高考数学试题难度影响因素分析

杨玲 杨春华

【摘要】文章就影响高考数学试题难度中最基本的情景因素、技能水平因素、知识含量因素、模块数量因素等作出了分析和探讨，从中得到一点关于高考试题难度的启示或建议，仅供学识们参考.

【关键词】高考数学；试题难度；分析研究

一、影响我国高考数学试题难度的主要因素

1.情境因素

情境因素又称新鲜度，它主要是指学生对高考试题的模式情境对多数考生而言的新鲜度，通常我们可以用影响得分的百分比来衡量.在高考试题中，对数学概念、定理以及规律的考查通常寓于一定的情境之中，试题情境的设立如果是学生所熟悉的且经历过的，那么对学生就会已经构成了认知结构，并能迅速地从情境设计里提出隐藏的内在含义，学生就可以非常顺利地有效地找出解题辟径，突破试题难点.反之的话，学生面对一个很陌生、很新颖的试题情境，就会无法构成解题模式，或不知该从试题中如何跳出，那么学生就必须一步一步地对试题情境进行分析，逐一地排出障碍，才能构建新的解题策略，方能解得问题的答案.因此，试题的情境越新颖，对学生而言其难度系数就会越大，而区分度也会随之增大.

2.技能水平因素

影响高考数学试题的第二大难度就是技能水平因素，亦称“思考量”.高考学生对数学试题的解答，通常是在解读试题之后，写出解题答案之前，往往都要对试题作出一番思考或思量分析试题的历程，并在解题答案书写过程中，常常会遇到一些无法预知的问题障碍或关卡，因此学生就必须经过进一步的思考方能解决.对于高考试题思考的愈多，显而易见这道试题的难度就会愈大，因此，技能水平因素是影响高考试题绝对难度的另一重要因素.

3.知识含量因素

在一般情况下，高考学生在审读试题和解答试题的整个过程中，所需的知识量愈大，那么高考试题就会愈难.这个因素虽为试题的本身来决定的，但是却难以给出客观的衡量方法，这是由于学生对试题的审读与解答过程是由每名学生分别进行的，由于审读理解的角度不同、解法不同，在整个过程中所用到的知识点和知识量也是有着明显的区别，但是如果一道试题出现的解题步骤和试题宽度变宽，学生的学习记忆就会出现超负荷现象，使得有些信息在解题过程中与之失之交臂或丢失发错.这就会由于试题所包含的知识含量过高或者过宽，影响学生的考试分数.因此，对于一道试题学生所需完善的步骤愈多，逻辑推理量或知识量量愈大，其试题难度就会愈高.

例如：（2014 浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中.

（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；

（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）.

则（）.

解析首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，根据已知条件可以分两种情况：既当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放到甲盒中；而当ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝，或者两个红球.分析之后，就可以利用考查的概率公式和分布列的知识求出P1，P2和E（ξ1），E（ξ2）的值，并进行相互比较即可.

分析学生在解读这道试题时，心里知道这道试题的考查方向——概率与统计.这是从大的方向来说，而在逐步分析和解析这道试题中，其中所包含的考点主要还包括：离散型随机变量的期望与方差、相互独立事件同时发生的概率以及离散型随机变量及其分布列等等.那么这一系列的定义和定理，就需要考生全面分析到位，并逐步地运用到位，掌握考查要点以及解题思路.从而化险为夷，步步为营，同时深入理解和运用所给出的已知条件i（i=1，2）的真正含义，是学生解题的关键所在.此题给统计和概率问题植入新的一角，立意深远，同时需要学生边分析边推理，知识含量概括全面，因此在一定的程度上，对学生分析问题的能力、数学的观察能力提出了更高的要求.

4.模块数量因素

模块数量因素主要是对考查的试题广度越对广，那么所需的知识点跨度也就是知识模块数量愈多，其试题难度就会相对地增加.在同种类型的试题中，由于试题所考查的知识点、知识点之间的彼此联系复杂程度以及跨度不同，那么尽管考查的类型相同，但是由于中间所需的知识数量模块不同，导致试题的难度也是不尽相同的.在一般情况下，考查的一道试题其知识点愈多、数量值越大、跨度愈大、知识点联系愈复杂，那么学生在解答过程中所需的解答手段、解题思想、解题方法、解题策略就会愈多，一道试题的模块数量愈多，那么知识融会贯通的要求就会愈高，而试题的难度系数就会大大地增加.

例如：（2014 浙江）已知函数f（x）=x3+3|x-a|（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.

解析（Ⅰ）首先，考生要利用分段函数并结合已知条件[-1，1]，并运用数学思想中的分类讨论思想法进行解答，即可求出M（a）-m（a）；

（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=x3+3x-3a，x≥a①；h（x）=x3-3x+3a，x

解答∵f（x）=x3+3|x-a|=x3+3x-3a，x≥a①；x3-3x+3a，x

①a≤-1时，∵-1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（-1，1）上是增函数，∴M（a）=f（1）=4-3a，m（a）=f（-1）=-4-3a，∴M（a）-m（a）=8；

②-1

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③a≥1时，有x≤a，f（x）在（-1，1）上是减函数，∴M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，∴M（a）-m（a）=4.

分析此题主要是考查导数的综合运用、函数的最值问题，其数学思想主要是考查分类讨论思想、化归与转化的思想，其难度系数在高考试题中是难度相当大的一道高考试题了.此题类型新颖而背景深刻，加强了对概念的深刻性，思维的逻辑性以及数学的抽象性等方面考查，引导我们的课堂教学应更多地关注数学的思维.数学的本质，而不要拘泥于对题型的研究、套路的演练.从解答步骤以及考查的知识模块可以看出，此题难度系数偏高，对学生的逻辑思维能力以及知识模块的运用做了深一步的考查.

二、对高考数学试题难度的一些启示

高考试题的难度重在“度”上，“度”是直接事物的本质特性的体现者，而作为它的临界者就是“数”.至此我们在做到心中有“数”的同时，除了对高中整体教学的“思辨分析”和“经验判断”以外，还要用一定的思想方法去研究高考试题的难度系数，从而为高中课堂教学、预测试题以及考试预先评估的难易提供重要的理论依据和保障，为发展和检测学生学业水平质量的提高，提出更有利的条件和帮助.

三、分析我国高考数学试题的研究意义

“高考”是我国最重要的大规模教育考试之一，它具有广泛而深远的社会影响.在广度方面，据近年来报考人数的统计资料统计，在2003～2013年参加高考的人数从375万增至1050万.显而易见的，如此庞大的数字可以堪称是教育考试人数世界之最，而间接影响的人数研发者，而教育考试改革的主要目标和发展趋势就是“质量至上，卓越发展”.我们研究高考题难度的主要目的是考查学生的学业发展水平和监测其学业质量水平的重要发展方向.

四、结语

高考试题的难度将直接影响学生的学业水平、教师的教学质量以及教材的选用指标，因此，研究高考试题的难度具有很大的现实意义.在其作为监测手段的同时，更应该以国家提高和培养教育人才质量为主要发展目标，多方位、多角度地完善我国考试评价和选拔功能，从而全面促进我国教育质量的发展和提高.