导精度。

在每一个制导周期内，轨迹在线规划求解耗时均小于0.05 s，满足制导实时性要求。

图2 攻角随时间变化曲线Fig.2 Time history of attack angle

图3 倾侧角随时间变化曲线Fig.3 Time history of heeling angle

图4 气动弯矩随时间变化曲线Fig.4 Time history of aerodynamic bending moment

图5 关机点状态偏差散布Fig.5 Deviations of condition error at engine cut-off point

表2 蒙特卡洛打靶仿真结果Tab.2 Results of Monte-carlo simulation

5 结 论

为了摆脱传统间接法不能同时保证较高的求解精度与求解效率的缺陷，提出了一种基于混合优化的运载器大气层内闭环制导方法，采用高斯伪谱法求解基于间接法推导的Hamiltonian两点边值问题。该方法兼具间接法满足一阶最优必要条件与Gauss伪谱法能以较少的离散区间获得较高求解精度及求解速度快的优点。为了保证制导实时性与飞行安全要求，提出了包括合理选择轨迹在线规划周期与离散节点数目、在线串行优化、自适应反馈更新、强路径约束与导引指令变化率约束等在内的轨迹在线规划与闭环制导策略。最优上升轨迹求解的仿真对比分析表明，在同等的求解精度条件下，提出的混合优化算法在求解效率上比间接法具有较大的优势。基于蒙特卡洛打靶的闭环制导仿真结果表明，提出的制导算法具有较高的制导精度。

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Closed-loop endo-atmospheric guidance of launch vehicle based on hybrid optimization approach

CUI Nai-gang1, HUANG Pan-xing1, WEI Chang-zhu1, FU Yu2, CHENG Chao1
(1. Department of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing 100076, China)

In view of the optimal atmospheric ascent closed-loop guidance of launch vehicles, an online trajectory planning and closed-loop guidance approach is studied by combining the direct method with the indirect one for solving optimal atmospheric ascent trajectory. In this approach, Gauss pseudo-spectral method is applied to solve the Hamiltonian two-point boundary value problem of optimal ascent trajectory, which is derived from the indirect method. The hybrid method can obtain high solution accuracy and fast convergence rate with minor nodes. A strategy of on-line trajectory planning is introduced to further guarantee the real-time and safety requirements. The navigation models are established to conduct Monte Carlo targeting simulation with closed-loop guidance. The solution results of optimal ascent trajectory show that, for the same level of solution accuracy, the hybrid algorithm’s node number is 25%-40% of the indirect method’s node number, and the computational efficiency is improved about 50 times. The simulation results show that the guidance algorithm meets the real-time and flight path constraint requirements with high guidance precision. The maximum deviations of altitude, velocity, flight path angle, and orbit inclination at engine cut-off point are -8.93 m, -3.35 m/s, 0.015°, and 0.0018°, respectively.

launch vehicle; endo-atmosphere; optimal closed-loop guidance; indirect method; Gauss pseudospectral method; hybrid optimization

V448.1

A

1005-6734(2015)03-0328-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.03.009

2014-12-31；

2015-05-26

国家自然科学基金项目（61403100）；中央高校基本科研业务费专项基金项目（HIT.NSRIF.2015037）

崔乃刚（1965—），男，教授，博导，研究方向为导弹及空间飞行器飞行力学、制导与控制、滤波理论及应用。

E-mail：Cui_Naigang@163.com