超混沌Lü系统的自适应控制与同步

韦　相

（1.红河学院工学院，云南蒙自 661100；2.武汉大学数学与统计学院，武汉 4330072）

超混沌Lü系统的自适应控制与同步

韦相1，2

（1.红河学院工学院，云南蒙自 661100；2.武汉大学数学与统计学院，武汉 4330072）

该篇研究超混沌Lü系统的自适应控制与自适用同步问题。首先，在控制增益参数未知的情况下，设计了一个非线性控制器，提出了相应的参数的自适应律，将系统控制到平衡点；其次，讨论了该超混沌系统自同步，并提出非线性耦合同步方案，在控制增益参数已知时，设计状态控制器实现自同步，在参数未知时，设计自适应控制器实现同步。用Lyapunov稳定性理论证明结论的正确性，使用Matlab 数值模拟，结果证明该方案的有效性和可行性。

超混沌系统；自适应控制；自适应同步

0　引言

人们在1963年发现第一个混沌模型-Lorenz系统［1］以来，混沌就成为非线性动力学中的重要研究课题之一［2-4］，随着研究的深入，各种非线性混沌系统也被相继提出，如Rossler系统［5］、 Chua系统［6］，以及在反控制问题研究中被发现的Chen 系统［7］、 Lü系统［8］、 及可以连接Lorenz和Chen系统的统一混沌系统［9］等，这些混沌系统得到了广泛的研究和应用［10-13］.

1990年美国马里兰大学的E. Ot t，C. Grebog i和J. A. York 开始了混沌控制的研究工作［14］，即后来被称为OGY 法. 同年，经典的混沌同步方法由美国海军实验室的 L. M. Pecora，T. L. Carroll提出，驱动响应法［15］，并实现了混沌同步在保密通信中的应用. 随着研究的深入，目前已经有多种方法，如：线性与非线性反馈控制［16］、自适应同步法［17］，脉冲同步［18］，backstepping法［19］，状态观测器法等［20］等. 而自适应控制与自适应同步方法能很好解决混沌系统含有未知参数的问题，许多系统其参数通常是部分或者完全未知的，所以自适应控制及其同步实用性强. 该方法的最大困难是设计合适的自适应控制器并寻找自适应规律.

实现超混沌Lü系统的自适应控制与自适应同步在控制增益参数未知时使用参数的自适应律，设计出了虚镜非线性控制器，将系统控制到零点，实现对混沌的控制. 其次讨论该超混沌系统的自同步，设计状态控制器和自适应律控制器，使得驱动系统与响应系统实现同步. 使用Lyapunov 稳定性理论证明结论的正确性，Matlab 数值模拟，结果证明该方案是有效和可行的.

1　问题描述

该驱动系统和响应系统达到同步.

目前超Lü混沌系统已成为混沌控制和同步研究中经常被采用的混沌模型，得到较为广泛的关注. 超混沌Lü系统是在加入一个非线性控制器而得到的.文［21］利用递归反步非线性控制方法对Lü混沌系统的各个状态进行控制；文［22］实现超混沌Lü系统的同步，并设计了同步实现电路；文［23］基于状态控制器实现了超混沌Lü的广义投影同步；

Lü混沌系统在为［24］

2　Lü混沌系统的自适应控制

给式（1）设计的自适应控制器为

定理1 对于混沌系统（1），若选取控制器为：

参数的自适应律为：

则该混沌系统渐进稳定.

证明：构造如下Lyapunov函数：

对上式求导可得：

3　Lü混沌系统同步控制

定义驱动系统为式（1），响应系统为

根据驱动系统和响应系统，可得到误差系统如下：

设计的状态控制器为

得到误差系统

定理2 对于参数已知的系统式（6），若选取控制增益的参数满足

则该误差系统渐进稳定.

证明：构造如下Lyapunov函数：

对上式求导可得：

参数未知时，设计的自适应控制器为

定理3对参数未知系统，当反馈增益估计满足

证明 构造Lyapunov函数如下

4　模拟仿真

通过数值模拟来验证所提出混沌同步方法的有效性.

（1）自适应控制

图1　状态变量的变化曲线

图2　控制增益参数变化曲线图

（2）同步状态控制

图3　参数已知同步误差变化曲线

图4　参数已知对应状态变量（1，2）的变化曲线

图5　参数已知对应状态变量（3，4）的变化曲线

（3）自适应同步

控制器的控制增益参数是未知的，任取控制增益的参数的初始值为，的值为2.驱动系统初始值为，响应系统初始值为；由同步误差曲线图6可见，和参数已知相比，参数未知同步误差分别更快稳定到零点，即驱动系统和响应系统达到同步.增益参数经过一定的时间分别固定某个值，如图7所示.

图6　参数未知同步误差变化曲线

图7　控制增益参数变化曲线图

5　结论

本文研究了超混沌Lü系统的同步问题.基于Lyapunov稳定理论，设计了自适应控制器并设计了反馈增益系数更新规则，对Lü混沌系统实施有效的控制，通过自适应同步控制使Lü混沌系统达到同步.数值模拟结果验证了此方案的有效性.

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［责任编辑 刘贵阳］

Adaptive Control and Synchronization of Lü Hyperchaotic System

WEI Xiang1，2
（1. Department of Engineering，Honghe University，Honghe 661199，China；2. School of Mathematics and Statistics，Wuhan University，Wuhan 430072，China）

This paper deals with the issue of adaptive control and adaptive synchronization of Lü hyperchaotic system First，the problem is discussed when parameters of feedback gain are unknown，the parameters update laws are designed to control the hyperchaotic system to its equilibrium. An state controller is designed to achieve synchronize with known parameters and an adaptive controller is designed to achieve synchronize with unknown parameters of the feedback gain. The design is proved to be true based on the Lyaponov stability theory. Numerical simulations are presented to verify the effectiveness and feasibility.

hyperchaotic system；adaptive control；adaptive synchronizat ion

N94

A

1008-9128（2015）02-0023-05

2014-03-22

国家自然科学基金项目（41201418）

韦相（1980-），男（壮），广西田阳人，讲师，博士，研究方向：数据挖掘和复杂网络。