关于不定方程x2+7=y3

张 静

(重庆师范大学数学学院，重庆401331)

有些不定方程的求解是非常困难的，为了解决这些不定方程，人们创立了很多数学方法如初等方法、代数数论方法和丢番图逼近方法等［1－4］，这些方法对数论的研究带来了很大的便利.而所谓的代数数论方法，就是把所给的不定方程放在代数数域中考虑，通过代数整数环性质的研究，使问题得到简化.

则称w1，w2是)的一组基，它也称为是)的一组基.

定义2［1］整数ε称为单位数，如果它的倒数ε－1也是整数.

引理1［1］二次域)中的单位数是

(i)当d=－2或 d≤－5时，仅有±1;

(ii)当 d=－1 时，有±1，±i;

其中 ω1，ω2是 M 中的单位元素，且 ω1ω2=ωk，ω 为单位元素.

定理1 不定方程

比较等号两边的系数可知υ=±1.

情形1 当υ=1时，由式(3)得3μ2=8，这与μ∈Z矛盾.

情形2 当υ=－1时，由式(3)得μ2=2，这与μ∈Z矛盾.

综上情形1和情形2的讨论，不定方程(1)无整数解.

［1］潘承洞，潘承彪.代数数论［M］.济南:山东大学出版社，2003

［2］冯克勤.代数数论［M］.北京:科学出版社，2001

［3］柯召，孙琦.谈谈不定方程［M］.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，2011

［4］曹富珍.丢番图引论［M］.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，1989