数形结合在中学数学中的应用

胡容榕

[摘 要]数形结合思想在中学数学中有着重要的作用，数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合。

[关键词]中学数学；数形结合；重要性；培养方法 ；应用

数形结合是中学数学重要的基本思想方法之一，是數学的本质特征。在解决数学问题时，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化。新教材打破了原来的代数、几何分家的现象，不仅从形式上把代数、几何统一编排，而且在内容的处理上也提出明确的要求，在很大程度上也体现了数形结合的思想。教师要充分利用教材，着力培养学生形成数形结合的思维。

一、数形结合思想在中学数学教学中的作用

1.数形结合思想可以激发学生学习数学的兴趣。大多数的学生不喜欢学习数学的最主要的原因就是数学课程很单调而且有些数学问题非常复杂。教师要想使学生喜欢学习数学、乐于解决数学问题，就必须要克服学生的这两点困难，而数形结合思想就是解决学生这两点抵触心理的最有效的方法。

数形结合思想中图形与数值相结合的思想，就是最有效的克服学生枯燥心理的方法。数形结合通过图形对学生思维的刺激，会使学生觉得学习数学是一件很有趣的事情。而数形结合思想往往可以使抽象复杂的数学问题变得具体简单。这样，激发了学生的兴趣，学生就会变得喜欢学习数学，学生的数学成绩也会得到相应的提高。

2.数形结合思想可以增加学生解决数学问题的方法。平面几何问题和立体几何问题是中学数学中非常重要的部分，在考试中也占有很大的比例，在我们的平时应用中也是一个很重要的数学应用问题。而数形结合思想在平面几何问题和立体几何问题的应用中可以说是非常常见的。“以数解形”，通过对几何图形所表示的轨迹用数量关系去表达，可以脱离固有图形的复杂的几何关系，利用数值计算将几何关系限定在有限的几个代数式中，通过计算得出最终结果，然后将代数式进行图形还原，得到最终的数学问题的结果。

对于立体几何中的问题可以通过平面向量知识来进行解决。运用向量知识进行数形结合，能很好地解决立体几何中的图形位置关系，使几何问题得到很好的解决。

3.数形结合思想可以使学生加深对知识的印象。函数问题是中学数学中一个很重要的部分，它对于解决最优问题、规律性的问题都是非常简单而直观的。但是对于这些定义性质的问题，许多学生都会出现对于这些知识记得不牢或者不准确的问题，这样在解题的过程中就会出现一些常识性的错误，使教师非常头疼。而数形结合思想就很好地解决了这个问题。数形结合思想使这些单调的数值关系通过图像描述变得直观，这样函数关系会在学生的头脑中形成数学模型，使学生能够很牢地记住这些函数问题。这样，对于发展学生的数学思维、提高学生的综合能力有很大的帮助。

4.数形结合思想能够使学生的想象力得到培养。数形结合思想可以使学生从图形中直观地去联想数值的更深层次的意义，使学生开拓自己的思维去思考，这样就会提高学生的数学思维能力，提高学生的想象力。

二、如何在课堂教学中培养数形结合思想

1.渗透数形结合思想要有层次地进行。数学思想方法的内容相当丰富，任何一种数学知识的讲解及数学思想的渗透都要注意学生的接受能力，认真钻研课标和教材，结合学生实际，配备不同的例题，调动全体学生的学习积极性，由易到难，由浅入深，渗透数形结合这一数学思想。

2.调动学生的积极性，提高渗透的自觉性。数学概念、公式等知识都明显地写在教材中，是有形的，而数学思想却隐含在数学知识体系里，是无形的，并且不成系统地分散于教材各章节中。因此，作为教师首先要更新观念，从认识和思想上不断提高在数学课堂教学中渗透数学思想方法的重要性，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目标，把数学思想方法的渗透要求融入教学设计中.其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数形结合思想方法渗透的各种因素，对于可以应用数形结合的每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行这一思想的渗透。同时要让学生明白数形结合这一数学思想的重要性，在学习过程中提高自我学习的意识。

3.反复训练，不断总结反思，确保学生掌握数形结合这一数学思想。使学生形成数形结合的数学思想，必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地有所领悟和掌握。教师的提炼和概括是十分重要的，教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩、概括数学思想方法的能力，还应在适当的时候进行“画龙点睛”式地总结，这样才能把数学思想方法的渗透落在实处。

三、数形结合在教学中的应用

1.数形结合在函数教学中的应用。数形结合是中学数学思想中的重要数学思想之一，渗透于数学的各个环节之中。在函数教学中，函数及其图像为数形结合的教学开辟了广阔的天地。函数的图像是从“形”的角度反映变量之间的变化规律，利用图像的直观性有助于题意的理解、性质的讨论、思路的探求和结果的验证。如二次函数、指数函数和对数函数等等，这样使学生学得轻松有趣。既可以提高学生的识记能力，又可以加深对函数的图像和性质的理解，使数与形在学生的头脑中密切地结合起来。

2.数形结合在解题中的应用。利用数形结合进行解题，不仅能将优美的解题过程形象地展现在解题者的面前，而且给解题者带来层次分明的思维训练而回味无穷。在教学时，要引导学生从充分利用形的直观性来揭示数的问题的本质属性；由形思数，利用数研究形的各种性质，寻找运动规律；数形结合，促进矛盾的顺利转化，创造条件使对立双方达到统一。这样有利于培养学生多角度、多方面思考的习惯，有助于训练学生思维的灵活性、广阔性、创造性和辩证性，提高学生解决问题的能力和创新能力。

（1）由数想形，直观显现。某些看似简单的数量关系的代数问题，如果能注意到它所包含的几何意义，或者设计出一个与之相关的几何模型，则可能找到新颖别致的解法，借助“形”使我们对问题本 身不但有直观的分析，且能有更深刻和实质的了解。

（2）形中觅数，抽象变形象。某些代数三角问题，借助于图形性质来探求思路或作出结论，而某些几何问题，可通过计算或数量分析的方法，能准确和深刻地表述图形的性质，获得问题的结论。

（3）数形对照，相互渗透。由数想形、形中觅数是数形结合的两个方面，有时又要综合应用，既由图形寻找出数量关系，又通过代数方法加以解决。

例 设D为△ABC边上一点，而BD=2DC， 求证：AB2+2AC2=3AD2+6CD2.

分析 若单从几何角度看，已知条件和论证的目标相距较远，不易下手。如果我们建立直角坐标系，使数形结合，综合应用解决。可设四点的坐标分别为A（x，y），B（-2a，0），C（a，0），D（0，0），则通过坐标系可以迎刃而解了。

四、结语

数形结合是一种重要的解题思想，在中学数学解题中具有重要的现实意义。因此，今后在中学数学教学过程中，我们需要根据教学大纲的要求，结合教学的实际情况，积极采取相应的策略，将数形结合思想更好地运用到中学数学解题中，以提高解题效率和学习成绩，使中学生学习数学知识变得更加轻松，从而提高中学数学的教学效果和教学质量。

参考文献：

[1]李曼.浅谈数形结合思想在高中数学解题中的应用[J].语数外学习.2013（08）.

[2]许丽英.浅析数形结合思想在高考数学解题中的应用[J].数学教学研究.2012（08）.

[3]徐国央.数形结合思想在数学解题中的应用[J].宁波教育学院学报.2009（01）.